优教真学：一节“自得”数学课的反思与重构

摘 要 在“双减”大背景下，学校教育主阵地作用得到进一步强化，课堂育人目标明确指向立德树人，以生为本，在此背景下，提出的“自得”数学课堂有两重含义：一是指学生获取数学知识是“自然而然的”过程，就是学生学习数学知识与学生的身心发展规律相匹配;二是指学生“自主地”获取数学知识，也就是说学生具有主观能动性，能自觉学习数学知识，完成对数学知识的建构。针对当下存在的数学本色缺失化、“自主学习”自流化、合作学习形式化三大误区，在“自得”理念下进行数学课堂的反思和重构。教师要正确发挥教师的主导作用，从学习的氛围营造、目标定位、內容抉择、活动筹划、进程调控、效果评价等各个方面寻求课程和教学的改进，实现优教真学。

关键词 “自得”数学课堂 误区 反思与重构

在“双减”大背景下，学校教育主阵地的作用得到进一步强化，课堂育人目标明确指向立德树人，以学生的发展为本，为学生的终身发展服务。为了提高数学课堂教学育人质量，数学教师需要不断更新观念，调动教与学积极性，尤其是解决好学生学习数学的积极性和主动性问题。为了实现优教真学，我们提出的自得数学课堂，就是学生通过自主习得获取数学知识的课堂。这里的“自”有两重含义：一重含义是指学生获取数学知识是“自然而然的”。换句话说，就是学生学习数学知识与学生的身心发展规律相匹配，润物细无声，水到自然渠成;一重含义是指学生“自主地”获取数学知识，也就是说学生具有主观能动性，是学习数学知识的主人，能自觉学习数学知识，完成对数学知识的建构。这种课堂旨在改变教师主讲，学生被动听的学习局面，让学生自主学习，合作探究，从而提高学习力，发展学生的终生学习能力。不过，教师在数学课堂落实“自得”理念的时候，教学行为和认识出现了一些偏差，陷入了一些误区，没有实现真正意义上的优教真学。为此，我们必须将课堂推倒重构，“就像建筑工人说的，把一栋房子拆到地基的时候，就要重新审视、重新构想和重建一切。”[1]下面以苏科版《反比例函数图像及性质》第一课时为例，针对三个误区对一节自得数学课教学进行反思及重构。

一、情境导入数学本色缺失化，反思及重构

误区一：情境导入热闹，数学本色缺失化。

“教师演唱《悲伤的双曲线》：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够生在同一个平面，然而我们又无缘……引入本节课学习课题。”

意图：受“轻教学”[2]思想影响，以歌曲引入新课，本意是吸引学生的注意力，让学生快速参与学习，非数学活动占了4分钟。

出示问题：（1）函数[y=kx]（[k]≠0）的图像是一条____，当k>0时，图像经过___象限，y随增大而____;当k<0时，图像经过____象限，y随增大而___。

（2）类比正比例函数图像及性质，你能猜出反比例函数的图像及性质吗？

意图：问题以填空的形式出现，考查正比例函数的图像和性质，要求学生大胆猜测反比例函数图像及性质，通过本节课学习验证猜测结果，引导学生通过回顾以往知识的结论，自己猜想并验证结论。

反思一：溯源本色缺失，把脉症在何处。

课堂热热闹闹，学生兴致勃勃，只是因为没听过教师唱歌好奇高兴而已，学生对于反比例函数属性的认识一无所知，对于歌曲所表达的知识学生一片茫然。数学课堂活动，可以不拘一格，但无论哪种形式，都必须以启发学生数学层面的思考为目标，蕴含数学本色。这首歌形象刻画了反比例函数图像与坐标轴的位置关系，如果放在本节内容研究完以后，以总结形式可以促进学生形象理解反比例函数的图像和性质。作为新课的情境引入，先入为主，无异于暗示了本节课的研究结论，无意间让结论来得太直接，缺乏思考的张力，有灌输之嫌。同时，课堂教学的导入过渡到新课时间偏长，压缩了后续探索学习的时间和学生思维成长的空间。学生对正比例函数的复习，仅仅是让学生识记已经学过的内容，把已经贮存在脑海中的知识搬出来而已。学生几乎异口同声地回答出来，正确率很高，但没有对问题的辨识，没有把学习正比例函数的图像和性质的方法延伸到反比例函数的图像和性质的学习，数学本色缺失。对正比例函数图像及性质的回顾，切入时间在反比例函数图像和性质探讨之后较为适宜，这样可以采用类比学习体会反比例函数与正比例函数的图像和性质之间的联系和区别。“让学生们在有指导的练习前进行独立练习，可能会导致他们学习了一种错误的程序。”[3]学生学习函数的基础，目前仅局限于函数的概念、一次函数图像和性质以及反比例函数的一般形式，尚未涉及计算、画图，没有数学体验，没有思维源头的活水，对于反比例函数图像和性质猜测，容易让学生产生正比例函数图像和性质的负迁移，对学生学习产生人为误导。

重构一：呈现数学本色，活跃学生思维。

一堂课让学生快速进入学习状态，必须要抓住学生的注意力，让学生思维快速进入活跃状态。新课引入可以丰富多彩，但一定要快捷有效。“自得”数学课堂要求学生在新旧知识之间建立起联系，把已学的知识不断进行深入地、多层次地学习加工，抓出本质的东西，提炼出数学知识、数学方法、数学思想、数学思维用以解决新的问题。复习旧知作为引入新课的情境，教师应该有一个明确的认识，复习仅是一种手段，对新课学习应有启示，具有承上启下的作用。反比例函数是继一次函数学习之后，对学习函数的规律和方法的又一次强化，学生对函数学习的方法有了初步了解。学习一次函数图像及性质经历了列表→描点→连线→形成图像→研究图像及性质等学习历程，为学习反比例函数提供了经验范式。从学生已有的生活经验和数学知识的实际出发设计问题情境，使学生能基于情境进行思考，发现解决问题的思路和方法。为此，在创设情景时，可以这样引入：我们学习正比例函数经历了哪些步骤？我们能否经历这样的过程学习反比例函数的图像和性质呢？这样设计，既促使学生复习了正比例函数图像和性质，又能启发学生将探索正比例函数图像和性质的方法迁移至反比例函数的图像及性质，从而快速切入新课。

二、学生的自主学习自流化，反思及重构

误区二：忽视学情，自主学习自流化。

“请大家用5分钟时间独立学习课本P127—128，在课本已画反比例函数[y=6x]图像的坐标系中画出[y=-6x]，思考它们的图像各自具有的特征，并将所得与同学交流。”

意图：教学过程问题包含了学生学习的内容，学习时间，让学生将独学所得与同学交流，目的是减少教师的干预，让学生通过自学、自思、自悟、自主交流获取知识。

反思二：任务驱动缺失，自主学习乏方向。

有的教师认为，在学习的过程中由学生自己提出问题，然后学生在不断地思考和交流过程中获取知识，教师不需要干预学生的学习过程。教师的想法虽然美好，但是实际很难达到理想的效果。本节课在独学时采用什么样的学习方法达到什么样的学习目标并不清楚，学生学习的任务驱动力不足。5分钟将内容自学，还要将所得与同学交流，时间安排上并不合理。真实的学情是总分150分的数学试卷，该班八年级学生的期中、期末成绩均分只不过60多分，学生仅依赖课本进行自学、自思、自悟、自主交流，无异于对学生放任自流。教师要求学生观察书上图形得出反比例函数性质，部分学生很可能不画图就贸然说出课本现成的结论，对反比例函数图像及性质理解流于表象，忽视了反比例函数知识发生发展的脉络，甚至是蕴含在知识内的思想方法。教与学的本质属性是教师价值引导和学生自主建构的辩证统一，学生的自主学习，自思、自悟、自学都离不开教师必要的引导与点拨，教师须发挥组织者、引导者、合作者的作用。在本节课中，学生已经系统学习了一次函数的图像和性质，对研究函数的一些基本方法有了一定了解，而反比例函数图像和性质的研究方法更具有一般性和代表性，教师要悉心引导学生而不是放任学生学习自流化。学生只有在教师引导下深度学习反比例函数，才能感受到在继一次函数的学习后在知识的学习上得到了进一步拓展，在对反比函数的理解与认识上又一次得到升华。

重构二：以问题为引擎，引导学生自主学习。

章建跃教授提出“数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫。”[4]教师应深知数形结合是学习反比例函数图像和性质的重要手段，学生必须经历画图感受反比例函数的图像的形成过程，据此用数学的眼光观察、用数学的语言表达其函数图像及性质，有关知识方能自然生成。在课堂环境中，问题会产生温和的压力，帮助激发学生的专注力。学生学习力的形成决不是“客观”知识强加于个体的被灌输的过程，而是一种充满生命活力意义的生成探究的过程[5]。在数学教学中，教师首先应有创造性提出问题的意识和能力。教学不能照本宣科，要整合教材，精心设计问题，学生自主学习才能明确方向，提高效率。结合教材，问题可以重新设计为：请大家画出反比例函数[y=6x]和[y=-6x]的图像，试回答下列问题：

（1）[x]、[y]的值可以為0吗？这个函数的图像与[x]轴、[y]轴有交点吗？

（2）[x]、[y]所取值的符号有什么关系？这个函数的图像在哪几个象限？图像的位置与[k]有何关系？

（3）当[x]>0时，随着[x]的增大（减小），[y]怎样变化？当[x]<0时，随着[x]的增大而（减小），[y]怎样变化？这个函数的图像与[x]轴、[y]轴的位置关系有什么特征？

（4）已知点A（-2，[y1]），B（-1，[y2]），C（2，[y3]）都在此反比例函数[y=-6x]的图象上，比较[y1]、[y2]、[y3]的大小关系。

（5）已知[x1]<[x2]<0<[x3]，点A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），C（[x3]，[y3]）都在函数[y=-6x]的图象上，试比较[y1]、[y2]、[y3]的大小关系。

问题是思维的引擎。此问题链涵盖了本节课的核心知识，让学生带着具体问题去操作、思考，主动获取和运用知识，频繁检查学生理解程度，不断发展学生学习主动性和自主学习能力。当学生在列表→描点→连线→读图的过程中，教师要在以下关键点处引导学生思考：

（1）列表时自变量和函数值左端和右端都有省略号，表明自变量和函数值的取值范围是什么？画图应该如何处理？

（2）一次函数图象是一条直线，不能因此产生认识负迁移，把反比例函数的曲线连成折线，要求学生多描几个点，尽可能画图精确。

（3）一次函数图像与反比例函数图像相比变化有哪些？（一条变两支，直线变为曲线，连续变间断，与坐标轴相交变为渐近）

（4）反比例函数的增减性该如何表述？

问题是思维的源泉，有了问题学生就有思维源头的活水。学生经历观察、猜想、思考等数学活动，初步认识具体的反比例函数图象的特征，逐步明确反比例函数的整体直观形象，借助双曲线解决问题（1）→（3）。问题（4）数字具体，学生一般满足于代入计算比较大小，忽略解决问题的方法多元化，教师要趁此契机，点拨学生归纳解决问题（4）的方法有以下三种：

（1）代入求值，算出具体数值比较大小。

（2）利用函数的增减性比较大小，由于[x1]<[x2]<0，函数图像在二四象限，在每个象限随增大而增大，从而推断出[y2]>[y1]>0，由于[y3]<0，就可以得出[y2]>[y1]>[y3]。

（3）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，[y1]、[y2]、[y3]在[y]轴上大小就直观体现出来了。

多种解题方法的渗透能够拓宽学生的思维。学习有法，学无定法，贵在得法。“在大多数情况下，数学的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的，所谓的‘看’是一种直接判断，这种判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上。”[6]教师要特别强调第三种方法，即“数形结合”法，发展学生的数学思维能力，要求学生形中觅数，数中思形，从函数图像中读出背后的函数思维，看到结论背后的逻辑关系。此法迁移解决问题（5），学生再一次体会“图形可以帮助刻画和描述问题，一旦图形把一个问题描述清楚，就可能使问题变得直观、简单”。

三、“生生”合作探究的误区，反思及重构

误区三：合作探究重形轻质形式化。

“在学完反比例函数图像和性质之后，请同学们合作探究正比例函数与反比例函数的图像和性质的区别和联系？”教师指令一下，学生三五成群，说得热火朝天。教师在讲台观察学情，5分钟后，下令“活动停止！”学生的讨论立即结束，接下来，教师陆续听取学生代表汇报。展示合作成果的主要是优秀学生。

意图：合作探究过程中教师不插手，通过“生生”合作比较两种函数的区别和联系。

反思三：诊断合作过程，剖析低效缘由。

合作学习是提高学生参与度的重要手段，是群策群力解疑释难的重要路径，但从具体操作的情况看，存在以下三点问题：首先，合作学习时间太仓促。学生探究两种函数图像和性质的区别和联系时，只用5分钟时间，讨论尚未充分。教师忽视了学生的类比能力、抽象概括的能力处于待提高状态。在合作过程中，新问题不断产生，学生时而“山重水复”，时而“柳暗花明。”合作活动并非完全按照教师预先设计按部就班进行，为此学生对正比例和反比例函数进行比较活动的时间长短应该由学情动态而有序转换，不能以固定时间，甚至精确到分秒作为课堂节奏的鼓点。其次，合作学习内容难点不明确。“认知模型不仅是一种强大的教学工具，还向学生展示了带着学习动机去完成一项任务意味着什么。”[7]换句话说，当学生面临挑战时，他们会更加投入，更有可能把所学的东西视为重要的，从而求知欲上升，思考动力增强。学生初学反比例函数的图像和性质，对反比例函数增减性的辨识常与正比例函数混淆，这是难点，应该在合作问题中予以明确，使合作活动挑战的方向清晰。第三，合作学习程序过于简化。出示问题→直接讨论→优生展示→教师展示，活动中缺失了个人独立思考的环节，造成学生独立思考不够，合作参与度偏低，这与面向学生全体的教学要求相左，与不同的人数学上得到不同的发展背道而驰。不论什么活动，最终是为了促进每个学生个体机会均等，每个个体得到发展。为此，合作学习程序一般设计为：给出问题→独立思考→分享成果→组内总结→代表发言→教师或学生评价。

重构三：重构合作问题，提升合作效率。

在学生自学而不得或考虑问题不够全面时，合作学习是帮助学生理解、深化认知数学知识的必要手段，有其形无其神就会成为噱头，只有将其正确应用才有真正价值。为了让学生形成将零散的知识转化为相互联系、相互促进的思维模式，教师将活动流程设计如下：先独立归纳正比例函数与反比例函数的联系和区别，然后将自己的成果与同学交流，特别要留意它们的性质异同该如何理解和表述。

在学生自学、交流过程中，教师不是在讲台观察学情，而是深入学生中间，洞悉学情。当学生的思维有阻塞、遗漏时择机引导，为学生提供有启发的指导，把学生的学习从表象思考引入深度思考，把学习活动从低效引向高效。待学生组内充分交流，再派代表全班展示交流成果，最后教师再展示图1。优化学习成果，把相对零散、独立的知识条理化和系统化，让学生对分类指标有更加明晰的认识，对函数之间的辨识更加清楚，从而改进自己的总结，潜移默化地培养学生独立归纳、类比的能力和整理复习的能力，促使学生的自我效能感螺旋上升，为后续学习二次函数积累方法。

“双减”既是对传统教学课堂的严峻挑战，也是重构数学课堂的契机，必将推动数学教师开启课堂寻变之旅。课堂是提质增效的主阵地，数学教学靠题海战术提高学习效益的途径已渐渐远去，通过实施“自得”教学课堂，解决教师高效“教”和学生高效“学”。钟启泉教授指出，作为理想的教师形象，从“教的专家”走向“学的专家”乃是理所当然的[8]。“自得”数学课堂一定要正确发挥教师的主导作用，在促进学生数学学科核心素养发展上加强思考，从学习的氛围营造、目标定位、内容抉择、活动筹划、进程调控、效果评价等各个方面寻求课程和教学的改进，不断实现优教。教师的教学设计要立足学情、教情以及教材编写情况，把课堂学习过程设计成指向问题解决的一连串活动，要挑选合理的学习路径、知识生长路径、思维路径，时时给学生自得学习创造机会，引领学生真学。课堂还给学生，让学生在学习中思考、领悟;教师变教授为启发、引导，让课堂成为学生的“学堂”。总之，数学课堂是立德树人的主阵地之一，数学教师要在数学课堂真正落实“双减”政策，必须在教学中反思，在反思后重构，追求优教真学，将自得数学课堂的理念在课堂实践中变为现实，从而促进学生的学习力自然生长。

[参 考 文 献]

[1]皮普斯.深度教学：运用苏格拉底式提问法有效开展备课设计和课堂教学[M].张春依，田春芳，译.北京：中国青年出版社，2021：49.

[2]朗.如何设计教学细节：好课堂是设计出来的[M].黄程雅淑，译.北京：中国青年出版社，2020：14.

[3]蘇泽.人脑如何学数学[M].赵晖，等译.上海：上海教育出版社，2019：35.

[4]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015，54（01）：61-63.

[5]钟启泉.读懂课堂[M].上海：华东师范大学出版社，2017：41.

[6]史宁中.数学思想概论·图形与图形关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2009：222-225

[7]马扎诺，皮克林，赫夫尔鲍尔.高度参与的课堂：提高学生专注力的沉浸式教学[M].白洁，译.北京：中国青年出版社，2020：27.

[8]钟启泉.读懂课堂[M].上海：华东师范大学出版社，2017：168.

（责任编辑：杨红波）

作者简介：徐超凡（1972—），男，江苏灌云人，灌云县伊西九年制实验学校高级教师，教育硕士，市数学学科带头人，灌云名师，研究方向：中学数学教学。

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