立序：数学教学的有效预设

李佳（江苏省苏州市沧浪实验小学校 215000）

数学课堂是“预设”与“生成”的统一体。精心预设，是为了更好的生成。预设，关键就是要处理两方面的问题：其一是教学的内容；其二是教学的形式。丰富教学内容，关键在于选材，而优化教学形式，关键在于立序。而无论选择怎样的素材，都有一个立序的问题。从某种意义上说，立序决定着教师的教学效能。通过立序，让教师的教学目标、内容以及认知过程形成一致。

一、立序：依据数学的学科知识

陶行知先生所说：“千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。”立序，关键是要依据数学学科知识的特质展开。立序，从组织形态来说，包括两方面的内容：一是立学习内容组织之序，二是立学习素材组织之序。学习内容组织之序，就是要根据数学知识的诞生的先后过程，安排数学知识的学习顺序。

比如，教学《认识体积》这一部分内容时，我们循着数学知识的演变顺序，设计研发相关的任务，对学生的数学学习导学。其一是让学生认识到物体总是占有一定的空间，其二是让学生认识到物体所占有的空间有大有小。在此基础上引导学生建构“体积”概念，即物体所占空间的大小叫作物体的体积。在这个过程中，教师组织学生展开数学实验，也应该是非常有层次性、次序性的。如在引导学生认识“物体所占有的空间有大有小”这一环节，教师可以预设这样的几个步骤：其一是让学生直观感知物体所占有的体积有大有小，如一些排列的规则形体；其二是一些不规则的形体所占有的空间，可以采用一种等体积转化的方法；其三是一个物体的形状改变、但体积保持不变等。这样的一种多维度的层次性的设计，能让学生建立“体积”这样的一个抽象性、形式化的概念。在这个过程中，可以直接比较大小、可以通过计数比较大小、可以通过等体积变形比较大小以及通过自身形状的改变而体积不变等的“有序组织”，使学生对体积的概念的理解更加立体、丰富和全面。

二、立序：依据学生的具体学情

学生的具体学情是教师有序预设教学的又一个重要的依据。即使对于同一个数学教学内容，面对不同的学生，其设计逻辑、设计起点、设计序列是不同的。教师应当寻求最优化的设计序列，以便让教学能切入学生数学学习的“最近发展区”，以便引导学生从“现实发展水平”提升至“可能发展水平”，让学生“跳一跳摘到桃子”。顺应学生的具体学情而有序设计的教学预案，能让教学预设更富有针对性、实效性。

比如，教学《加法交换律》这一部分内容时，我们发现教材是这样编排的：在《加法交换律》之后安排了《加法结合律》，在《加法结合律》之后安排了《乘法交换律》。尽管这样的一种编排方式体现了知识的逻辑性、结构性和系统性，但从学生的学习心理需求看，我们认为将《加法交换律》和《乘法交换律》放置在一起比较科学。在深入研究《加法交换律》之后，学生会积极地调动相关的数学活动经验、思想方法、学习方法等，主动猜想、验证其他运算的交换律，包括乘法交换律。通过有序研究，学生对“交换律”这一知识本身就会形成比较深刻的认知：即应用交换律应当连同数字前面的符号一起进行交换，而不是简单地交换加数、减数、乘数和除数等。如此，学生就能深刻地认识到，加法交换律同样可以应用在减法算式上，乘法交换律可以应用在除法算式中。这样的一种有序性的教学预设，更加地符合学生的具体学情，更加切入学生的认知区域，更符合学生的认知序列，因而更能启发学生思考、引导学生探究。依据学生的具体学情而展开的一种有序教学预设，是一种有效的教学预设。

数学学科知识逻辑是一种客观的逻辑，但学生的具体学情却是有差异性的。基于具体学情，有序教学，力图“解放学生”。立序，就是要求教师的教学“不凌节而施”，而是能循序渐进、有序推进。立序教学，呼唤着教师不断地对教学预设进行打磨，从而让自我的教学预设更能匹配学生的数学学习，更能适应学生的数学学习。

三、立序：依据课堂的动态变化

“预设”与“生成”不是对立的矛盾体，而是一体两面的统一体。从某种意义上说，预设与生成是相互转化的。在课堂上，好的预设能促进生成，同时，好的生成又能反过来调适教学预设。有序性的教学预设，不仅要从数学学科本体性知识的逻辑、学生的具体学情出发，而且要关涉课堂瞬息万变的情态。有序有效的课堂预设，要从课堂的动态变化出发，引导学生寻根问道、立本望远。

比如，教学《认识公顷》这部分内容时，我们开始的教学预设是这样的：先给学生一个定义，让学生认识到一公顷就是一万平方米。在此基础上，引导学生展开关于公顷的体验性活动，如让28个学生围成一个正方形。在课堂教学实践中，我们发现，这样的一种教学预设存在着两方面的突出问题：一是学生尽管认识了一公顷等于一万平方米，但不知道为什么这样规定？二是尽管有了28个学生围成一个正方形的活动，但这种形成的动态表象不能成为学生的解决问题的有效参照。为此，我们在另一个班上课时，针对课堂的动态生成，调整教学预设，让这一部分内容的教学有序可循、有物可依。由此建构了以下的序列化教学预设：一是帮助学生厘清相关的面积单位知识方面的序，从平方厘米到平方分米，从平方分米到平方米，从平方米到平方十米（公亩），从平方十米（公亩）到平方百米（公顷），从平方百米（公顷）到平方千米。如此，学生就能深刻地理解相邻两个面积单位之间的进率是一百。这样的一种有序性的教学预设，让学生充分地、深刻地认识到规定“一公顷等于一万平方米”的合理性；二是引导学生将静态参照与动态参照等结合起来。先让学生直接感受、体验，如组织28个学生围成一个正方形；在此基础上，在引导学生间接感知、推想，如学校中的一个操场、250间教室等。通过这样的一种从直接到间接的有序设计，让学生的数学问题解决获得了多维参照，稳固了学生的表象。学生在实践活动、问题解决的过程中能有效地调动自身的表象。

序，既是一种客观性的存在，又是一种主观性的理解。有序教学，不仅要遵循数学学科知识之序，更要尊重学生的认知之序。教学中，教师要认识“序”，理解“序”，实践“序”，才能让“序”在数学教学中真正地“立”起来。不同的理念会有不同的教学设计。有“序”的教学设计能打开学生的思维，让学生的思考、探究更有序列性、步骤性。在数学教学中，“有序”与“无序”是辩证统一的。教师不仅要善于“立序”，更要善于“变序”“改序”“优序”。通过序列性的数学教学，让学生的数学学习从低阶迈向高阶、从肤浅走向深刻，让学生的数学学习深度发生。