要素与结构：变式教学促发深度学习

朱向阳　陈于青

【摘 要】深度学习是核心素养培育和发展的基本途径。运用变式教学可促发深度學习，教师优化课堂教学四个关键要素，引导学生积极主动参与，以结构化思维把握数学知识本质和思想方法。具体实施策略为：选择学习材料，以变式促自主性学习;组织学习序列，以变式促有层次推进;展开学习活动，以变式促多角度理解;改造学习经验，以变式促结构化思维。

【关键词】要素 结构 变式教学 深度学习

郭华教授对深度学习的内涵、意义和实现路径做了深入系统的研究，她认为深度学习是核心素养培育和发展的基本途径。本文以北师大版数学五年级下册“用方向和距离确定位置”的教学实践为例，阐述变式教学促发深度学习的具体实施策略。

一、选择学习材料，以变式促自主性学习

“活动与体验”是深度学习的核心特征，也是变式教学的关键要素。教师选择一份好的学习材料，以变式搭建学习支架，将静态的“知识”转化为一项具体的活动或任务，激发学生兴趣，促发高阶思维，学生主动深度经历习得的过程。

【片段1】

呈现情境—智慧老人带着淘气、笑笑和奇思来到公园玩寻宝游戏（见图1）。

问题1：图上的信息都能看懂吗？（重点反馈：“上北下南，左西右东”“比例尺”）

问题2：智慧老人藏好了宝箱，并给他们每个人提供了一条关于宝箱位置的线索，如果是你，你最希望得到什么线索？

北师大版数学教材用参观动物园描述各个馆位置的情境，引导学生从直观图逐步走向点的精准定量刻画，先探讨都在东北方向的两个点如何区别（方位+角度），再辨析区别同一方向的两个点的方法（距离），最后综合分析平面上确定一个点的位置需要“方向”和“距离”两个要素。这样的安排契合学生的认知水平，顺应知识发展过程，但是也有缺憾：整个过程过于平坦，缺少挑战性;弱化了空间观念的培养;弱化了对知识内涵本质的理解。

教师改造这个学习材料的意义有三点：（1）驱动探索。把原教材中的看图说“狮虎山”的位置，改造成更开放的寻找未知“宝藏”的位置，根据线索开展寻宝游戏，一下子拉近了数学和学生的距离，更具有挑战性和趣味性，能更好地驱动后续的探索活动。（2）激活经验。“方向标”和“比例尺”的解释以及宝箱线索的猜想唤醒学生关于方位的知识经验，扫除障碍，为后续的探索活动奠定基础。（3）聚焦主线。把探索活动聚焦在如何确定位置（寻宝）的主线上，探究知识本质—如何在平面中确定一个点的位置。

二、组织学习序列，以变式促有层次推进

合理组织学习序列，搭建过程性变式支架，设置合理的铺垫，有层次地推进教学活动，让学生主动探索、发现、经历“知识”形成的全过程，体验“知识”发现的关键环节，这是深度学习的机制，它能降低学生理解的难度，提高学生理解的深度与广度，帮助学生体会所学内容的重要价值。

【片段2】

教师在课堂实践中，把教学活动分四个层次展开推进。

层次一：解析单一线索价值

师：智慧老人分别给了他们什么线索？

淘气线索：宝箱在喷泉的东北方向。

笑笑线索：宝箱在喷泉的北偏东20°方向。

奇思线索：宝箱距离喷泉300米。

核心问题：根据线索，你认为谁最有可能先找到宝箱？

追问跟进：如果你是他们，你根据线索会怎么找？先在脑中想一想，他们分别应该在什么地方找？

让全体学生根据同学回答展开想象后，再用课件动态演示每一条线索对应的图形（见图2），引导学生比对、调整想象的图形。

小结：每条线索都是有价值的，都缩小了寻找的范围，有的缩小到了一块区域，有的缩小到了一条射线上，有的缩小到了一个圆。

层次二：解析线索组合价值

师：刚才通过分析，每条线索都只是缩小了寻找范围，但都还没有准确指出宝箱的位置，现在允许他们三人两两合作。

核心问题：哪两个人合作是最有利的？

追问跟进：先想想有几种合作的可能，再次发挥你们的空间想象能力，每种合作的结果会是怎样的？

课堂活动：独立思考—小组交流—集体反馈。

让全体学生根据同学回答展开想象后，再用课件动态演示每种线索组合对应的图形（见图3），再次引导学生比对、调整想象的图形。

小结：一共有三种合作，淘气和笑笑的合作，结果还是一条射线，对笑笑来说是无效的合作;淘气和奇思的合作，让范围缩小到一条四分之一的圆弧线上，这是一次有价值的合作;笑笑和奇思的合作，居然把范围缩小到了一个点上，宝箱的位置就非常准确了。

核心问题：如果你是智慧老人，要写一条线索告诉他们准确的宝箱位置，该怎么说呢？自己先试试，和同桌说说看。

追问跟进：要说清楚一个点的位置，只要说清楚哪两条线索就行了？

生齐答：方向（准确的方向）和距离。（师板书：方向、距离、确定位置）

层次三：解析观测点价值

核心问题：淘气和笑笑就读同一所学校，但是描述的学校位置却不同（见图4），你猜谁是对的？

追问跟进：明明是同一所学校，为什么说的位置却不一样呢？

小结：描述位置的时候，除了要说清楚方向和距离，还要说清楚观测点。

层次四： 解析内涵本质

师：确定位置还有别的方法吗？

核心问题：四年级的时候已经学过了用数对确定位置，今天我们又学了用方向和距离确定位置，两者之间有什么共同点和不同点（见图5）？

追问跟进：两种方法确定位置都用了两条信息，每条信息都代表一条线，交叉就会形成一个交点，这个发现非常了不起哟！你想过吗？为什么偏偏是两条信息？什么时候只要一条信息？什么时候需要三条信息？

这样的学习序列组织，对活动序列和思维序列都做了有层次推进的安排，既有开放性、挑战性，也为学生的探索活动提供合理的支架。活动序列方面，把难以一次完成的确定位置知识的建构，分成四个层次：层次一完成单一线索的图形表征，层次二完成两条线索确定位置的初步理解，层次三体验位置的相对性，层次四完成平面内两要素确定位置的本质理解，循序渐进地有层次推进完成知识建构。思维序列方面，首先采用了从抽象到直观的逆向序列，为学生探索提供了极大的空间，同时设置了变式应用，让学生在直观和抽象之间来回穿梭，深化理解;其次，在直观操作和符号操作之间设置了半抽象的表象操作，即“脑中想象”，并进行多次“比对—调整”，提供建构支架的同时发展了空间观念（见图6）。

三、展开学习活动，以变式促多角度理解

教师充分展开学习环节，搭建概念性变式支架，多角度理解“知识”，先“举三反一”凸显内涵本质，再“举一反三”迁移应用，让理解更深刻。

1. 变式表征加深理解

北师大教材的安排，突出逐步精准定量刻画的过程：同一区域的不同方向刻画（精准方向）→同一方向不同点的刻画（精准距离），但是没有对方向和距离的信息要素进行解析，学生很难深刻体会为什么需要这两个要素来确定位置。

本课例做了一些改变，从抽象定量描述逐渐表征为直观图形的认知，其间经历了从要素单一价值的解析到要素组合价值的解析，经过数次“想象—比对—调整”的完整过程，对每个要素和每种组合进行图形表征的深入刻画和对比，学生深刻体验两个必要要素（方向和距离）形成一个“交点”确定位置的过程。有了图形表征支架的支撑，学生可以清楚“看见”“平面内精准刻画一个点需要两个要素”，理解更深刻。同时，在数次“想象—比对—调整”的过程中，充分发展了学生的空间观念。

2. 变式对比凸显本质

把握数学“知识”的内涵本质，是建构数学知识结构的前提。如果教师直接告知，那么学生缺少自我深度加工的过程，这样的学习是浅层次的，没有生长力。因此，教师要设计变式，开展对比分析，让学生通过“归纳”“演绎”等形式去主动发现、把握。

本课例在学习的关键环节有两次重要的“变式对比”：（1）两个要素不同组合的价值对比，让学生发现只有“准確方向+距离”的组合可以确定一个点，凸显了这两个要素是确定位置的本质。（2）“数对确定位置”和“方向、距离确定位置”的对比，它们本身是“确定位置”的两种变式，通过“有什么共同点”的归纳，教师引导学生主动发现“平面内确定位置”的本质是：用两条信息刻画两条线，形成“交点”。这样的变式对比，不仅让学生主动发现、把握“知识”本质，有助于其建构知识结构，还能加深学生对变式本身的体验，有助于其提升思维品质。

3. 变式应用拓展提升

变式应用，既是在具体和抽象中的来回穿梭练习，也是对学习成果的检验，有助于学生理解把握、迁移应用“知识”，真正将学习内容内化为自身的知识结构。因此，变式应用的设计，在教学中显得十分重要。

在本课例中，教师采用的变式主要有：（1）情境变式。把确定位置的非本质因素进行变式，如“寻宝游戏”“海上救援”“真人CS游戏”等形式，除了关注趣味性，更重要的是变换知识的载体，引导学生抽象出问题本质。（2）水平变式。设计不同水平层次的变式问题，让学生拾级而上。例如，水平一：看图描述位置，只需根据图上信息，按模式回答;水平二：根据描述位置画图，需要解析要素信息，并运用量角器度量、按比例换算图上距离等完成;水平三：根据信息描述相对位置，如“乙在甲的东偏北30°方向500米处，那么甲在乙的什么位置？”学生需要在图中表示出准确的相对位置，再进行观察描述或者直接在脑中想象完成。（3）形式变式。如“进行角色转换”，让学生来出题，学生需要站在更高的视角，跳出来俯视学习内容，进行整体把握。形式变式同时更具开放性，能够培养学生的发散思维（见表1）。

四、改造学习经验，以变式促结构化思维

在前期的学习过程中，学生会积累诸多的经验，有些是不重要的、浅层次的，而有些是核心的、深层次的。教师要极力助推学生发展结构化的思维，有意识地把重要的学习经验纳入其认知结构当中，发展学生的记忆、理解、关联能力。

1. 知识结构化

“数对确定位置”和“方向、距离确定位置”的对比，通过三个有层次变式问题引领，使知识结构化。

“确定位置还有别的方法吗？”—回忆唤醒原有经验，筛选相关经验，联结前后学习内容。

“两者之间有什么共同点和不同点？”—横向看，归纳知识本质，同类知识结构化。

“为什么偏偏是两条信息？什么时候只要一条信息？什么时候需要三条信息？”—纵向看，通过推理、联结，打通“一维”“二维”“三维”空间，揭示确定位置的本质。

2. 方法结构化

方法的结构化绝非一日之功，教师需要在每一节课上有意渗透与引导。课堂教学中实施的策略主要有两条：（1）强化体验。如“图形表征”变式帮助理解，在教学关键处、解决问题的核心处，放大、拉长“想象—比对—调整”的过程，让学生充分体验“图形表征”的价值。（2）适时梳理。在学生充分体验的基础上，教师通过明确指向性的问题，引导学生对学习过程和方法进行梳理和评价，如“我们是如何学会的”“运用了什么好的方法”等，对本课例应用的“数形结合”（借助多元概念性变式表征理解）等数学思想方法进行强化，使其深植于学生内心深处。

运用变式，优化课堂教学关键要素：选择学材、组织学序、展开活动、改造经验，引导学生全身心、积极主动地以结构化思维把握数学知识本质和思想方法，应是数学教师不懈努力追求的目标。

本文系浙江省教育科学规划2019年立项课题“变式理念下小学数学课堂结构多元重组的例证研究”（课题编号：2019SC310）的阶段性研究成果。

（作者系：1.浙江省义乌市绣湖小学教育集团党总支书记、总校长，浙江省特级教师，正高级教师;2.浙江省义乌市西江小学副校长）

责任编辑：赵继莹