类斜抛运动探析

王 磊

(锦州医科大学医疗学院 辽宁 锦州 121000)

抛体运动一直是高考的重要考点，主要包括平抛运动、斜抛运动、类平抛运动和类斜抛运动，通常以带电粒子在匀强电场、重力场组成的复合场的运动为背景，全面考查学生建构物理模型及应用数学知识解决物理问题的能力[1].

类斜抛运动是指初速度方向与合外力方向不垂直的匀变速曲线运动，其他抛体运动都可以看成类斜抛运动的特殊情况，具体关系如图1所示.

图1 类斜抛运动与其他抛体运动的关系

对于匀变速曲线运动，总的处理思路是化曲为直，通常利用合运动与分运动之间的独立性、等时性、等效性，转化为两个相互垂直的直线运动，以方便求解.类斜抛运动类型多，情况复杂，要根据实际情况选择分运动[2].

1 只受一个力

将粒子初速度分解到沿着力和垂直力方向，沿着力方向按照匀变速直线运动处理，垂直力方向按照匀速直线运动处理.

【例1】如图2所示，平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°，上极板带正电.一电荷量为q(q>0)的粒子在电容器中靠近下极板处，以初动能Ek0竖直向上射出.不计重力，极板尺寸足够大，若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为( )

图2 例1题图

解析：带电粒子只受电场力，方向垂直平行板向右下.将粒子的速度v0分解为垂直于板的vy和平行于板的vx，如图3所示.

图3 粒子速度v0分解图示

粒子初速度在垂直于板的方向的分速度

电场足够大时，粒子到达上极板时速度恰好与上极板平行，即粒子垂直于极板方向的速度v′y=0.

根据运动学公式有

又知

联立以上各式，得

故选项B正确.

2 受到两个垂直的力其中一个力与速度共线

粒子在两个力的方向均按照匀变速直线运动处理.

图4 例2题图

(1)小球的初速度v0；

(2)电场强度E的大小.

解析：假设小球初速度为v0，运动到管口所用的时间为t.

(1)小球在竖直方向做自由落体运动，有

在水平方向上做末速度为零的匀减速直线运动，有

联立解得

(2)水平方向，根据牛顿第二定律，有

qE=ma

由运动学公式，有

联立解得

3 受到两个垂直的力两个力与速度均不共线

将粒子初速度分解到两个力的方向，两个方向均按照匀变速直线运动处理.

【例3】如图5所示，一个充好电与电源断开的竖直放置的平行板电容器，左极板带负电，右极板带正电，板间电场可视为匀强电场.一个质量为m，带电荷量为-q的油滴，从点O以速度v射入板间，v的方向与水平方向成θ角，油滴到达运动轨迹的最高点N(图中未标出)时，速度大小又为v，并恰好垂直打在电容器的极板上，重力加速度为g.求：

图5 例3题图

(1)最高点N与点O的电势差UNO；

(2)板间的场强E的大小.

解析：油滴到达最高点N时速度大小为v，方向水平.

油滴从点O到点N运动过程中，由动能定理有：WG+W电=0，重力做负功，所以电场力一定做正功.油滴带负电，最高位置一定在点O的右上方，即垂直打到右板上.

(1)油滴在水平方向做匀加速直线运动，初速度为vcosθ，末速度为v.

由动能定理得

解得

(2)油滴在竖直方向上做竖直上抛运动，初速为vsinθ.

油滴由O运动到N的时间

水平方向的位移

电场强度大小

4 受到两个共线的力

将粒子初速度分解到沿着力和垂直力方向，沿着力方向按照匀变速直线运动处理，垂直力方向按照匀速直线运动处理.

【例4】如图6所示，在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A，B，C3点在同一直线上，且AB=2BC，由此可知( )

图6 例4题图

A.小球带正电

B.电场力为3mg

C.小球从A到B与从B到C的运动时间之比为2∶1

D.小球从A到B与从B到C的速度变化量大小相同

解析：小球从A到B为平抛运动，从B到C为类斜抛运动，本题可按照运动的独立性处理.

在水平方向，小球从A到C运动过程中始终做匀速直线运动.又AB=2BC，小球从A到B与从B到C的运动时间之比2∶1，故选项C正确.

在竖直方向上，小球从A到B为自由落体运动，从B到C为末速度为零的匀减速直线运动.

电场力方向向上，场强方向向下，则小球带负电，故选项A错误.

设小球在B点的竖直速度为v，在AB段，有

v=gtAB

在BC段，有

又

Eq-mg=ma

解得

Eq=3mg

故选项B正确.

小球从A到B与从B到C的水平速度不变，竖直方向速度变化量大小相同，故选项D正确.

故答案为选项B，C，D.

5 受到两个不垂直不共线的力其中一个力与速度共线

将与粒子速度不共线的力分解到速度方向和垂直速度方向，两个方向均可按照匀变速直线运动处理.

【例5】(原创题)如图7所示，在地面上方区域存在足够大的匀强电场，电场强度为E，且与竖直方向夹角为θ.一质量为m，带电荷量为+q的小球从地面上A点以初速度v0竖直向上抛出，落到地面上B点(图中未标出)，重力加速度为g.求：AB间的距离.

图7 例5题图

解析：带电小球从A到B运动的过程中，竖直方向做匀减速直线运动，加速度为

从A到B的时间

在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度

AB间的距离

6 受到两个不垂直不共线的力两个力与速度均不共线

此类情况单纯考虑分解力或者分解速度会有多种情形，处理时较为复杂.这里给出一种通用的方法——正交分解法，因力和速度都是矢量，可使尽可能多的矢量在坐标轴上，将不在轴上的矢量分解到坐标轴上，再对坐标轴方向分别列方程求解.对于所有情形类斜抛运动，此方法均可方便求解.

【例6】如图8所示，空间存在一匀强电场，与水平方向的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v0从A点水平向右抛出，经过时间t小球最终落在C点，速度大小仍是v0，且AB=BC，求：

图8 例6题图

(1)电场强度E；

(2)小球下落高度h.

解析：由A点向BC作垂线，交BC于M；由C点向AB作垂线，交AB于N，如图9所示.

(1)小球在下落过程中初末速度不变，由动能定理可知

WG+W电=0

即

mg·ABsin∠ABM-Eq·BCcos∠BCN=0

解得

由于带正电小球在下落过程中重力做正功，则电场力做负功，故电场强度方向斜向下.

(2)将电场力按照水平方向和竖直方向分解，在水平方向，有

在竖直方向，有

小球下落高度

综上，处理类斜抛运动需根据实际情况分解力或分解速度.如果从力和速度的矢量特性出发，采用正交分解法，将不在轴上的矢量分解，所有情景均可方便求解.对于类平抛运动等抛体运动，此方法依然适用.