高中物理电源输出功率最大的条件论证及应用技巧
2022-03-14孙万兵
孙万兵
(甘肃环县第五中学)
在闭合电路中,电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和,对于含有可变电阻的纯电阻电路,可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率,也影响着闭合电路中各部分的功率分配.电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一,求电源输出功率最大值的问题也是电功率这部分内容的难点,学生虽经反复练习,但仍不得其法.笔者经过调查得知,学生出错的根本原因在于不理解功率取最大值的条件.本文就电源输出功率最大的条件论证及应用,结合笔者自己的经验谈一些粗浅的认识,供参考.
1 基本规律及条件论证
1)当电源电动势E和内阻r一定,外电路的电阻R可变时,电源的输出功率在满足条件R=r的情况下,可取得最大值.下面用多种方法对此结论加以证明,希望读者从中选择适合自己认识的证法,以加深对电源输出功率最大条件的理解.
证明1公式法
电源的输出功率,即消耗在外电路电阻上的功率P=I2R,据闭合电路的欧姆定律有,所以
根据公式“若a、b均为正数,则,当且仅当a=b时,a+b取最小值,为,可得式②分母中,当(即R=r)时,取最小值,为,因而,当R=r时电源的输出功率有最大值,为.
证明2解析法
将式①变形为
当式③分母中(R-r)2=0(即R=r)时,分母取最小值4r,此时电源有最大输出功率
证明3利用二次函数的极值
若路端电压为U,电路中电流为I,则外电路中消耗的功率应为P=UI,而据闭合电路的欧姆定律有
所以电源输出功率可以表示为
由式⑤可以看出,输出功率P是电流I的二次函数,且二次项系数为负,因而当电流(此时R=r)时,电源输出功率有最大值,即
证明4图像法
根据式④作出路端电压随电路中电流变化的图像(如图1),图像上任意一点N所对应的路端电压为U,电流为I,则这时消耗在外电路上的功率P=UI可以用图中矩形(画斜线部分)的面积来表示.
图1
从图中可以看出,当电路中电流很小或者很大时,图中矩形的面积均较小,而只有当时,即时,矩形面积最大,即电源的输出功率最大值.
证明5利用导数求极值
式①中P对R求导数可得
令P′(R)=0可得,R=r(R=-r无意义,舍去)时,输出功率有极值.
2)当电源电动势E和外电路电阻R一定,而电源内阻r可变时,由式①可得,r取值越小,输出功率P越大.
2 应用举例
在实际应用中,有些问题是求电源向整个外电路输出的最大功率,这类问题可以直接应用上述规律1)求解;有些问题是求外电路某一电阻或某一部分电路的最大功率,这类问题处理的常用方法是把求解对象等效看作外电路,而把其余电阻均等效看作电源内阻的一部分,当可变电阻包含在等效外电路中时,应用规律1)求解,当可变电阻包含在等效内电路中时,应用规律2)求解.
例1如图2所示,定值电阻R1=2Ω,R2为最大阻值为6Ω 的滑动变阻器,电源电动势E=12V,电源内阻r=3Ω.求:
图2
(1)R1和R2消耗的总功率的最大值.
(2)R1消耗功率的最大值.
(3)R2消耗功率的最大值.
(1)R1和R2消耗的总功率就是电源的输出功率,若R1和R2的总电阻为R,则当R=r=3Ω(此时R2=1Ω)时,R1和R2消耗的功率有最大值,最大值为
(2)把R1单独看作外电路,而把R2等效看作电源内阻的一部分,此时等效电源内阻r1是可变的,且r1=r+R2,当R2=0时,r1取值最小为r,此时R1的功率最大,为
(3)把R2单独看作外电路,而把R1等效看作电源内阻的一部分,此时的等效电源内阻r2=r+R1=5Ω,因而当R2=r2=5Ω 时,R2的功率有最大值,为
当求解最大功率的对象是可变电阻(或包含可变电阻)时,如果求解对象的总电阻变化到极限值还未能达到电源内阻(或等效电源内阻),则求解对象的总电阻取最接近电源内阻(或等效电源内阻)的值时,其功率取得最大值.
例2如图3所示,电源电动势恒为12V,电源内阻r=3Ω,定值电阻R1=6Ω,R3=15Ω,R2为一滑动变阻器,最大阻值为6Ω.求:
图3
(1)R1和R2消耗功率的最大值.
(2)R2和R3消耗功率的最大值.
(1)把R1和R2看作外电路,则等效外电阻R外1=R1+R2.把R3等效看作电源内阻的一部分,这时等效电源内阻r1=r+R3=18Ω,R外1阻值的变化范围是6Ω≤R外1≤12Ω,当R2=6Ω 时,R外1=12Ω,R外1最接近r1,此时,R1和R2消耗功率有最大值,即
(2)同理,R外2=R2+R3,其变化范围是15Ω≤R外2≤21 Ω,r2=r+R1=9 Ω,因而当R2=0时,R外2=15Ω,R外2最接近r2,所以R2和R3消耗功率最大值
(完)