关于椭圆定值问题的探究思路与方式——以一道竞赛预赛题为例

南京市栖霞中学(210046)刘建国

圆锥曲线的定值问题在历年数学竞赛中是一个难点与热点,这类问题的背景往往是圆锥曲线的一个一般性的结论,命题者往往将相应的点或线特殊化后呈现在考生面前,教师在平时教学时应该注重引导学生对问题进行深入探究, 挖掘定点、定值问题背后所蕴含的一般性结论,从而促进学生对数学学习的深度和广度,培养学生的数学核心素养(如文[1]).本文以一道竞赛预赛题为例,通过猜想与论证的过程还原问题的背景,探索命题者的命题思路,将条件进行一般化得出相应的结果,揭示条件对结果的影响.

一、原题呈现与解答

二、定性分析,提出猜想

三、基于猜想,论证推广

四、探究体会,几点感悟

1.应注重文字语言、几何语言以及代数语言之间的转化.解析几何的核心思想是用代数的方法解决几何的问题,通过代数式、方程以及不等式等代数语言表达几何语言中有关点、线段、角以及曲线,同时将题设中的相关文字语言转化到图像上,在图像上进行分析,最后转化为代数运算,从而得出结果.因此教师在平时教学过程中应注重对图形的理解,引导学生分析图像以及用何种代数方程能恰当的表示几何图形中的关系(不同的表达方式会导致不同的运算量),将抽象思维与形象思维有效结合,培养数形结合的意识.

2.应注重培养学生由特殊到一般的数学思想方法.圆锥曲线定值、定点问题的背景往往是一些一般的结论,命题者往往是将条件进行赋值一些特殊的实数进行运算得出相应的结果,在探究这类问题过程中,首先应关注条件之间的内在关联以及条件与结论之间的联系,再将条件不断的一般化,进而探究问题的背景,把握题目命制的内在规律,在平时教学中应注重培养学生的特殊到一般的思想探究问题,从而使得学生知其然,知其所以然.

3.应注重培养学生大胆猜想,小心论证.对圆锥曲线定点、定值的猜想是探索其内在规律和问题本源的一种策略,需要建立在对问题已有一定认知的基础上提出一种假设,再利用数学方法进行论证.在数学学习过程中渗入问题探究式的学习方式不仅可以培养学生学习数学的兴趣,锻炼学生的数学思维,也可以让学生自主的参与到探究中,在猜想后进行论证,突出学科的严谨性,更好的培养学生的数学核心素养.