选用合适的方法，高效解答函数最值问题

冯东新

函数最值问题是指在某个或多个约束条件下，求某个函数式的最大值和最小值.此类问题的综合性较强，通常需灵活运用简单基本函数的定义、性质、图象，以及复合函数和导函数的性质来解答.本文重点介绍解答函数最值问题的三种常用方法：导数法、函数性质法、基本不等式法.

一、导数法

利用导数法求函数最值的步骤为：

第一步，对函数进行求导；

第二步，令导函数为0，求得其零点；

第三步，用零点将函数的定义域划分为几个区间，并在每个区间上讨论导函数与0的大小关系.若导函数大于0，则函数单调递增；若导函数小于0，则函数单调递减；

第四步，根据函数的单调性画出函数的大致图象，确定函数的极值点，并求得函数的极值；

第五步，将极值与函数在定义域端点处的值进行比较，其中较大的为最大值，较小的为最小值.

所以函数的最小值为-1.

运用导数法求函数的最值，主要是根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而求得函数的极值.在运用导数法求函数的极值时，要注意：函数极大（小）值不一定是函数的最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，因此，在求得极值后，需将极值与函数在定义域端点处的值进行比较.

二、函数性质法

如果遇到的函数为熟悉的基本函数，如一次函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数等，就可根据这些基本函数的单调性来求函数的最值.运用函数性质法求最值，需先根据函数单调性的定义、复合函数的性质判断出函数的单调性.一般地，对于增函数而言，在定义域[a，b]上，函数在x=a处取最小值，在x=b处取最大值；对于减函数，函数在x=b处取最小值，在x=a处取最大值.

对于多元函数的最值问题，通常要根据已知条件消元，将问题变成一元函数最值问题，再根据一元函数的单调性来求最值.对于一元一次函数y=kx+ b（k≠0），當k>0时，函数单调递增；当k <0时，函数单调递减.将定义域的端点值代入函数式中，即可根据一次函数的单调性求得函数的最值.

除了上述这些方法外，求函数最值的方法还有换元法、消元法、数形结合法等.相比较而言，函数性质法和基本不等式法比较常用，导数法比较复杂，因此在解题时，可首先运用前两种方法，最后考虑运用导数法.

（作者单位：江苏省沭阳如东中学）