图亦可料变守其本

2022-03-03赵军才薛红霞

中国数学教育（初中版） 2022年2期

赵军才薛红霞

摘要：“图形的变化”是初中数学“图形与几何”部分的重要内容，是在研究几何图形的本质属性之后，对图形运动状态下的规律和性质的研究，对培养学生几何直观、逻辑推理能力和发展空间观念有积极作用. 梳理2021年全国各地中考数学试题中有关“图形的变化”的内容，从考查内容、命题思路、复习建议、原创赏析四个方面，为广大初中数学教师提供教学依据和参考.

关键词：中考试题;图形的变化;命题分析;核心素养

“图形的变化”是初中数学“图形与几何”部分的重要内容，是在研究几何图形的本质属性之后，对图形运动状态下的规律和性质的研究，对培养学生几何直观、逻辑推理能力和发展空间观念有积极作用. 2021年全国各地中考数学试题中，重视对“图形的变化”这一领域考查试题的命制，既关注了对学生基础知识和基本技能的理解与掌握情况的考查，又注重对学生在数学问题解决过程中表现出来的数学思维能力和数学素养的考查.

一、考查内容分析

“图形的变化”内容隶属于初中数学四大板块内容中的“图形与几何”，其内容主要包括：图形的平移、轴对称、旋转，图形的相似、位似，三角函数及其实际应用，视图与投影等.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对本内容的学习要求是：要求学生探索并掌握三角形相似的基本性质与判定，探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称，认识投影与视图;在研究图形的性质和运动的过程中，进一步发展空间观念，建立几何直观;在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力;增强数学的应用意识，提高实践能力;在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值，形成实事求是的科学态度.

综观2021年各地中考试题，题型丰富，考查方式灵活，从不同知识与能力的角度体现了《标准》中对此部分内容的学习要求与理念. 从对98份中考试题的统计分析结果来看，对“图形的变化”内容考查的题型涉及填空题、选择题、解答题、操作题等. 其中，考查分值达20分以上的占68.9%，最高分达35分，占整份试卷的30%. 由此可见，各地都非常重视对这部分内容的考查. 本内容中对各知识点的考查试卷份数及比例如下表所示.

中考试卷命题中对这部分内容的考查，首先，关注了对基本概念的理解和运用;其次，尽可能设置生活化的实际背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，以及在解决实际问题的过程中学生所表现出来的数学思维方式;最后，重视对学生几何直观、空间观念、逻辑推理、数学运算等素养的落实情况进行考查.

二、命题思路分析

2021年中考对“图形的变化”试题的命制，结合图形变化的概念、性质、操作等内容，有梯度、层次分明、科学考查同一知识点的不同认知水平，确保考查目标的准确性;同时，多角度、多维度考查学生的空间想象、几何直观、合情推理与演绎推理等素养，突出考查初中阶段图形变化在“培养认知能力，促进思维发展，激发创新意识”等方面的教育价值. 试题命制突出基础性、普及性和发展性，彰显数学价值观，体现“五育并举”.

1. 源于《标准》，考查基础

《标准》是中考数学试题命制的依据，教材是中考数学试题命制的范本. 依标扣本，突出对学生终身学习所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的考查，体现义务教育阶段学业水平的基础性.

（1）理清概念，明确判断依据.

例1 （山西卷）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

设计思路分析：《标准》对认识轴对称、中心对称的要求是“了解”层次. 此题选取了我国2022年冬奥会会标征集图案，要求判断是否既是轴对称图形又是中心对称图形，是对本知识点概念的直接考查，考查学生对基本概念的了解情况，并会区分. 当图形沿某条直线对折，直线两旁部分能完全重合的是轴对称图形;当图形绕某一点旋转180°之后，能与原图形重合的是中心对称图形. 既考查学生对概念的认识，又考查学生在具体情境中应用概念的能力. 类似地，在甘肃、湖北、湖南、江苏、四川等地的15份试卷中都出现了此类试题和此种考法.

例2 （四川·泸州卷）下列立体图形中，主视图是圆的是（）.

設计思路分析：此题考查三视图的有关知识. 学生要解答此题，需要知道主视图指的是从物体的正面看到的视图，并且能将立体图形抽象成平面图形，需要有一定的空间观念. 从2021年全国各地中考试题来看，大多数注重对几何体的表面展开图、视图与几何体之间的转换关系等内容的考查，旨在考查学生对有关基础知识的掌握程度，考查学生的空间观念. 这样的考查形式较好地落实了《标准》对该部分内容的学习要求.

（2）理解概念，明晰解答思路.

例3 （四川·遂宁卷）如图1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为（）.

（A）12 cm2 （B）9 cm2

（C）6 cm2 （D）3 cm2

设计思路分析：此题以选择题的形式考查三角形中位线、相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）. 解题思路是：两中点→中位线→平行→相似→相似比→面积比. 思路顺畅，一气呵成，主要考查学生对具体概念的理解和实践应用能力. 类似地，重庆A卷，已知相关线段之间的关系，求相似三角形的周长比;重庆B卷，在网格中求位似比;浙江温州卷，已知位似比，求对应线段长;等等. 这些试卷的命题很好地落实了对相似性质基本应用的考查. 此类试题源于教材，不仅关注学生的学习结果，也关注学生学习的过程及数学学习的水平，能较好地了解学生的数学学习历程，有利于引导教师更新教学理念，以及探索、改进、强化过程教学.

例4 （浙江·金华卷）如图2是一架人字梯，已知AB = AC = 2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）.

（A）4cos α米

（B）4sin α米

（C）4tan α米

（D） [4cosα]米

设计思路分析：此题以人字梯为问题背景，已知人字梯梯长及梯与地面夹角，表示两梯角之间的距离，将数学问题生活化，在具体生活情境中考查学生对数学概念的理解，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力和意识. 类似地，山西卷第14题，已知地铁站扶梯的坡度，求扶梯上的人的上升高度;浙江湖州卷第12题，已知一个直角三角形的直角边和斜边长，求该直角边所对锐角的正弦值，直接考查锐角三角函数的概念，利用正弦函数的概念即可求得，体现对概念本质属性的理解. 上述试题都是在具体生活实践中考查具体的数学内容. 这样的命题思路，旨在引导教师在日常教学中关注知识的传授，以及学生对知识的理解和具体实践应用.

例5 （湖北·随州卷）如图3，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，BC =[3]，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0° < α < 180°），得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为

（结果保留π）.

设计思路分析：此题将锐角三角函数、旋转及弧长计算有机结合起来，重点考查旋转的性质，确定点B的旋转半径及角度. 命题者从基础知识出发，结合相互关联的多个知识点设计试题，突出对灵活运用水平的考查. 各地中考试卷对该部分内容的考查，大多数通过解答题的设置，为学生充分展示数学思考，以及为解决问题的方法与策略提供机会，确保对学生灵活运用程度的准确考查. 此题的解答思路可逆向为：路径←弧←弧的圆心和半径←弧长公式←半径和圆心角←已知条件.

（3）运用概念，规范作图要求.

例6 （安徽卷）如图4，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上.

（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1;

（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1.

设计思路分析：此题以网格为背景，以图形平移和旋转作图为形式，考查学生对相关概念的理解，解题关键是理解平移和旋转的概念、要素、性质等. 试题命制符合《标准》中“能按要求作出简单平面图形平移后的图形”“能按要求作出简单平面图形旋转后的图形”的要求，能够考查学生的几何作图和数学思考等，问题解答所需要的水平为掌握层次，具有较好的效度. 平移、旋转和位似的有关作图问题，考查《标准》的图形变换，这种试题命制形式能较好地考查学生对图形变换的本质理解，以及利用正方形网格几何特性作图的基本技能. 上述操作，均可先根据变换规律计算变换后点的坐标，再描点连线成形;也可根据要求中的变换方式直接进行图形变换.

2. 基于学习经验，考查素养

数学来源于社会生活实际，最终也服务于生产与实践，并促进数学学科领域的发展. 各地通过设置体现发挥数学知识与方法可以解决许多具体问题的试题（数学内部问题或实际问题），以及数学思想对人类的生活和行为具有高屋建瓴的指导作用的试题，考查了初中生在三年的数学学习过程中是否积累了较丰富的学习经验，是否涵养了基本的数学素养，彰显了数学学业水平的普及型.

（1）谈古论今，培育家国情怀.

例7 （四川·眉山卷）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图5所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）.

（A） [7.2π] （B） [11.52π]

（C） [12π] （D） [13.44π]

设计思路分析：此题以运载火箭的整流罩为背景，综合考查三视图、勾股定理、扇形的面积等知识，是对学生是否具有基本的分析问题、解决问题能力，以及直观想象和数学运算等素养的考查. 引导教学要关注学生空间观念的建立，数学分析能力、问题意识，以及基本运算能力的培养. 类似地，江苏扬州卷、山东菏泽卷、云南卷等都出现此类试题，在考查学生數学素养的同时，渗透家国情怀思想，注重对学生的思政教育.

例8 （浙江·温州卷）图6中4 × 4与6 × 6的方格都是由边长为1的小正方形组成. 图6（1）是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，试按以下要求选择其中一个，并在图6（2）、图6（3）中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）.

（1）选一个四边形画在图6（2）中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.

（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的[5]倍，画在图6（3）中.

设计思路分析：此题以方格纸为背景，以我国传统智力玩具七巧板为依托，以图形变换为主线，考查学生的图形辨别能力、合情推理能力、问题探究能力、数形结合能力，问题的设置层次分明，体现了对《标准》中平移和位似作图的考查要求.（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形（如图7（1）所示）;（2）直接将其中任意三角形边长扩大为原来的[5]倍，即可得出所求图形（如图7（2）所示）. 学生既可以通过运用勾股定理计算，并用有理数估计无理数的大致范围求解，也可以借助几何直观求解. 这样的试题能在“理解”水平较为有效地考查学生通过方格与图形的逻辑联系进行比较、估计、推断.

（2）联系实际，培养数学眼光.

例9 （浙江·嘉兴卷）将一张三角形纸片按如图8所示步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）.

（A）等腰三角形（B）直角三角形

（C）矩形（D）菱形

设计思路分析：此题考查了轴对称的基本性质，较好地体现了轴对称变换的工具性作用. 题目直接给出了两次折叠裁剪后展开图形可能的结果. 关键是第二次折叠的数学理解：两个折痕互相垂直且平分，因此，阴影部分展开图形是菱形. 试题在对学生的空间观念进行有效考查的同时，考查了学生对菱形判定的掌握. 此类试题引导教学不仅要关注学生活动经验的积累、直观想象和逻辑推理等素养的培养，更要关注学生在操作过程中能否敏锐获悉对应的数学知识，如由折叠想到轴对称，由轴对称想到相关性质，这些性质方为解题关键.

例10 （山东·临沂卷）如图9，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM = 3 m，CO = 5 m，DO = 3 m，∠AOD = 70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75;sin 70° ≈ 0.94，cos 70° ≈ 0.34，tan 70° ≈ 2.75.）

设计思路分析：此题是利用解直角三角形的知识，解决生活中非常实际的问题，与当下学生安全问题密切相关，具有很强的现实意义. 题目中以求线段AB的长度为载体，将解直角三角形与三角形相似综合运用到解决具体问题之中，具有很好的效度和可推广度. 类似地，全国各地中考试卷中，甘肃卷以测量平凉市地标建筑“大明宝塔的高度”的实践活动为背景设计试题;河南卷以测量开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟中的最大佛像卢舍那佛像的高度为试题背景;湖北荆州卷以手机支架为背景;湖南衡阳卷以商场营业大厅自动扶梯为背景;湖南娄底卷以天舟二号的升空速度为背景;等等. 这些试题均有此类运用三角函数与相似或全等结合解决的实际问题，试题背景是所有学生均熟悉的，有效体现了试题背景的公平性.

（3）逐步深入，培植解题习惯.

例11 （北京卷）如图10，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，M為BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α，得到线段AE，连接BE，DE.

（1）比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明.

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

设计思路分析：此题通过对线段AD的旋转，构造全等三角形，使得问题得以依次解决. 以问题“比较∠BAE与∠CAD的大小”引导学生锁定相关三角形，从而证得全等，即可解得第（1）小题;第（2）小题在第（1）小题的基础上，由证三角形全等，可得线段BE = CD，∠ACD = ∠ABE. 再根据AB = AC，可得∠ACD = ∠ABC. 继而可得∠ABC = ∠ABE. 学生根据解题经验，可猜想NE与ND的数量关系应该是相等，因条件“M为BC的中点”联想到三角形中位线知识，于是可想到过点E作AB的垂线，交BC于点H，垂足是点G（如图11）. 于是，问题得以解决. 在问题的设置上，命题者可谓用心良苦，层层递进，小问题为大问题做铺垫，前问题为后问题做指引，不断引导学生找到解题的突破口——构造三角形的中位线. 当然，此题还有其他解法，但不论何种解法，都很好地考查了学生对等腰三角形知识、三角形全等、三角形中位线等三角形重要定理的掌握情况，由此可推断出学生的逻辑推理能力，以及构造能力方面的发展情况.

例12 （上海卷）如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，AD = CD，O是对角线AC的中点，连接BO，并延长交边CD或边AD于点E.

（1）当点E在CD上.

① 求证：△DAC ∽ △OBC;

② 若BE⊥CD，求[ADBC]的值.

（2）若DE = 2，OE = 3，求CD的长.

设计思路分析：此题主要考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键. 此题设置遵循“低起点、慢上坡”的命题理念，科学设置问题. 第（1）小题中两个小问重点考查相似三角形的判定及含30°角的直角三角形边的关系，分属于基础题及中等题;第（2）小题考查学生分情况讨论问题的数学活动经验积累情况，以及利用相似构造方程的解题经验. 此题对学生逻辑推理、数学模型等素养的考查方式值得推广.

3. 归于思维品质，考查能力

数学是思维的体操，问题是思维的起点，解决问题是思维的归宿. 从起点出发，能否到达归宿的关键就是能力. 2021年各地中考试题对学生能力的重点关注，对于引导教师在平时的教学中注重培养学生的思维的训练，更好地、有针对性地落实《标准》所规定的各项学习指标具有积极的促进作用. 义务教育阶段数学学习能力体现在两个方面：一是学生理解和掌握数学的基本要求——特别是基本的数学思想;二是学生具备对后续的数学学习所必需的数学知识和能力. 对学生能力的关注，体现义务教育学业水平的发展性.

（1）读懂操作，还原数学本质.

例13 （河南卷）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图13（1），在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，AC = 1. 第一步，在[AB]边上找一点[D]，将纸片沿[CD]折叠，点[A]落在点[A]处，如图13（2）所示. 第二步，将纸片沿[CA]折叠，点[D]落在点[D]处，如图13（3）所示. 当点[D]恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段[AD]的长为 .

设计思路分析：此题以常见的含30°角的直角三角形纸片折叠为背景，以轴对称性质、含30°角的直角三角形性质为载体，考查学生数学活动经验的积累、分类讨论思想及直观想象、数学运算等素养的培养. 命题巧妙，有四两拨千斤之意，尤其是分类思想的灵活运用，有效考查学生敏锐的观察力、较高的想象力，以及全方位、多角度考虑问题的能力.

例14 （江苏·宿迁卷）如图14，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB = 8，AD = 4，则MN的长是（）.

（A） [535]

（B） [25]

（C） [735]

（D） [45]

设计思路分析：此题以矩形折叠为背景，考查图形的翻折变换、勾股定理、菱形面积公式的运用. 解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如此题中折叠前后对应线段相等. 主要考查学生直观想象、逻辑推理等素养，以及建立方程模型的能

力. 具体解题思路为：如图15，连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN = NB = x，在Rt△ABD中，由勾股定理求BD，在Rt△ADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN.

（2）步步为营，架构分析通道.

例15 （四川·泸州卷）如图16，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，且CF = 3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是________.

设计思路分析：三角形全等的判定和性质与三角形相似的判定和性质是两个有着密切联系的“相近”规则，有关三角形相似的判定和性质的结论可以在类比对应的三角形全等的判定和性质的基础上得到. 命题者通过对一个基本图形进行变化，再现了这种类比的过程，从而揭示了相近规则之间的关系，凸显了对探索过程目标考查的目的. 此题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、割补法求三角形面积等知识，掌握这些定理及方法，并能熟练运用相似比计算线段的长是解题的关键. 具体解题思路为：如图17，延长AG交DC延长线于点M，過点G作GH⊥CD，交CD于点H，交AB于点N，先证明△ABE ≌ △MCE. 由CF = 3DF，可求DF = 1，CF = 3. 再证△ABG ∽ △MFG，利用相似比可计算出GN. 再利用两个三角形的面积差计算S△BEG，即可求得[△]AGF的面积.

例16 （河北卷）在一平面内，线段AB = 20，线段BC = CD = DA = 10，将这四条线段首尾顺次相接.把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α > 0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置.

论证：如图18（1），当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO = 10.

发现：当旋转角α = 60°时，∠ADC的度数可能是多少？

尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离.

拓展：① 如图18（2），设点D与点B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）;

② 当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值.

设计思路分析：此题匠心独具，以简洁的“线段AD的旋转变换”为载体，由“旋转角α（α > 0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置”为基础，通过论证、发现、尝试、拓展等环节，引导学生构造系列图形，利用数学知识之间的纵向逻辑联系设计由易到难、形式各异且相互关联的五个问题. 这样设计不仅使得问题的内涵更丰富，既有阅读理解，又有动手操作，而且背景清晰、明快、自然、合理，有助于学生理解题目.

求解此题需要学生在三角形中添加辅助线构造直角三角形、全等形或相似形，继而依据勾股定理或线段的比建立方程. 需要用到平行线的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、全等、相似、勾股定理、三角函数、解方程等知识，考查知识涵盖面广，考查方式简洁明快，学生通过观察、操作、归纳、类比等数学思维活动，在不知不觉中探得解题思路. 在此过程中，学生探究相关角或线段之间的关系，完成从特殊到一般的推理. 正确、合理地完成这一过程需要具备一定的逻辑分析与综合论证能力. 因此，根据学生解答此题所展现出来的推理、探究活动的表现，可推断学生在数学推理能力和思考方式方面的发展情况.

三、复习建议

1. 理解基本概念的要义，掌握基本概念的本质含义

例如，平移、轴对称和旋转三大变换的要素、性质及联系与区别，相似的判定与性质，什么是位似、位似有何用途，如何认识三视图、三视图与实物几何体是如何转换的，等等. 理清这些概念和关系是解决“图形的变化”的关键.

2. 构建图形观念，理清图形之间的关系

会识别图形，就是会在复杂交错的图形中寻找图形（如寻找相似图形）;能解释图，是指能将图形进行分解、重组，从而发现有用信息;引导学生学习图形的研究方法，即当图形发生变化时，如旋转，要学会从以下三个角度分析：新图形自身的性质有哪些变化？对应元素之间有何关系（数量的和位置的）？从整体的角度来看，又生成哪些性质或规律？

3. 发展逻辑推理能力

任何几何结论都不是想当然来的，是有前因后果的，是经过严密推理论证而来的. 教学中要培养学生严谨的学习态度，提升他们的几何推理能力，发展逻辑思维，使他们养成有条理、有逻辑的思维习惯，这样有助于学生几何素养的提升.

4. 培养空间观念

“图形的变化”主要考查的就是学生的空间观念，因为图形是动态的，而我们的呈现则是静态的，这样势必会增加学生学习的难度. 教学中，要通过具体实践操作，或适时地借助几何画板软件等信息技术工具，通过动态呈现图形的变化状态，发现性质、探究规律，从而帮助学生形成空间观念，固化几何认知，有效落实数学抽象和直观想象等素养.

四、模拟题欣赏

1. 已知某幾何体的三视图如图19所示，则该几何体可能是（）.

答案：A.

2. 如图20，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H. E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P. 若AC = 12，BD = 16，则线段PC的长为_________.

答案：5.

3. 阅读下面的材料，并完成相应任务：

探索位似的性质

利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质.

小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下.

如图21，任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A′B′C′.

第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等.

第二步，以O为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A′的横坐标，并计算比值;分别度量点A，A′的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等. 接下来对其他顶点做相同的操作，得出相同的结论.

第三步，作线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′，度量它们，发现的结论是__________.

第四步，任意改变△ABC的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立.

于是，小明总结并得出了位似的性质.

任务：

（1）第三步发现的结论是________.

（2）已知图21中点A（6，2），A′（9，3），B（4，3），S△ABC = 2，则点B′的坐标和[S△ABC]分别是_____，_____.

（3）如图22，以点P为位似中心，画出与矩形MNOP的相似比为0.75的一个图形.

答案：（1）答案不唯一，如位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可.

（2）（6，4.5），4.5.

（3）略.

4. 道闸杆，在生活中很常见，又称为八角杆，经过铝合金挤压成型，后经喷涂，贴红色反光膜而成，主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站、停车场、小区等，用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆，也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态. 如图23（1），是某停车场使用的直杆型道闸杆，图23（2）是示意图. 已知道闸杆CD平行于地面，且距离地面的高度BC为1米. 一辆长4.20米、宽1.80米、高1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB的中心线进入停车场，则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？试通过计算说明.（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75.）

答案：道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过.

5. 问题背景：

如图24，在矩形ABCD中，AB = 10，BC = 8. E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边的点C′处.

猜想验证：

（1）填空：AC′的长为_______.

（2）如图25，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC交于点F，D′B与DE交于点G.

① 求EF的长;

② 连接GF，EE′，则四边形GEE′F是平行四边形吗？若是，予以证明;若不是，通过计算说明理由.

拓展探究：

（3）如图26，将△D′BE′绕点B按逆时针方向旋转一定角度α（0° < α < 90°），D′E′分别交DE和BC于点M和点N. 当D′B∥DE时，分别直接写出tan α的值和线段MN的长.

答案：（1）6.

（2）① EF = 2;