利用手机Phyphox探究浮筒质量与振动周期的关系
2022-03-14陈云富
陈云富
(浙江省乐清中学)
1 问题背景及提出
“曹冲称象”的故事大家都很熟悉,利用等效替代的方法,称量出大象的质量,但测量过程比较烦琐.我们猜想质量一定的小船(含大象),在振动过程中周期为定值.如果能找到周期和质量的对应关系,则称量船体质量,只需用手机Phyphox中的加速度传感器测量周期即可.
为了简化问题,我们建立一个简单的浮筒模型.如图1所示,以浮筒平衡时,底部中央位置为坐标轴原点,竖直向下为正方向建立一维坐标系,设质量为m的浮筒平衡时,浸在水里的高度为x0,已知水的密度为ρ,圆筒的横截面积为S,则
图1
浸入水中的高度为x+x0时,浮筒受到的回复力为
浮筒运动的动力学方程为
由初始条件t=0,x=A,v=0,解得
可知浮筒的运动为简谐运动,振动周期
笔者用一个底面直径为12cm 的塑料圆柱形浮筒,将手机放入浮筒内展开实验.浮筒置于装着水的水桶内,实验实物装置如图2所示.实验过程中浮筒加速度随时间变化如图3所示.
图2
图3
由图3的实验测量结果可知,n=7次振动的时间为t=2.6505718s,则周期代入公式,得m=402.6g.而用天平测量浮筒和手机的总质量为172g,这显然超出了实验误差的范围.
笔者猜想由于水桶的横截面不大,液面高度变化引起模型与实验不吻合,或者水波碰到水桶内壁回弹,回弹波对实验结果有重要影响.
于是,将实验浮筒移至湿地湖中进行,由于水域辽阔,水面高度几乎不变,也不存在水波回弹.但是实验测得周期与在水桶内测得相近,所以排除了场地因素的影响.
2 实验过程与数据
为了进一步深入探究浮筒质量与振动周期的关系,笔者采用控制变量法,在浮筒里加入砝码,用胶带将其固定在浮筒上,从而改变浮筒的质量,测量不同质量下振动的周期,如表1所示.
实验初始状态为将浮筒下压至合适位置,由于除了上下振动外,还有左右摇晃,为了实验数据更加可靠,每组实验均测量5次周期,再取平均值.记录原始数据为表1中的第二列和第三列,其余数据为基于原始数据的计算值,在后续作图中使用.
表1 实验过程中各物理量的测量值和其他量的计算结果
按上述理论推导,可知T2与m是正比关系,但是绘制的图4显示,两者并没有成正比关系.笔者用一次函数做线性回归,相关系数平方R2=0.9413,与理论推导表达式不符,于是笔者从理论上重新审视其中的问题.
图4 T2 与m 图像及拟合结果
3 实验分析与结论
在上述问题分析中,笔者观察到浮筒的振动为阻尼振动,振动七八次后,振幅就比较小了,因此把浮筒振动视为简谐振动存在问题.查阅相关资料可知,水的密度是空气密度的773倍,则对应的阻力也是空气阻力的几百倍,在分析过程中不能忽略水的阻力.
设水对浮筒的阻力方向与速度方向相反,阻力的大小与速度大小成正比,即f=-kv,则回复力可表示为
浮筒运动的动力学方程
由初始条件t=0,x=A,v=0,解得
由上式可知,振动周期表达式为
根据表格数据,以T-2为纵轴,以m-1为横轴,绘制图像如图5所示.与通过坐标原点的二次函数进行拟合,相关系数平方R2=0.9726,非常接近1,说明实验与理论高度契合.
图5 T-2与m-1图像及拟合结果
由于水的密度为103kg·m-3(温度t=4 ℃),浮筒直径d=12cm,g取9.8m·s-2,可以计算出m-1前系数理论值为2.8074,这与拟合结果系数2.7966基本吻合.
4 结果应用和意义
利用上述的周期与质量对应关系,实现曹冲称象.将陶瓷小猫放入浮筒中,如图6所示,通过手机传感器软件(如图7)测得n=3 次振动的时间为t=1.3603745s,则周期.代入拟合公式可以得到浮筒的总质量为448.9g,由于手机和浮筒的质量为172g,所以可以知道陶瓷小猫的质量为276.9g.将小猫放在天平上,如图8所示,称量知道它的实际质量为272g,与根据周期测量的结果误差仅为1.80%.
图6
图7
图8
实验应用1:可以复制上述方法检测船舶是否超载.将船舶驶入相对平静的水域,将手机置于船舶上,测量船舶的振动周期,粗略估计船舶的整体质量.由于船舶不是圆形,模型建立会更加复杂.
实验应用2:由于m-1前的系数包含密度ρ,因而可以通过振动实验测量介质密度.
反思:我们意识到在建立物理量对应关系时,既要考虑理论模型,也要根据实际结果修正理论模型,当实验结果和理论比较吻合的时候,就可以应用结果进行预测和指导实际.
(完)