时钟佯谬的另一结论——时钟速率的另一公式

孟广达，霍瑞云，王润华，屈宝珊

(1.郑州大学 物理系，河南 郑州 450052；2.河南财政金融学院，河南 郑州 451464；3.东南大学附中，江苏 南京 210018)

两点说明：

1)人们使用狭义相对论这一术语时，其含义是有差别的。大多数人仍然是仅限于惯性参照系；有些人把非惯性系也包括在内了。本文采用前者。

2)本文中时钟A总是指相对于惯性系不经历加速过程的时钟。

1 时钟佯谬的简单回顾和我们的看法

惯性参照系中t=0时一时钟从原点出发沿x轴正方向匀速运动，速度为v。出发时其读数为零，由间隔不变性可得任一时刻t时其读数τ为[1]

(1)

式中x为该时刻时钟的坐标。因为x=vt，所以

(2)

据此该参照系中的观测者判定运动时钟慢了。

现有A、B两个时钟。二者沿其连线以相对速度v匀速运动，相遇时校对零点。时钟A参照系中的观测者根据公式(2)判定时钟B慢了；而时钟B参照系中的观测者同样根据公式(2)判定时钟A慢了。两个判定似乎矛盾，其实不然。原因如下：时钟A参照系中的观测者的判定，不是根据时钟B的读数与时钟A的读数比较得出的结论，而是根据时钟B的读数与位于它所到达地点的时钟的读数相比较得出的。时钟B参照系中的观测者的判定也是如此。任何惯性系中各处的时钟都是校准过的。所以这两个参照系中的观测者的判定都是正确的，二者互不相干。但是由于同时的相对性，这两个参照系中的观测者都认为对方的时钟没校准，都不会认可对方的判定。这种互不认可不会导致混乱。由此可见，所谓运动时钟慢了,并不是时钟由于运动而使得其自身发生了改变所导致的结果，而是同时的相对性所导致的观测结果，是一种表观现象[2]48-49。

(3)

dτ=通常称为时钟的速率。人们认为时钟速率的这个公式(3)对于作任意运动的时钟都是有效的，式中v是时钟的瞬时速度。为了给这样的处理办法提供依据，明确地作出了假设[2]48-49：

时钟相对于惯性参照系的加速度不影响时钟的速率；在任一时刻它的固有时增量都与相对它瞬时静止的惯性参照系中标准时钟的固有时增量相同。

前面分析时钟延缓的性质时已经说明，时钟A参照系中的观测者与时钟B参照系中的观测者所作出的相反的判定并不矛盾。但是，如果让时钟B经历短暂的加速阶段而反向运动，再次与时钟A相遇，将这两个时钟的读数直接比较，结果会如何？究竟哪个时钟慢了？这就出现了所谓的时钟佯谬。在爱因斯坦关于相对论的第一篇论文中该佯谬就提了出来[2]257-258。相对论创立的初期，在关于相对论自洽性的问题讨论中它是个热门话题，成为相对论向前进展的推动力之一[2]48-49。根据时钟延缓爱因斯坦对时钟佯谬给出的结论是：时钟B慢了[3]。广义相对论创立后他进一步指出，解决时钟佯谬要考虑到引力场(惯性力)。爱因斯坦的解答可以视为时钟佯谬的“通解”。直到现在能够被大多数关心时钟佯谬的人接受的解仍然是这个“通解”。

爱因斯坦的解答过于简单，也没有给出一个实例。所以人们对于此“通解”虽然可以接受，但是很不满足，心中很不踏实，有些人也许打算作为一个探讨的课题，总想找个实例，对一个具体的过程给出完满详细的证明。出人意料的是，一旦对某个确定的过程进行讨论，不少难以克服的困难就出现了，以致于一个世纪过去了，就我们所知，直到现在还没有得到一个不需要进一步讨论的完满解答。C.MΦller的解可能是最好的一个实例，但是也存在问题需要进一步讨论，例如，由他的解推出了一个十分离奇的结果：时钟读数的增量有负值[4]。这个负增量很难处理。

为了摆脱处理实例，回避面对束手无策的困难，人们想了一些办法：例如利用积分是变量变换的不变量、固有时是坐标变换下的不变量、近些年出现的几何语言表达……但是都达不到目的，关心时钟佯谬的人总是要提出实例进行质疑的，摆脱不掉处理实例。

被控对象中反应堆的建模包括反应堆压力容器下降段、下腔室、堆芯活性区、旁流通道、上腔室等区域.反应堆建模节点划分如图5所示.

一百多年过去了，时钟佯谬竟然没有一个完满的解，这不值得深思吗？原因何在？原因不止一个。首先被质疑的应该是爱因斯坦对时钟佯谬给出的结论：时钟B返回到原点时比时钟A慢了，即τB<τA。我们来分析一下它所导致的一些后果。

1)改变了现象的性质

如前面所述，惯性参照系中得出的运动时钟变慢是由于同时的相对性而导致的表观现象，而时钟B比时钟A慢却是与同时的相对性无关的“绝对物理效应”。时钟B的读数在与时钟A的读数比较之前，时钟B变慢是表观现象；一旦见到了时钟A，它变慢就变成了绝对的物理效应。这能令人置信吗！什么因素导致了现象性质的改变？

2)“返老还童”

如果时钟变慢的确是物理效应，那么在时钟佯谬的解中出现的时钟读数的负增长也就不是表观现象，而是真实存在的了。难道人果真能“返老还童”[4-7]！

3)长生不老

物理学中设想理想情况是常见的、有用的。例如不受外力作用的物体、不会发生形变的物体、绝对黑体……现在我们也设想一个理想情况：假设地球参照系是个惯性系。某人生下后母亲就带他乘宇宙飞船以接近光速的速度出外旅行。亿万年后当他返回到地球时,很难想象地球已经变成了什么样的状态，而他还是个要吃奶的小娃娃。如果飞船的速度无限接近光速，那么在地球参照系中观察，他们就长生不老了，有可能吗！

我们不知道爱因斯坦作出这个结论的确切根据。在我们看来，时钟B返回到原处必定经历了加速运动过程，因而要得出这个结论只有利用公式(3)。

公式(3)是把时钟相对惯性参照系作匀速直线运动才成立的公式(2)扩展到变速运动而得到的。为了使这个扩展有根据还特此作出了明确的假设(见前面)。但是，即使作了这个假设，把公式(3)确定为适用于任意运动时钟的公式，也是根据不充分的。这是因为可能影响时钟速率的因素除了速度和加速度外，还有其他的，例如坐标[2]257-258。

2 新观点和新结论

公式(3)是公式(2)的推广，而公式(2)来自公式(1)。我们坚信运动时钟延缓是由于同时的相对性而导致的表观现象，不是绝对的物理效应。根据我们对这种表观现象的理解，我们认为把公式(1)推广到时钟作任意运动的情况更合理些，至少也是一种可能的选择。因此我们认为公式(1)，而不是公式(3)，对于作任意运动的时钟都是适用的。由此得出时钟速率的另一公式

(4)

该式不同于公式(3)不仅表现在速度上，而且还表现在时钟的速率受其所在位置的影响。

时钟作匀速直线运动时，x=vt，公式(4)化为

这是常用的时钟延缓公式的变形。

公式(3)和公式(4)相比较哪一个合理些，只有由它们推得的结果来判定。

作为公式(4)的应用例子，我们来讨论时钟佯谬的一个实例：t=0时惯性参照系中时钟B从原点出发沿x轴正方向匀速运动，速度为v。t=T时速度瞬间反向，t=2T时返回原点。t=0时，时钟B的读数与位于原点的时钟A的读数均为零。

由公式(4)得时钟B返回到原点时时钟A的读数

(5)

时钟B在t=0至t=T的时间内和t=T至t=2T的时间内，运动方程和速度分别为

(6)

由式(5)和式(6)得τA=τB，即时钟B返回到原点时，它的读数与时钟A的读数相同。

根据所得的这个结果，我们认为时钟佯谬之所以长时间得不到完满解决的主要原因之一是：原来的那个被认为毋庸置疑的结论τB<τA可能错了。

3 讨论

为了在惯性参照系中计算加速运动时钟的读数或读数增量，在狭义相对论的两个基本原理之外，增添假设是必需的。根据本文中所提的假设，狭义相对论中不出现原先所谓的时钟佯谬。因而不会导致使本来是表观现象的时钟延缓变为绝对的物理效应，容易解释时钟读数增量的负值，也不会在理想情况下得出幻想的长生不老。

至于究竟是τB<τA，还是τB=τA，现在有可能用事实判定。在此我们概略地建议一种可以付诸实施的方法：把足够精密的钟表若干个分别置于地面上不同的地方和空间站内，尽量减小引力的影响。经过足够长的时间(例如一年)后把空间站中的钟表的读数与地面上的进行比较，估计可能得出比较准确的结论。比较的结果无论判定哪个结论正确，该工作都是很有意义的。这里需要指出的是，确定引力场的影响程度是不容易的，这种实验以前有人做过，对于同一个实验结果人们的看法很难一致。例如文献[2]第229页与文献[8]的分歧就相当大：文献[2]第229页认为环绕地球的飞行实验牵涉到引力场的影响，该实验的结果中扣除不掉这种影响；文献[8]认为该实验结果中引力场的影响已经扣除了，显见确定引力场的影响并非易事。利用空间站作出的这种实验比以前的实验不知会准确多少倍，但是能到多大程度扣除引力场的影响，这可能与实验的布局有关，准确算出引力场的影响大概不可能。