求函数值域的常用方法

杜爽 韩旸

求函数的值域问题一般具有较强的综合性，侧重 于考查同学们的运算和综合分析能力.求函数值域的 常用方法有配方法、换元法、图象法、导数法、基本不 等式法等.本文结合实例，谈一谈求函数值域的三种常 用方法.

一、配方法

对于形如 f （x）= ax 2 + bx + c（a ≠ 0） 或 F（x）= af 2 （x）+ bf （x）+c（a ≠ 0） 的函数，可采用配方法来求函数的值域. 首先根据完全平方公式将函数式配方，得到形如 f （x）= a（x - h） 2 +k 的式子，然后根据二次函数的有界 性、单调性以及函数的定义域，来求函数的值域.

例1.求函数 y = -x 2 + x + 2 的值域.

该函数为复合函数，且解析式中含有二次函数 式，需先运用配方法，将函数式化为 a（x - h） 2 +k 的形 式；然后根據二次函数的有界性和单调性，以及复合 函数“同增异减”的原则来求得函数的值域.

二、换元法

对于含有根式、绝对值、三角函数、复合函数等的 复杂函数式，通常需采用换元法来求函数的值域.首先 将函数中的某个式子，如根号下的式子，绝对值内部 的式子、某个三角函数式等用一个新元替换，从而将 原函数转化为一个简单的式子，通过求新函数的值 域，间接得到原函数的值域.

例2.求函数 y = x + 1 - 2x 的值域.

该函数式中含有根式，较为复杂，需利用换元法， 将 1 - 2x 用新元 t 替换，进而得到一个关于 t 的二次 函数式，再利用二次函数的性质求得二次函数的值 域，即可得到原函数的值域.在换元的过程中，要注意 考虑新元、旧元的取值范围，这是很多同学容易忽略 的地方.

三、判别式法

对于形如 y = ax 2 + bx + c dx 2 + ex + f 的函数式，我们常用判 别式来求函数的值域.首先把 x 看作未知数、y 看作参 数，将原函数式转化为关于 x 的一元二次方程；然后 根据方程有实数根，得到判别式 Δ ≥ 0 ，即可建立关于 y 的不等式.求得 y 的取值范围，就能求得原函数的值域

例3.求函数 y = x 2 - x x 2 - x + 1 的值域.

根据函数式的特征将函数转化为关于 x 的一元 二次方程，便可利用判别式法求其值域.值得注意的 是，本题中的 y - 1 为二次项的系数，需分 y - 1 = 0 和 y - 1 ≠ 0 两种情况进行讨论.只有在二次项系数不为0 时，该方程才是二次方程，才能运用判别式法求函数 的值域.

相比较而言，换元法的适用范围较广，配方法、判 别式法的适用范围较窄，只适用于求解二次函数的值 域问题.同学们在解题时，要仔细研究函数式，明确其 结构、特征，合理进行配凑、换元、构造一元二次方程， 这样才能用最短的时间求得函数的值域，提高解题的 效率.

基 金 项 目 ：国 家 科 技 支 撑 计 划 课 题 （2013BAK12B0803），黑龙江省自然基金（B2015019）， 黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研项目 （135509122）.

（作者单位：齐齐哈尔大学理学院）