数学建模培养的教学策略研究

谢盛富

摘   要：通过高中数学课程的学习，学生发现和感悟数学与现实之间的联系，用数学模型解决实际问题，积累实践经验，认识数学建模在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用，培养应用意识和实践能力，形成创新意识，培养学科素养。

关键词：应用意识;数学建模;实践能力

高中学生数学应用能力，是学生数学理解和运用的高度体现，它包含数学知识、数学思维、个人能力与学习习惯等各方面的综合素质。数学自身具备高度的抽象性、逻辑性，它对学生的逻辑推导、逻辑运算、空间思维等能力有相当高的要求，这也就是数学对学生思维的反向塑造能力，同时这种能力也可在其他学科上延伸，拓展学生建模思维能力的空间。

“授人以鱼，不如授人以渔”，教师需要充分了解学生的学习特点与学习能力，在此基础上制定科学合理的教学方法，有针对性地培养学生 [ 1 ] 。 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，并用数学方法构建模型解决问题，提高学生应用数学模型与建立数学模型来解决实际问题的能力，这也是高考要求的重要内容。在高考考查时，通过对大数据进行整理、分析，从模型建立、检验模型等方面设置问题，强调用数学知识、思想方法解决问题，从而加强对数学模型解决实际问题的能力考查，使数学模型的研究领域与应用领域得到极大拓展。

1  展现核心概念的产生过程

在相关数学知识概念教学时，教师可结合实际，向学生抛出问题，引导学生主动去思考，引导学生经历概念故事成的整个过程是如何产生、提出者的经历、所要定义和解决的问题、概念最终是如何形成和确定的，以及在相关领域的适用性。从不同方面、不同阶段，向學生全面展示，学生在对概念的接受和吸收上，领悟与把握数学思维与知识在实际解决问题中的模型思想，以及这种建模思维在实际运用上的重要性。如在讲述极限理论时，引入“绳子半之半不尽”的故事，让学生融入其中，领悟数学建模对解决实际问题的可行性和研究价值。再如，在实际生活中菜市场中某类商品的供销问题，通过相关的实际参数构建供需函数y=f（x），通过建立实际问题的数学模型，明确后续时间的商品供应需求。

2  展现定理公式的推导过程

数学各类概念、定理和公式等，其形成的原理和提出过程思考的模式是完全不同的。这也涉及到数学研究的工具与方法，比如归纳法与演绎法、分析法与综合法，以及因果分析法等。这些方法体现了数学的几个特点：①高度的概括性和抽象性;②严密的逻辑性和结论的精确性;③放之四海而皆准的普遍性和可操作的应用性。从这些基本的方式方法中，体现出了比较重要的数学模型思维类型，比如变抽象为形象直观的思维、正向和逆向思维、发散思维、定势思维等，让不同的概念对应不同的模型思维类型，从而让学生更全面的掌握自我思维训练的要点。数学课本中许多定理与公式都是高度简化和抽象的，教师在向学生教授这些定理公式时，需要做好这些定理公式的背景准备，在正式讲授与之相关的例题时，可介绍定理公式的提出者，讲述他在提出该定理公式时，碰到的问题、演算的过程、如何获得结论。在老师对定理公式讲述中，学生能全方位感受到形成原理等思维是如何一步一步建立起来，并将这种思维成果化。对定理公式的历史脉络、思维流程的清晰认识，也会让学生在形成原理、公式等的数学建模之路上强化自我思维能力的锻炼[ 2 ] 。如在推导等差数列和等比数列的通项公式时，引导学生提炼、归纳出an+1=an+f（n）型、an+1=an·f（n）型，并赋予名称“累加法”、“累积法”，建立了数学模型，为后续学习做好铺垫。又如在推演锥体体积公式时，引入等密度物质在不同容器中的体积恒定性，让学生在实践中感受公式的推导。

3  建立数学模型解决问题

教师在授课前，可根据课程学习进度，创设生活实际情境，拟编成学生可以解决的例题，这也能考核教师对相关理论的掌握水平。现实社会中各种要素是自然社会决定的，是人难以进行干预和控制的，如何将这种实际参数样本整理为研究对象的原型，再将这个原型抽象化，转化为数学语言。这就是数学核心素养中的模型思维。通过这样的抽象和简化过程，让具体的事物用数学语言呈现在学生面前，就会加深学生对相关问题和研究对象的认知。例如，等额本息贷款和等额本金贷款，哪一种对贷款者有利？一副扑克牌是出现顺子概率大，还是出现金花的概率大？三角形法则在力学上如何具体应用？通过这种实战化的问题引导，让学生充分融入实际问题思考中。为保障学习效果的充分性，教师也可将学生分成不同学习小组，针对例题进行讨论，让学习成果进一步扩大与完善。通过不同想法和思维的碰撞，让学生相互吸收和反驳不同观点，再形成自己的观点和思维。

4  从常见模型渗透数学建模

比如，长方体是立体几何中的重要数学模型，许多问题可以放在长方体中求解。例如，（2021年厦门市3月份质检第16题）已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D均在O球的球面上，AB=AC=AD，ΔBCD是边长为4的等边三角形，M，N分别是AB、BC，的中电，DM⊥MN，则AB=________，球O的表面积是__________。

从题干“AB=AC=AD”“DM⊥MN”“等边三角形”可以获知，三棱锥可以镶嵌在正方体中，AB，AC，AD三者两两互相垂直，从而很容易破解此题。

又如，在A-BCD三棱锥中，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，求该棱锥外接球的体积。这道题题干关键信息是“三组的两对棱相等”，这与“长方体相对面的对角线长相等”相吻合，从而构造长方体求解问题。

再如，在比较大小中，根据所给表达式的特征构造函数模型，再利用单调性比较大小。例如，（2021八省联考适应性考试第8题）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则（     ）

A. c

从题中关于a、b、c的三个等式观察特征，寻求共同点，构造函数f（x）=，利用导数判断出f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1+∞）上单调递减，结合函数值相等，确定a，b，c的大小关系。

高中数学中还有很多这样的数学模型，如由“两未知数之和与之积”构造一元二次方程;构造斜率、截距、三角形和复数等模型来求解有关数学问题。

5  数学建模对高中教学的重要意义

在开展一系列的数学建模活动过程中，从活动前期的准备、活动中的探究和合作、活动后的收获等，经历数学建模的全过程，真实地解决一个实际问题，积累做数学、学数学、用数学的经验，关注过程，在彰显不同个性的同时，寻求共性，培养团队协作精神。在评价学生活动的过程中，可以通过多元评价，使不同学生的数学建模素养得到不同的发展;关注活动的过程，关注学生的差异和个性，活动前后的心理变化;提出的问题是否有“新意”，求解过程是否有“创意”，探究过程是否有深度和广度，结果是否有特色，兴趣动力是否增强等等。

任何建模过程需经历模型准备、假设、建立、求解、分析、检验等过程，最后还应具备模型应用与推广等特点，使得建模更具实际意义。 高中数学知识储备为数学建模提供了解题工具，数学知识的学习能力是需要不断引导和训练的，而高中学生学习紧张，更需要不断强化学生的数学建模核心素养与思维能力，教师要在高中数学教学教研中，不断开拓思路，为学生的数学学习能力夯实基础而创设新方案、新情境，提高数学应用意识，有效渗透学生的数学建模素养势在必行。

参考文献：

[1] 杨小煊.基于“三教”理念下学生数学建模素养培育的教学研究[D].贵州：贵州师范大学，2019。

[2] 张晓婷.构建模型 回归本真——高中数学核心素养之数学模型培养策略[J].新课程，2020（15）：124。

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