解答二面角问题的三种途径

李志娜

求二面角问题经常出现在各类试题中，常见的命题形式有：（1）求二面角的大小；（2）求二面角的余弦值及其取值范围；（3）证明某个二面角为直角.解答此类问题，往往要先根据图形的特点和已知条件确定二面角的平面角，然后运用平面几何知识和立体几何知识求得平面角的大小或其余弦值.常用的方法有定义法、射影面积法、垂面法、三垂线法等.本文重点谈一谈三种常见的解题途径：作三垂线、利用定义法、采用射影面积法.

一、作三垂线

运用三垂线法求二面角的大小，主要是根据三垂线定理作二面角的平面角，并根据其中的垂直关系和勾股定理求得平面角的大小.运用三垂线法求解二面角问题，要先在二面角的一个半平面内选取一点A，过点A 向另一个半平面作垂线AB；再由垂足 B 向二面角的棱作垂线 BC，则棱上的点 C 为斜足，那么∠ABC 即为二面角的平面角.

例1.在四面体 ABCD 中， AB⊥平面BDC，BC ⊥ CD 且 BC = CD =1，AD = 求二面角 B - CD - A 的大小.

解：∵ AB⊥平面BCD，BC ⊥ CD，

∴由三垂线定理得CD⊥ AC，

∴∠ACB为二面角B - CD - A的平面角，

∵ BC ⊥ CD， ∴ BD = BC2+ CD2=

∵ AB⊥平面BCD， ∴ AB⊥ BC，AB⊥ BD，

∴ AB = AD2- BD2=1，

在RtΔABC中， tan ∠ACB = =1，

∴二面角 B - CD - A的大小为.

解答这道题主要运用了三垂线法.先根据 AB⊥平面BDC ，确定二面角 B - CD - A 的一个半平面内的一点A、垂线AB、斜线AC 以及其射影 BC，便可根据三垂线定理确定二面角的平面角∠ACB ；再根据勾股定理即可求得二面角 B - CD - A 的大小.

例2.如图1，已知∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC， AB =4， SA = BC =2，N，D分别是AB，BC的中点，求二面角 S - ND - A 的大小.

解：过 A 作 AF⊥ DN ，交 DN 的延长线于F，连接 SF，∵ SA ⊥平面ABC， ∴由三垂线定理得DF⊥ SF ，  ∴∠SFA是二面角S - ND - A的平面角，

在RtΔBDN中，DN = BD2+ BN2=  ，

在RtΔAFN中，

sin ∠ANF = = sin ∠BND = = ，

∴ AF = AN = ， ∴ tan ∠SFA = =

∴二面角 S - ND - A 为 arctan .

由 SA ⊥平面ABC ，便能确定垂线 AF、斜线 AF 及其射影AF，根据三垂线定理就可以快速确定二面角的平面角为∠SFA .可见，运用三垂线法求解二面角问题，需先找到二面角的一个半平面的垂线，然后确定斜线、射影，这样就能快速确定二面角的平面角.

二、利用定义法

定义法是指利用二面角的平面角的定义来解题.根据二面角的平面角的定义，需先在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作棱的垂线，那么这两条垂线之间的夹角即为二面角的平面角；再根据垂线与棱之间的垂直关系，以及勾股定理、正余弦定理求得平面角的大小，就能求得二面角的大小.

例3.如图2，三棱锥A - BCD 中，AC ⊥平面BCD， BD⊥ CD，AC =2AD ，求平面ABD 与平面 BCD 所成角的大小.

解：∵ AC ⊥平面BCD，BD?平面BCD，

∴ BD⊥ AC，

解答本题，需根据二面角的平面角的定义，在两 个半平面内找到垂直于棱DB的两条直线DA、DC，且 两条直线交于D点，这样利用定义法，即可快速确定 平面ABD与平面BCD所成角的平面角.

例4.如图3，在三棱锥V - ABC中，VA = AB = VB = AC = BC = 2，VC = 3， 求二面角 V - AB - C 的大小.

由图可知二面角 V - AB - C 的棱为AB，而根据已 知的边角关系可得 VD ⊥ AB 、CD ⊥ AB ，即可根据二面 角的平面角的定义确定 二面角V - AB - C的平面角为 ∠ADC .运用定义法求解二面角問题，关键在根据二面 角的平面角的定义作出二面角的棱的垂线，以确定平 面角.

三、采用射影面积法

当不方便作出二面角的平面角时，可考虑运用射 影面积法来求二面角的大小.可先在二面角的一个半 平面内找到另一个半平面的投影，通常要找到其中一 个半平面内的三角形、平行四边形、梯形等规则图形 的射影，这样便可直接利用三角形、平行四边形、梯形 等的面积公式求出这些图形及其射影的面积；再将原 图形与射影的面积相除，得到二面角的余弦值，即   cos θ= S（S）斜（射）面（影），从而求得二面角的大小.

例5.如图4， 在三棱锥P - ABC中，AC= BC =2， ∠ACB =90°， AP = BP =AB，PC ⊥ AC，PC ⊥ AB ， 求二面角 B - AP - C的大小.

解：∵ AC= BC，AP = BP， ∴ΔAPC ?ΔBPC， ∵ PC ⊥ AC， ∴ PC ⊥BC，

∵∠ACB =90°， 即AC ⊥BC， 且AC ?PC = C， ∴ BC ⊥平面PAC，

取AP中点E， 连接BE， CE，

∵ AB = BP， ∴ BE⊥ AP，

∴EC是BE在平面PAC内的射影，

∴ CE⊥ AP，

ΔACE是ΔABE在平面ACP内的射影，

∴ AB = BP =AP = AC2+ CB2=2  ，

∴ BE = = ， AE = EC = ，

∴ S ΔACE = AE?CE =  ? =1，

S ΔABE = AE?EB =  ? = ，

∴ cos θ= = =，

∴二面角B - AP - C的大小为arccos    3 .

我们根据题意很容易证明 BC ⊥平面PAC， 就可以确定ΔABE 在平面ACP 内的射影为ΔACE ；再根据勾股定理和三角形的面积公式求得这两个三角形的面积，便可利用面积射影法快速求得二面角 B - AP - C 的大小.

通过上述分析可以发现，运用三垂线法、定义法、射影面积法求二面角的大小，都需要根据二面角的平面角的定义，确定二面角的平面角，或建立平面角的两条线段之间的关系，因此熟练并灵活运用二面角的平面角的定义，是解答这类问题的关键.

（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）