一维无限深势阱定态波函数动量展开讨论

单 斌 李浩博 杜 纯 文艳伟

(华中科技大学材料科学与工程学院 湖北 武汉 430074)

一维无限深势阱求解是量子力学初学者的入门问题，也是课程中必不可少的经典问题，其薛定谔方程的求解步骤，以及相关定态的空间概率分布解释等，在各类教材中的阐述已经十分成熟和明确.但是，一维无限深势阱定态动量概率分布却在教学中较少涉及，相关教材和习题也巧妙避开了这个具有争议的部分，导致学生学习过程中对于定态的动量展开存在困难以及理解的偏差.实际上，朗道[1]和泡利[2]等物理学家就对一维无限深势阱中粒子波函数定义域的理解存在分歧，导致了该问题两种迥异的结论.笔者在授课过程中，通过引导学生对于这个历史问题进行了溯源和讨论，并在现代的Python等数值分析工具辅助下将一维无限深势阱定态波函数动量展开进行可视化，直观地绘制出不同情况不同解法下粒子的动量概率分布图，从而有效促进学生知识、能力和素质的综合培养，在量子力学理论教学中锻炼学生严谨的科学作风和解决复杂难题的实践能力.

1 一维无限深势阱定态动量展开问题

1.1 问题引入

一维无限深势阱是理想化的数学模型，实际的量子点等材料体系在特定条件下也可抽象成一维无限深势阱问题进行近似处理[3,4].该模型的势阱可表示为

根据波函数的连续性、有界性条件，可解得粒子能量本征值及其归一化定态波函数

现有的教材和习题充分讨论了自由粒子不同形态的空间波函数及其动量分布概率[5,6].然而，针对一维无限深势阱中的粒子的动量展开却缺乏类似的讨论.课堂教学过程中，笔者引入了开放教材网站LibreTexts上关于一维无限深势阱的习题[7].

【例题】现有一个处于如下一维无限深势阱中基态的粒子，求其动量分布概率.

课堂上，笔者组织学生针对展开的计算过程和结果进行分组讨论.在教师的引导和学生们自发的讨论氛围下，很快形成了两种“针锋相对”的观点.

一方认为，为求得波函数的动量分布概率，需要将波函数在频域中展开为

另一方认为，一维无限深势阱基态粒子处于定态、有两个确定的动量值，取两个值的概率相等，不必进行繁琐的积分.

1.2 动量展开的两种结论

事实上，历史上量子力学的权威专家学者对该粒子动量分布概率及其求法亦存在分歧[8,9].朗道的观点与学生中一方的观点一致，即一维无限深势阱基态粒子动量概率连续分布，势阱中基态粒子的动量分布，从归一化定态波函数出发可得

经变换及简化，可得

可以看出，一维无限深势阱基态粒子动量的泡利解是分立的两个值、两个取值的概率相等，而朗道解是连续的、不同取值的概率是连续分布.以上两种推导结果完全不同，有意思的是，当粒子处于激发态时，两种结论将表现出一定的共性，经过解析推导，n≥2时朗道解可表示为[10,11]

则相应的概率密度为

|φn(p)|2=

或可近似由下式给出

|φn(p)|2≈

式中

2 动量概率分布的可视化

课堂上关于一维无限深势阱动量概率分布的两种理解讨论颇为激烈，由于公式的复杂性，学生们没有对两种不同解法的差异有一个定量和直观的理解.为了弥补这方面的不足，锻炼学生独立解决问题的能力，笔者布置了课后的学习任务，引导学生查阅国内外文献以及调研一维无限深势阱粒子动量概率分布的研究现状.同时，通过JupyterLab平台编写了Python程序框架，引导学生们探究不同能级n及势阱宽L下一维无限深势阱粒子动量概率分布并进行结果的可视化，以深入理解n=1时泡利解与朗道解的差异，认识n≥2时二者展示出的共性.

由于物理常数的改变一般不影响理论的形式，为方便求解，设定程序中的ћ=1，得到的结果如下.

表1 L=2，ћ=1时粒子动量分布概率相关信息

图1 设L=2，ћ=1时粒子动量分布(横轴、纵轴取任意单位)

不随n变化.L一定时，随着n增大

不断减小，此时测得

的概率亦增大；当n→∞时，可理解当且仅当

时，动量分布概率不为零.故可视化结果与理论吻合良好，随着n增大，泡利解逐渐趋于朗道解.所以实际上，这两种不同的物理图像并不是完全相互矛盾的，而是在渐进的条件下取得了一致的收敛.

图2 设n=1时粒子动量分布(横轴、纵轴取任意单位)

图3 设n=50时粒子动量分布(横轴、纵轴取任意单位)

表2 n=1及n=50时粒子动量分布概率相关信息

3 结束语

笔者以“一维无限深势阱定态波函数动量展开”问题为例，引导学生利用Python等现代信息技术工具和中英文在线教学资源，揭示了n=1时该问题泡利解与朗道解的差异，以及n≥2时二者展示出的上述共性.教学过程中，丰富的教学手段充分激发学生的学习热情，鼓励勇于探索、勇于质疑的科学精神，通过辨析两种解的异同学会辩证思考科学理论，成功将科学精神、团队意识、协作精神等融入课堂，做到了“润物细无声”.整个课程教学中，笔者结合线下的知识传授、分组讨论以及线上的自主学习方法进行混合式教学，激发学生自主学习意愿，培养学生创新意识.同时，引入中文和英文双语资料、介绍与课程知识相关的拓展讨论，注重学生综合能力的培养.此外，鼓励学生自主学习和合理使用Python等现代信息技术工具，将学习的主动权移交给学生，通过查阅资料、自主模拟深入理解课堂内容，生动实践了“翻转课堂”的理念.正是这种创新的教学理念，让课程组负责的量子力学课堂多次获得校教学质量一等奖、学生最满意课堂等荣誉，学生对课堂好评如潮.