傅里叶变换与离散傅里叶变换相结合的信号谱分析教学新方法探讨

刘 威，吕 洁

(金陵科技学院 网络与通信工程学院，南京 211169)

信号的谱分析是信号与系统和数字信号处理课程中的重点内容。前者针对时域模拟信号，常采用傅里叶变换(Fourier Transform，FT)得到信号谱的解析结果。后者针对时域离散信号，常采用离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)得到信号谱的测量结果。学生在学习这些知识点时，常孤立地看待FT和DFT，对二者之间的关系理解不深。鉴于此，提出了一种谱分析教学方法。分析了模拟角频率和数字角频率的关系，从理论上推导出在频域上对FT的结果进行采样后，得到的傅里叶变换幅值是离散傅里叶变换幅值的Ts倍。以一个指数型衰减时域信号为例，通过仿真实验，验证了上述结论。实验结果显示，随着样本点的增加，经过修正后的离散傅里叶变换幅值与频域解析信号的幅值一致。说明DFT和FT是密切相关的，采用DFT的结果去测量信号频谱的理论值是合理的。

1 模拟信号与数字信号的傅里叶变换

1.1 信号的傅里叶变换

对于模拟信号x(t)，其FT为：

(1)

其中，Ω是模拟角频率，单位为rad/s。当对模拟信号x(t)进行时域采样后，可以得到离散数字序列x(n)≜x(nTs)。其中，Ts为采样周期，t=nTs，n=0,1,…。此时，fs=1/Ts为采样频率，x(n)的DFT为：

(2)

DFT的计算复杂度较高，在实际应用中，为了降低计算复杂度，常采用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)来得到DFT的结果。

1.2 模拟角频率与数字角频率

在模拟信号的频谱分析中，f是模拟频率(单位为Hz或s-1)，Ω是模拟角频率(单位rad/s)。比如：某个模拟信号为x(t)=sin(Ωt)，其中Ω=2πf。当对模拟信号进行时域采样后，这时x(t)就变成：

x(n)=sin(ΩnTs)=sin(Ωn/fs)

(3)

若定义数字角频率ω≜ΩTs，则：

x(n)=sin(ωn)

(4)

此时，ω=ΩTs=2πf/fs。ω也称为数字频率，它是一个相对频率，单位为rad。在DFT中，由于f∈[-fs/2,fs/2]，因此ω∈[-π,π]。对于一个N点的DFT，若定义频率间隔为Δω≜2π/N，则各个离散频点的角频率为：

ωk=kΔω=2πk/N，k=-N/2+1,…,-1,0,1,…,N/2

(5)

相对应地，各个频点的模拟角频率为：

Ωk=2πk/(NTs),k=-N/2+1,…,-1,0,1,…,N/2

(6)

1.3 FT与DFT之间的关系

将式带入式，可以得到模拟频谱X(jΩ)频域采样值，将积分写成级数形式，可以得到：

=Ts·X(k)

(7)

上式表明，FT的幅值是DFT幅值的Ts倍，这说明可以利用DFT的结果来表示原始信号的频谱，但不是所有的模拟信号都有解析频谱值，所以直接分析信号的频谱不一定可行。可以根据上面的结论，间接地采用DFT的频谱来代替原始信号的频谱。

2 实验结果及分析

2.1 时域信号

以指数衰减信号x(t)=Ae-atu(t)为例，其中Re{a}>0，则其FT为X(jΩ)=A/(a+jΩ)。本实验设定的参数值为A=2，a=3，则时域信号为：

x(t)=2e-3tu(t)

(8)

频域信号为

X(jΩ)=2/(3+jΩ)

(9)

2.2 Matlab仿真流程图与代码设计

为了验证结论，采用Matlab 2019b作为仿真平台，仿真流程图如图1所示。本仿真共有四步：第一步是设置采样的样本点数量。采用了N=32，N=64，N=128三种参数。第二步是计算模拟信号FT结果的频域采样值。第三步是利用Matlab自带的fft()函数，计算离散时间信号的DFT结果。第四步是采用绘图的形式，比较FT和DFT结果。

图1 Matlab仿真流程图Fig.1 Flow chart of Matlab simulation

根据图1的流程图，设计了本次仿真的代码，如表1所示。

表1 Matlab仿真的代码Tab.1 Code of Matlab simulation

2.3 仿真结果与分析

仿真结果如图2所示。

图2 FT与DFT幅度谱结果的比较Fig.2 Comparison of FT and DFT magnitude spectra results

采用了N=32，N=64，N=128三种参数，用于观察DFT与FT幅度谱随样本点个数增加而变化的情况。从图中可以看出，当N=32时，DFT与FT的幅度谱趋势基本一致，但是样本点的值存在显著差异。当N=64时，DFT与FT幅度谱的样本值差异减小且在高频部分基本一致，低频部分差异性稍大。当N=128时，DFT与FT幅度谱的样本值差异进一步减小且在低频部分和高频部分都基本一致。这说明当样本点逐渐变大时，DFT与FT幅度谱的样本值趋于一致，呈现出收敛的特性。因此，可以采用DFT的幅度谱来近似代替FT的幅度谱。

3 结论

提出了一种将傅里叶变换与离散傅里叶变换者相结合的频谱分析教学新方法。介绍了模拟角频率与数字角频率的区别与联系，推导出了傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系，即频域采样后得到的傅里叶变换幅值是离散傅里叶变换幅值的Ts倍(Ts为采样间隔)。通过仿真实验，比较了信号频域幅度谱的解析值与离散傅里叶变换幅度谱的结果。实验结果表明，经过变换修正后的离散傅里叶变换幅值与频域解析信号的幅值一致。这说明了DFT和FT是密切相关的，采用DFT的结果去测量信号频谱的理论值是合理的。