初中数学教学中数形结合思想的应用探究

陈其涛

数学这门学科具有极强的抽象性、逻辑性，特别是初中阶段的数学，难度较大，学生在学习过程中会遇到很多的困难和阻碍。随着素质教育理念的不断深入，初中数学作为基础教育中重要环节之一，教师也应该对传统的教學模式进行改革。数形结合能够将数字和图形进行有机转换，在课堂中运用数形结合的思想，学生能够加强对数学知识的整合、融汇，灵活地构建系统性的知识结构，在潜移默化的过程中，学生学科素养得到发展，高效初中数学课堂构建目标得以落地。

（一）数形结合的内涵

数形结合是一种以数字和图形为基础的直观性教学方法，主要通过以形化数、以数化形、数形互变等方式，让学生能够更深刻理解、学习数学知识，掌握学习技巧、技能。

首先，根据数的精确性特点与数量型的特征，数将辅助形并突出形所含有的数学属性；根据形的直观性特点与几何型特征，形在数的问题中的应用，将帮助解题者有机简化实际数学问题的文本，将抽象数学语言转化为直观图形、位置关系，最终实现复杂问题简单化、抽象问题具象化的应用目标。

（二）数形结合的方式

就数形结合的方式而言，具体可以分为三个方面。其一，以数化形。在数学学习中，数和形是两种最基本的形态，且彼此之间存在着密切的关联，不可分割、相辅相成。形具有极强的直观性、图像化特征，能够引领学生进入具体的情境中。以数化形的关键则是将数学问题转化为图形问题，使学生获得直观的感官体验与启迪，快速解决数学问题，实现深度学习。其二，以形变数。虽然形具有直观性的特点，但是对于定量、精确的数学表达式而言，则需要借助数才能够实现由形向数的转化。通常情况下，在运用“以形变数”这一方法时，强调学生应该加强对问题的深入分析，结合问题所展示的图表，获取关键信息，找到相应的数字关系，用简洁明了的数量关系解决实际问题。其三，数与形互变。在数学学习中，学生要灵活实现数与形之间的有机转化，动态转变，将形的直观性特征与数的严谨性特征紧密结合，使学生思维更加灵活。

（一）有助于引领学生的学习兴趣

就初中阶段的数学知识而言，所囊括的知识范围比较广，有大量抽象性、概念性的知识点，晦涩难懂，这无疑给学生的数学学习造成了极大的阻碍，逐渐消磨了学生的学习兴趣，甚至有很多学生对数学学习产生了排斥抗拒的情绪。为了有效改善当前的现状，让学生重新迸发出数学学习的热情、动力、激情，教师在教学过程中应该主动融合渗透数形结合思想。比如，可以借助图片、视频等方式将抽象的知识具象化呈现，让学生获得直观的体验、感知，带给学生更多的思想碰撞、思维启迪。同时，数形结合思想在初中数学课堂中的运用，能够真正意义上做到化繁为简，让学生不断攻克数学学习的难关，重新拾起数学学习的自信，提升参与数学学习的主动性、积极性。

（二）有助于培养学生的数学思维能力

在素质教育背景之下，初中数学教学的主要落脚点之一在于提升学生的数学思维层次、强化学生的认知能力。基于此，教师在初中数学教学的推进过程中，应该将数形结合的思想贯穿于各个教学环节，在潜移默化的过程中促进学生思维的有效发展，助力学生形成发散思维、逻辑思维、抽象思维等，能够将数与形进行灵活、动态化、有机的切换，根据数学知识，了解数学现象，进一步挖掘数学规律，走进数学世界，在知识的海洋中遨游，让学生的数学思维能力、综合能力获得真正意义上的强化，切实落实素质教育的根本任务。

（三）有助于构建高校的初中数学课堂

初中数学是基础教育中非常重要的一门学科，学好数学对学生的未来发展而言具有深远意义和重要影响。数和形是学生在数学学习中不可避免的两大要素，教师在实际的教学环节，要科学地渗透数形结合的思想，将庞大的“形”和虚拟世界的“数”进行连接，这是构建高效数学课堂的关键。教师熟练运用数形结合思想落实教学，同时引导学生利用数形结合的思想解决具体的数学问题，让学生在不断学习的过程中建立起良好的数学思维，在课堂中和同学、教师达成有机的互动，形成多元互动关系网，循序渐进地攻破数学学习中的重点和难点，真正意义上提升课堂教学效率，优化课堂教学效果，凸显数形结合思想运用的价值和意义。

（一）在概念教学中运用数形结合思想

在初中数学教材中，涉及很多的概念性内容，数学概念是对数学重点知识的提炼、浓缩。但不可忽视的是，数学概念本身也具有极强的抽象性，很多学生只是处于感性的认知层面，难以上升到理性的认知高度，这使得学生在后续学习中受到阻碍和限制。在教学改革的背景之下，着重强调教师要加强对初中数学教学模式的创新性探究，特别是针对概念性的内容，不能够一味地以灌输为主，让学生死记硬背，而是应该注重数形结合思想的渗透，使学生对数学概念形成具象化的认知，切实掌握数学概念的内涵。

例如，以北师大版九年级下册“直线与圆的位置关系”这一模块知识为例，教师在指导学生学习直线与圆的三种位置关系的概念时，可以借助多媒体技术，将抽象的知识具象化、生动化呈现，借助图片展示日出，然后让学生仔细观察太阳升起的整个过程，牢牢地把握住在这一环节中所存在的特殊位置关系，其中主要涉及三个关键点，老师则可以根据三个关键点切入直线与圆位置关系的教学，自然而然地渗透数形结合思想，让学生能够更加直观感知直线和圆之间的位置关系。学生可以将圆看作太阳，将线看作地平线，然后根据太阳和地平线有2个、1个、0个公共点的三种情况，展开具体的探究，让学生深刻把握直线与圆的三种位置关系的定义。就第一种情况而言，太阳和地平线相交，那么学生则可以利用数形结合思想将抽象的事物具象化，这个时候直线叫作圆的切线。就第二种情况而言，太阳和地平线有一个交点，学生则可以抽象出圆和直线相切，将交点叫作切点。就第三种情况而言，太阳和地平线没有交点，学生则抽象出圆和直线相离。基于图片的直观化展示，教师可以组织学生就直线与圆的不同位置进行总结和判定，对相交、相切、相离三种情况进行判定。在圆与直线位置关系的教学中，教师主要是让学生从形的认知上着手，然后逐渐过渡到数的认知上，由此让学生把握相关的数学概念，强化内化迁移能力和应用能力，为学生后续解决圆与直线位置关系的实际问题打牢基础。

（二）在数轴教学中渗透数形结合思想

在初中教育阶段，数轴作为教材中的重要内容，具有基础性作用，学好这一知识内容对学生的后续学习会产生直接影响，同时也是学生数学学习和研究的重要工具。在具体的学习探究中，数轴在学生学习绝对值概念、有理数运算法则的推导以及不等式的求解等领域都发挥着不可忽视的作用。老师在具体的教学环节，则可以以数轴教学作为数形结合思想渗透的起点，以数轴教学为切入点，将数与形进行有机转化，让学生能够深刻认识到数轴在数学问题以及生活实际中的具体运用。

以北师大版七年级上册“数轴”这一模块知识为例，首先在课前导入环节，教师可以从三个层次出发实现情境引入，揭示课程主题。在第1层次中，教师可以讓学生根据家乡地图，标出自己家位于学校的什么方位。就第2个层次而言，教师则可以让学生在一条直线上画出各个物体的相对位置。而就第3个层次而言，教师则可以让学生仔细观察温度计，认识到温度计主要是以0刻度为分水岭，具体划分为正数以及负数。在这一环节中，教师将动手、动口、动脑相结合，激活学生的求知欲望，为接下来数形结合思想的渗透奠定良好的基础。而后教师可以引导学生探究有理数与数轴上点的关系。教师展示温度计图片，提出问题：我们通过观察可以看到当前温度计上所显示的度数值是多少？温度计和数轴具有哪些相似点？可以将温度计看作是一条数轴吗？在这一环节中，教师提出启发性问题，引导学生将温度计看成一条数轴，在温度计上初步建立“由点表示数，由数找到点”的数形结合思想，帮助学生进一步了解数轴，强化学生的图形识别能力，凸显数形结合的重要应用价值。

（三）在一元二次方程教学中运用数形结合思想

一元二次方程是初中数学阶段非常重要的学习内容，它是一元一次方程、方程组和不等式等相关知识的拓展、延伸、深化。以北师大版九年级上册“一元二次方程”这一模块知识为例，这一模块知识的重难点内容包括一元二次方程的基本概念、解法以及在实际问题中的具体运用。教师在具体教学过程中，要善用、巧用、会用数形结合的思想，推进教学活动的有序、有效开展，引导学生全身心地投入一元二次方程的学习中，利用已有的知识进一步探究一元二次方程的几种解法。教师在完成教学任务之后可以展示具体的例题，让学生求解。如：求方程 x2-x-1 = 0 的解。在任务的导向之下，教师可以将班级学生划分为多个小组，组织小组成员展开深度的探讨、研究，在交流、碰撞过程中摩擦出更多的思维火花，寻找不同的解题方法，获得更多的解题灵感，从不同的视角切入，积极探求解题的路径。方法一： 利用一元二次方程的求根公式进行解答。 学生可以直接套用公式，这是最方便、最快捷，但也是最死板的解法。方法二：学生可以运用数形结合的思想，运用数与形之间有机的转换，完成解题任务。学生可以将题目中的方程式变形成为x2 = x+1，然后绘制出函数图像： y = x+1 与 y = x2，学生将两个函数图像的解绘制出来，得出两个函数图像相交，而相交的点则是需要求出的方程的解。在这一教学过程中，教师通过数形结合方法的有效运用，打开学生的解题思路，提高学生思维的灵活性，同时带给学生更直观、丰富的学习体验，这样可以取得事半功倍的教学效果。

（四）在概率教学中运用数形结合的思想

概率问题是很多学生学习的难点，但同时也是初中数学教学的重点。在传统的课堂教学中，教师往往注重理论知识的讲解，忽视了和学生之间的有效互动，也没有将数形结合思想融入其中。随着教学改革的推进，有效地运用数形结合思想能够为“概率课堂”注入更多新鲜的血液。例如，以北师大版教材九年级上册“概率的进一步认识”这一模块知识为例，首先在课前导入环节，教师可以借助多媒体辅助教学，通过播放课件的方式创设教学情境：小平、小方、小米三个人是非常好的朋友，在参加一次比赛中获得了一张电影票，所以三个人决定一起通过做游戏的方式选出谁能获得这张电影票。小平、小方、小米设置游戏规则：连续投掷两枚相同的硬币，查看投掷的结果，如果两枚硬币都是正面朝上，那么就由小方去看电影，如果都是反面朝上，那么则由小平去看电影，而如果是一正一反，则由小米去看电影，你觉得这个游戏公平吗？在问题的启发之下，学生可以以小组为单位，对于其中涉及的概率问题展开深刻的探究，在批判、质疑的过程中解决一系列问题。而为了使得学生的讨论过程可视化，可以借助树状图或者列表法列举投掷两枚硬币可能会出现的结果。由此使得数形之间能够实现动态转变，使得小平、小方、小米获胜的概率更加直观、形象，最终得出具体的结果：小平获胜的概率是四分之一、小方获胜的概率也是四分之一，而小米获胜的概率是二分之一。由此可见小米的获胜概率是最大的，这个游戏并不公平。

（五）在三角函数的应用教学中运用数形结合的思想

三角函数的应用作为初中数学教学的重点，同样是学生数学学习的难点，其中涵盖了以数化形、以形变数、数与形互变的三种数形结合思想的应用。在传统的数学课堂教学中，教师往往采取平铺直叙的教学方式为学生讲解题目，却忽视了数形结合思想，导致部分学生在独立解题时不知所措，从而难以获得理想的教学效果。以北师大版教材九年级下册“三角函数的应用”这一模块知识为例，首先在引领读题环节，教师可以针对题目文本，引导学生运用以数化形的方式将抽象问题具象化，即将题目文本转化为清晰可视化的图形；而后在图形辨析环节，教师可以针对缺乏数量关系的图形，引导学生根据题意运用以形变数的方式明确图形中的数量关系，从而达成形数互变、学以致用的教学目标，给学生指明解题方向，提升学生的数学应用能力。

总而言之，教师作为整个教学活动的组织者、引导者，要积极运用数形结合思想，围绕着学生的实际情况，展开多样化的教学活动，让学生能够结合不同的知识点，实现数与形的有机转化，强化自身的逻辑思维能力、解题能力、创新意识，让整个课堂呈现出别样的生气和活力。