落实基础·加强能力·关注素养

孙延洲 柯四清

摘  要：方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，是进一步学习函数和解决几何问题中数量关系的常用工具. 2021年全国各地中考试题对方程与不等式的命题设计紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，强化方程与不等式的工具特征，注重在新的问题情境下，合理构建方程或不等式模型，实现逐步转化、解决实际问题的基本过程.

关键词：方程与不等式;内容分析;命题思路;复习建议

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，是进一步学习函数和解决几何问题中数量关系的常用工具. 方程与不等式两者相互联系、相互渗透、相辅相成，是初中数学核心内容之一，也是分析和解决实际问题的重要方法. 2021年全国各地中考试题对方程与不等式的命题设计紧扣《标准》的要求，进一步强化方程与不等式的工具特征，注重在新的问题情境下，合理构建方程或不等式模型，实现逐步转化、解决实际问题的基本过程，同时更加关注数学文化的渗透.

一、考查内容分析

方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，方程用以表示数量之间的等量关系，是含有未知数的等式;不等式用以表示数量之间的不等关系，是含有未知数的不等关系式. 它们的学习目标主要包含两个方面：一是会解方程（组）和不等式（组）;二是会用方程（组）和不等式（组）解决数学问题，以及与生活实际相关的问题.

从2021年各地中考试题来看，各地普遍从不同侧面、不同角度对方程（组）和不等式（组）知识进行了比较全面、系统的考查，命题设计的主要特点是传承创新、稳中求变，立足基础、考查四基，突出应用、落实素养. 各地中考试题中方程与不等式的知识点的考查很清晰，具体是：等式（不等式）的性质，列方程（不等式），解方程（不等式），解二元一次方程组的消元法和加减法，解一元二次方程的配方法、公式法和因式分解法，分式方程的解法及应用，用数轴表示不等式（组）的解集，一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，等等. 考查重点仍然放在解法和应用上，与往年相比变化不大. 同时，又高度关注与其他知识的交叉融合，突出其工具性的特点. 重视考查对方程（组）的解法的掌握，对知识内在联系的理解;突出考查了在解决问题的过程中需要建立方程（组）和不等式（组）模型的意识和能力;通过對方程（组）和不等式（组）的意义与解法的考查，更加强调了对转化方法的理解和把握;通过设计新的问题情境，考查了学生应用方程与不等式工具解决实际问题的能力和水平. 另外，还有一些综合性问题，特别是在研究函数、几何图形的过程中，需要以方程或不等式为工具，考查转化、化归、模型、数形结合等思想方法.

方程与不等式作为初中数学的核心内容之一，在全国各地的中考试卷中，所占分值比例适中，绝大多数试卷中方程与不等式相关的题目分值占总分值的15%左右. 难度方面，容易题、中档题、难题都有涉及，以容易题和中档题为主，在难题中虽然也会出现，但是决定试题难易程度的因素不是方程和不等式，而是与之综合的其他内容. 题量方面，大多设计4道题左右. 题型方面，主要是选择题、填空题和解答题，也有将填空题与解答题相结合的情况.

二、命题思路分析

1. 强调基础，考查“四基”

大多数方程与不等式的题目作为基础题出现，强调基础，考查“四基”. 作为基础题考查，主要特点是稳中求新，稳中求变，立足教材，深挖教材，重视重点知识与核心知识的考查.

（1）立足教材，考查基础知识.

很多试题取材于人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”），注重基础知识的考查.

例1 （河北卷）已知a > b，则一定有-4a□-4b，“□”中应填的符号是（  ）.

（A）> （B）<

（C）≥   &nbsp; （D）=

设计思路分析：此题取材于教材七年级下册第117页“9.1.2 不等式的性质”练习（3），基本上是原题，主要考查不等式的性质，要求学生理解和掌握不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变的基本性质. 此题难度不大，同时考查了学生的求解策略，无论从考查的内容，还是从呈现形式上，都能较好地发挥学业水平考试的功能.

类似地，重庆A卷第15题、江苏宿迁卷第14题、浙江金华卷第12题也都取材于教材，考查方程（组）的解的含义.

例2 （重庆A卷）不等式[x≤2]在数轴上表示正确的是（    ）.

设计思路分析：《标准》明确要求能解含有数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集. 此题取材于教材七年级下册“9.2 一元一次不等式”第122页例1. [x≤2]是从数的角度表述不等式的解集，再要求从形的角度在数轴上表示出来，这样的设计与《标准》要求的契合度很高.

类似地，浙江金华卷第4题、山东临沂卷第7题、山东济宁卷第6题、四川遂宁卷第7题、湖南衡阳卷第10题、湖南怀化卷第8题、贵州铜仁卷第7题等都取材于教材七年级下册第122页例1或第128页例1，考查不等式（组）的解，并在数轴上表示其解集.

（2）稳中求变，考查基本方法与技能.

对方程与方程组、不等式与不等式组解法的考查，是各地中考试题中一项重要的内容. 从命题的角度，对这类问题的设计一般都比较直接，通常以解方程（组）或解不等式（组）的形式出现，也有一些题目形式新颖，灵活多变，重点考查学生对基本方法与基本技能的掌握情况.

例3 （北京卷）方程[2x+3=1x]的解为    .

设计思路分析：《标准》明确要求能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程. 此题是解分式方程的基础试题，题干简洁，没有无效的表述和粉饰，取材于教材八年级上册第151页“15.3 分式方程”例1，主要考查分式方程的解法，即通过去分母将分式方程转化为整式方程，最终化为最简形式x = a，这样的设计是对《标准》要求的直观展现，同时考查了解分式方程的常用技能和基本方法.

此类考查方程（组）的解法的基础试题在每年的中考试题中都会出现，既考查学生对基本方法与基本技能的掌握，也给学生更多的得分机会. 例如，江苏南京卷第18题、四川成都卷第8题、江苏连云港卷第19题、湖北恩施卷第8题考查分式方程的解法;浙江丽水卷第6题、海南卷第13题、山东临沂卷第6题考查一元二次方程的解法;天津卷第7题考查二元一次方程组的解法.

例4 （湖南·邵阳卷）不等式组[5x-1>3x-4，-13x≤23-x]的整数解的和为（    ）.

（A）1 （B）0

（C）-1 （D）-2

设计思路分析：《标准》明确要求会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 此题取材于教材七年级下册第129页“9.3 一元一次不等式组”例2，主要考查用数轴确定不等式组解集的基本技能. 此题不是直接考查解不等式组，而是先解几个不等式，再结合数轴找出这几个不等式解集的公共部分，进而找出其整数解，这样的设计能够有效考查学生对不等式组解集的理解和运用水平.

类似地，北京卷第18题、江西卷第14题、陕西卷第15题、广东卷第18题、福建卷第19题、湖北宜昌卷第17题考查不等式组的解法;江苏南京卷第17题、安徽卷第15题考查不等式的解法.

（3）感悟过程，积累基本活动经验.

2021年部分试题让学生辨析求解方程（组）和不等式（组）过程的正确性，感悟过程，体会逐渐转化的过程，积累基本活动经验.

例5 （浙江·嘉兴卷）小敏与小霞两位同学解方程[3x-3=x-32]的过程如下：

你认为他们的解法是否正确？若正确，在框内打“√”;若错误，在框内打“×”，并写出你的解答过程.

设计思路分析：此题取材于教材九年级上册第14页“21.2 解一元二次方程”例3（1）. 题目的设计与单纯的解一元二次方程不同，要求学生通过阅读，对两种解法进行辨析，体验解一元二次方程的过程，这符合《标准》中能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程的要求. 同时，考查了一元二次方程的解法、运算能力，以及批判性思维能力.

类似地，湖北武汉卷第17题、浙江杭州卷第17题、山西卷第16题、天津卷第19题都是以学习任务的形式呈现，判断解方程（组）或不等式（组）的解答过程是否有错误，写出错误的原因或每步的理由，并写出正确的解答.

2. 强调思维，发展能力

试题在考查基础知识和发展技能的过程中，更加注重对学生学习能力和思维品质的考查，通过培养学生思维的灵活性、严谨性和逻辑性，不断加强运算能力、推理能力、观察能力、分析能力、归纳和概括能力.

（1）考查数学思维的严谨性.

例6 （山东·泰安卷）已知关于[x]的一元二次方程[kx2-2k-1x+k-2=0]有两个不相等的实数根，则实数[k]的取值范围是（    ）.

（A） [k>-14]   （B） [k<14]

（C） [k>-14]，且[k≠0] （D） [k<14]，且[k≠0]

设计思路分析：会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等是《标准》的要求. 此题取材于教材九年级上册第17页“21.2 解一元二次方程”习题21.2的第4题. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，由根的判别式大于0，得到含有字母的式子大于0，即得到关于字母的不等式，进而求得字母的取值范围. 同时，还要考虑二次项系数不能为0. 这样的设计既考查了一元二次方程根的判别式、不等式的解法和一元二次方程的概念，还注重考查学生思维的严谨性.

此类题根据不同的考查需求，设计参数出现的位置，若出现在常数项或一次项时，题目相对简单;若涉及的参数在二次项的位置出现，则需要考虑二次项系数不能为0，这样就又考查了一元二次方程的概念和思维的严谨性.

类似地，上海卷第12题、四川广安卷第5题、湖北荆州卷第15题、四川凉山州卷第9题、黑龙江七台河卷第6题、黑龙江齐齐哈尔卷第14题都是依托方程根的判别式，或根据分式方程的解的特征求字母的取值，考查了思维的严谨性.

例7 （湖南·邵阳卷）在平面直角坐标系中，若直线[y=-x+m]不经过第一象限，则关于[x]的方程[mx2+x+1=0]的实数根的个数为（    ）.

（A）0个 （B）1个

（C）2个 （D）1或2个

设计思路分析：此题考查了一次函数和方程根的判别，先由直线不经过第一象限得到m ≤ 0，然后分m = 0和m < 0两种情况进行讨论，分别得到一元一次方程和一元二次方程，再进行判断. 解题中需要对m的取值情况进行分类讨论，容易漏掉m = 0的情况，考查了学生思维的严谨性.

（2）考查数学思维的灵活性.

根據新定义或阅读材料，灵活应用基础知识，考查学生观察、分析问题，探索发现问题的能力.

例8 （湖北·荆州卷）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n] = mn + pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算. 例如，[2，3]※[4，5] = 2 × 5 + 3 × 4 = 22. 若关于x的方程[x2 + 1，x]※[5 - 2k，k] = 0有两个实数根，则k的取值范围是（   ）.

（A）k[<54]，且k ≠ 0    （B）k[≤54]

（C）k[≤54]，且k ≠ 0    （D）k[≥54]

设计思路分析：试题以阅读材料的形式介绍新的定义，学生经过观察、分析、对比等一系列过程得出新结论是关键，让学生把刚学到的知识应用于实践，考查了观察、分析问题的能力，体现了迁移、类比的数学思想方法，考查思维的灵活性.

类似地，湖南张家界卷第7题、湖北十堰卷第14题、湖南怀化卷第6题、广西北部湾经济区卷第12题都是新定义型试题.

例9 （湖南·永州卷）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根，则x1 + x2 =[-ba]，x1·x2 =[ca]. 现已知一元二次方程px2 + 2x + q = 0的两根分别为m，n.

（1）若m = 2，n = -4，求p，q的值;

（2）若p = 3，q = -1，求m + mn + n的值.

设计思路分析：关于一元二次方程根与系数的关系，《标准》中并未对考试做出要求，但在高中数学中却有着广泛的应用，是必备的基础知识. 第（1）小题是已知方程的两根求二次项系数和常数项，第（2）小题则是已知方程求其两根的和与积. 此题把一元二次方程根与系数的关系作为已知条件呈现出来，让学生利用新知识解决问题. 同时，解决问题的方法较多，这样的设计考查了学生思维的灵活性，以及学生的理解能力和迁移能力.

（3）考查数学思维的逻辑性.

例10 （湖北·武汉卷）已知a，b是方程[x2-3x-][5=0]的两根，则代数式[2a3-6a2+b2+7b+1]的值是

（    ）.

（A）[-25]   （B）[-24]

（C）35   （D）36

设计思路分析：由于方程的解的概念相对简单，所以相关知识点通常和其他知识点综合考查. 此题在考查一元二次方程的解（根）的概念的同时考查整体思想. 解题关键是先根据方程根的概念和根與系数的关系得到[a2-3a-5=0]，[b2-3b-5=0]，[a+b=3]. 再观察、分析代数式的特征，将代数式进行变形，最后整体代换求解，考查数学思维的逻辑性.

类似的考法有四川自贡卷第7题、四川成都卷第22题、山东济宁卷第8题、广东卷第14题、湖北黄冈卷第12题.

例11 （重庆A卷）若关于[x]的一元一次不等式组[3x-2≥2x+2，a-2x<-5] 的解集为[x≥6]，且关于[y]的分式方程[y+2ay-1+3y-81-y=2]的解是正整数，则所有满足条件的整数[a]的值之和是（    ）.

（A）5 （B）8

（C）12 （D）15

设计思路分析：此题命制立意深远，有一定的难度，主要考查不等式组的解法和可化为一元一次方程的分式方程的解法等. 题中限制条件多：“解集为[x≥6]”“解是正整数”“整数”，隐含条件“分母不能为0”，考查学生的运算能力、推理能力、解题程序，考查数学思维的逻辑性. 类似的考法有四川泸州卷第15题、内蒙古通辽卷第15题、湖北荆门卷第15题.

3. 注重联系，强调应用

能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题，这是《标准》对方程与不等式内容的基本要求. 各地中考试题，注重创设情境，强调数学与现实生活的联系，凸显应用为导向，发展学生数学应用意识与能力.

（1）挖掘生活素材，凸显模型与应用.

数学课程十分重视数学与实际生活的联系，强调在真实的背景下学习数学，促进学生对数学知识的理解. 方程与不等式正是从大量的生活实际中抽象出来的数学模型，使学生经历用数学知识解决实际生活问题的过程，进一步体会数学来源于生活并为生活服务，增强学生的数学应用意识.

例12 （河北卷）已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个.

（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101 - x = 2x. 试用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.

（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个.

设计思路分析：此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，突出考查符号意识、运算能力和应用意识，要求学生根据语言文字的描述，列出相应的数量关系，再根据题意找到等量或不等量关系，列出方程或不等式，并启发学生从不同角度思考问题. 在解题中不仅经历了分析、计算、比较、判断的过程，更培养了学生的应用意识，这样的设计凸显数学模型思想与应用意识.

例13 （江西卷）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.

（1）求这种商品的单价.

（2）甲、乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元[/]件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是_______，乙两次购买这种商品的平均单价是_______.

（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同_______加油更合算（填“金额”或“油量”）.

设计思路分析：此题较好地体现了数学来源于生活，又服务于生活的理念，以学生熟悉的生活题材为背景，引导学生关注社会，培养学生学以致用的意识.题目设计从日常生活出发，让学生从具体问题中获取信息、发现问题情境中的数量关系;考查了方程的应用，找到题目中商品数量的关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是能够正确得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规律. 考查学生发现数学问题、提炼数学模型、应用数学知识、解决实际问题的能力.

2021年各地中考试题大多数体现了地域特色和时代特点，凸显模型思想和应用意识. 例如，重庆B卷第23题（重庆小面）、广西柳州卷第22题（螺蛳粉）、河南卷第21题（猕猴玩偶）;山西卷第18题（太原机场）、四川成都卷第26题（垃圾分类）、广西玉林卷第24题（焚烧垃圾产生的热能发电）、广西贺州卷第23题（节约用水）、山东泰安卷第22题（疫苗）、江苏扬州卷第23题（疫苗）、吉林长春卷第17题（网购）.

（2）与函数相结合，突出知识联系.

方程、不等式与函数之间的广泛联系有助于学生建立起数学内部知识间的网络体系. 近年来，中考对应用题的考查，在同一问题中趋向于对多个数学模型（方程、不等式与函数）的综合考查，促进了学生综合运用所学知识与技能分析问题、解决问题能力的提升.

例14 （浙江·温州卷）某公司生产的一种营养品信息如下表所示. 已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.

[营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 ]

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少.

（2）该公司每日用18 000元购进甲、乙两种食材，并恰好全部用完.

① 问每日购进甲、乙两种食材各多少.

② 已知每日其他费用为2 000元，且生产的营养品当日全部售出. 若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少？

设计思路分析：此题是在实际情境下考查一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用题，解答此题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验. 每一问在结果上有连续性，求解第（2）小题的食材数量和利润需要用到第（1）小题的食材单价，后一问以前一问为基础，层层递进、由易到难. 需要从销售问题的具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立实际背景下的函数模型，求出一次函数解析式，解决最值问题，并讨论结果的意义.

例15 （福建卷）如图1，一次函数y = kx + b（k > 0）的图象过点（-1，0），则不等式k（x - 1） + b > 0的解集是（  ）.

（A）x > -2 （B）x > -1

（C）x > 0 （D）x > 1

设计思路分析：一次函数的概念是通过一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等数学模型的研究和讨论，从变化和对应的函数观点引入的. 因此，这些知识之间有着广泛的联系. 此题从方程、不等式与函数的联系入手，展示了函数及其图象与方程、不等式之间的关系，引导学生构建知识网络，为学生提供了一种学习数学的有效方法.

此题考查了一次函數与一元一次不等式，既可以把点（-1，0）代入解析式求得k = b的关系，然后解不等式求解;也可以观察一次函数的图象，将直线沿x轴向右平移1个单位得到直线y = k（x - 1） + b，再观察图象得解. 利用直观的函数图象寻求方程的解和不等式的解集，考查了学生观察与分析问题的能力，更凸显了数学知识的内部联系，关注了数形结合的思想方法在数学学习过程中的广泛应用.

类似地，以方程为工具，可以解决反比例函数、一次函数、二次函数的解析式的问题. 例如，天津卷第12题、浙江嘉兴卷第10题、四川凉山州卷第12题、四川达州卷第10题、四川遂宁卷第10题、山东泰安卷第15题、山东济宁卷第15题、江苏宿迁卷第8题、广西贺州卷第11题.

（3）解决几何问题，体现工具特征.

结合几何图形中字母所代表的某些几何要素之间的关系，借助方程（组）或不等式（组）解决问题，这样的设计很好地体现出方程与不等式的工具特征，能够有效评价学生的学习能力和迁移能力.

例16 （青海卷）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足[2a-3b+5+2a+3b-132=0]，则此等腰三角形的周长为（    ）.

（A）8   （B）6或8

（C）7   （D）7或8

设计思路分析：此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、二元一次方程组. 首先，根据非负数的性质列方程组，求得a = 2，b = 3. 其次，根据2，3分别作为腰分类讨论，由三边关系定理，确定第三边，从而求得等腰三角形的周长.

类似的考法有四川广安卷第13题、广西柳州卷第16题.

例17 （湖北·襄阳卷）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 = 10尺）其大意为：如图2，有一个水池，水面是一个边长为10尺的

正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度是多少？则水深为（  ）.

（A）10尺 （B）11尺

（C）12尺 （D）13尺

设计思路分析：此题取材于《九章算术》“引葭赴岸”问题，兼顾数学文化与数学建模，是近年来出现的一类有特色的应用问题，这样的设计使得试题的内容和形式更丰富、鲜活、吸引人. 此题是利用方程思想解决几何问题的典型题目. 解答时需要结合图形进行分析，如设水深为x尺，其他线段用含有x的式子表示，再利用勾股定理建立含有x的等量关系，得到一元二次方程求解.

类似的考法有江苏宿迁卷第15题.

4. 强调价值，关注素养

试题追求知识、能力与素养的融会贯通，强调数学学科的育人价值，加强了对学生文化品格的考查，引导教师更好地落实学科素养.

（1）传承优秀文化，增强民族自豪感.

此类试题取材于专著中的相关问题，注重文化熏陶，学生从中不但可以读出中华文化的悠久历史和博大精深，还可以感受到作为中国人的自豪和骄傲.

例18 （湖北·武汉卷）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四. 问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱;每人出7钱，还差4钱. 问人数、物价各是多少？若设共有[x]人，物价是[y]钱，则下列方程正确的是（    ）.

（A） [8x-3=7x+4] （B） [8x+3=7x-4]

（C） [y-38=y+47] （D） [y+38=y-47]

設计思路分析：此题选自中国古代重要的数学著作《九章算术》中的“盈不足术”. 以中国古代数学文化作为试题素材，将基础题与“数学文化”相结合，展现了中国古代数学的优秀成果，能够让学生了解中国伟大的数学成就和数学发展，感受数学魅力，体现试题的育人功能. 为了便于学生理解，题干将原题的文言文翻译成现代文大意，保障了考试的公平性. 这样的设计，不仅使学生看到以方程为工具解决实际问题在我国由来已久，同时更加感受到数学文化的熏陶.

此类题型在2021年各地中考试题中出现较多. 例如，选题同样选自《九章算术》的有浙江衢州卷第8题、四川成都卷第9题、山东泰安卷第14题、湖北宜昌卷第8题、广西北部湾经济区卷第10题、湖南邵阳卷第17题;甘肃白银卷第8题、湖北荆门卷第6题取材于《孙子算经》;浙江宁波卷第8题选题出自《张邱建算经》;浙江绍兴卷第12题选题出自《算法统宗》.

例19 （山东·枣庄卷）幻方是古老的数学问

题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图. 将数字1～9分别填入如图3所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为   .

设计思路分析：此题用九宫图为背景，情境描述精炼，数学关系明确，考查学生的理解能力、获取信息能力、分析问题和解决问题能力，以及模型思想. 此题既可以根据条件“每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15”，建立等量关系，列出方程求解，也可以通过观察分析得出结论，设计具有开放性，有利于考查学生独立解决问题的能力. 在渗透数学文化的同时，潜移默化地发挥了育人功能.

类似的考法有陕西卷第11题.

（2）聚焦社会热点，关注学科育人.

立德树人是教育的根本任务，2021年各地中考试题选材内容新颖、题材广泛，聚焦社会热点，关注了材料的思想性、人文性、多样性和时代性，所选材料贴近学生的生活实际，注重对学生情感、态度、价值观的正向引导.

例20 （江苏·盐城卷）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克. 设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_______.

设计思路分析：此题考查的知识点主要是一元二次方程的应用——增长率问题，属于基础题，但题目以劳动教育为背景，选材主题鲜明，彰显了立德树人的学科教育价值.

类似的考法有四川眉山卷第23题（五育教育）、山东东营卷第22题（杂交水稻之父袁隆平）、广东卷第22题（端午节）、云南卷第18题（“30天无理由退货”“诚信旅游”，良好环境）.

2021年恰逢中国共产党建党100周年，题目以建党100周年为现实情境，突出了时代性和教育性的特点，激发学生的爱国热情. 例如，山西卷第17题、浙江嘉兴卷第8题、海南卷第18题、黑龙江绥化卷第17题都是以建党100周年为背景，考查学生根据实际问题列方程解应用题的能力，情境创设新颖，在考查学生解决实际问题能力的同时，对学生进行爱国主义教育.

综观全国各地中考试题，大部分试题的命制从方程与不等式的内涵和本质出发，以“解”和“列”为支撑，对基本概念、基本性质和基本方法进行全面考查. 有的试题关注了转化思想、模型思想、分类讨论思想等数学思想方法的落实;部分试题在形式上进行了创新;很多试题注重了对数学文化的考查，在解决函数问题中突出了对方程与不等式的应用，凸显了其工具特征，强化了应用意识.

三、复习建议

1. 研读标准，立足教材，落实基础

取消了考试说明，《标准》就是中考命题和复习备考的依据，教师应该认真研读，进一步明确《标准》对方程与不等式的学习要求，准确把握复习内容的深度和难度. 例如，《标准》对不等式与不等式组降低了要求，对不等式组的应用考查不再做要求. 又如，《标准》明确要求了解一元二次方程根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）.

教材是教学与评价的主要载体，也是命题的主要素材，很多中考试题都取材于教材或根据教材的例题、习题进行改编. 所以，复习备考时要立足教材、深挖教材，通过挖掘与变式，充分发挥教材例题、习题的功效，加强知识之间的关联，重构知识结构网络.中考命题注重基础，复习时要做到每一节课的目标定位准确，夯实基础，注意解方程与不等式基本方法的掌握和基本技能的训练.

2. 重视应用，感悟思想，培养能力

数学源于生活，又服务于生活. 每年全国各地中考试题中以社会热点问题或学生身边熟悉的场景为素材的试题较多，这类试题阅读量较大，题材新颖，题型灵活，复习时要多关注身边的生活，强化应用意识，注重培养学生的阅读理解能力和数学建模能力.

在“数与代数”领域中，函数、方程与不等式之间存在着本质的联系，关注它们之间的联系仍然会成为后续各地中考命题的必然. 对方程与不等式核心知识的复习，要在不同层次、不同角度引导学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中积累经验，感悟基本思想，体会数学知识之间的关联，培养学生的运算能力、推理能力，注重发展学生的应用意识和创新意识.

3. 弘扬文化，彰显价值，关注素养

渗透数学文化，突出学科素养导向，发挥数学学科的独特育人价值，试题将从能力立意转变到素养导向. 融入中国传统数学成就及直接呈现原著中的相关问题，对于促进学生全面发展、形成良好的数学素养具有重要意义，也会继续成为中考命题的亮点之一.

教学中要弘扬数学文化，激发学生的学习兴趣. 同时，增加数学问题的探究性，体现深刻性与拓展性，渗透数学精神，彰显学科的育人价值，培养学生的综合素养，充分发挥数学教育在培养人的思维能力方面的作用.

四、模拟题欣赏

1. 如果m > n，那么下列结论错误的是（    ）.

（A）m + 2 > n + 2 （B）m - 2 > n - 2

（C）2m > 2n （D）-2m > -2n

解析：因为m > n，

根据不等式的性质“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，

得-2m < -2n.

故选D.

2. 用加减消元法解二元一次方程组[x+3y=4，①2x-y=1     ②]时，下列方法中无法消元的是（    ）.

（A）①[× 2-]② （B）②[× -3-]①

（C）①[× -2+]② （D）①[-]②[× 3]

解析：能用加减消元法解方程组的条件是相同未知数的系数相同或相反.

选项D中不能消去其中的任何一个未知数，

故选D.

3. 如图4，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为[x]. 则列出方程正确的是（    ）.

<C：＼Users＼Administrator＼Desktop＼中数1-x＼Image＼image70.png>[图4]

（A） [3×2x+5=2x]

（B） [3×20x+5=10x×2]

（C） [3×20+x+5=20x]

（D） [3×20+x+5=10x+2]

解析：注意“□”内的数字在两位数的个位还是十位，

设“□”内的数字为x，

可得3 × （20 + x） + 5 = 10x + 2.

故选D.

4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹. 若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（    ）.

（A） [x+y=100，y=3x] （B） [x+y=100，x=3y]

（C） [x+y=100，13x+3y=100] （D） [x+y=100，13y+3x=100]

解析：根据“小马 + 大马 = 100匹”及“小马拉瓦的片数 + 大马拉瓦的片数 = 100片”得解，故选C.

5. 若菱形[ABCD]的一条对角线长为8，边[CD]的长是方程[x2-10x+24=0]的一个根，则该菱形[ABCD]的周长为（    ）.

（A）16   （B）24

（C）16或24   （D）48

解析：先求得方程的两解为4，6.

再根据三角形三边关系，

得CD = 6.

故选B.

6. 不等式组[5x-1>3x+1，12x-1≤4-13x]的解集为_______.

解析：分别求出两个不等式的解，得不等式组的解集为[2<x≤6].

7. 如果关于[x]的方程[x2-4x+m=0]有两个相等的实数根，那么m的值是______.

解析：由题意，得Δ = 0.

求得m = 4.

故填4.

8. 如图5，直线y = kx + b（k，b是常数，且k ≠ 0）与直线y = 2交于点A（4， 2），则关于x的不等式kx + b < 2的解集为_________.

解析：由图象得，y = 2是一条位于x轴上方且与x轴平行的直线.

直线y = 2与直线y = kx + b交于点A（4，2），

kx + b < 2表示直线y = kx + b的图象在直线y = 2的下方，

对应的自变量是x < 4.

故填x < 4.

9. 若关于x的分式方程[3xx-2=m2-x+5]的解为正数，则m的取值范围为_______.

解析：分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数，求出m的范围即可.

去分母，得3x = -m + 5（x - 2）.

解得x =[m+102].

由方程的解為正数，得到m + 10 > 0，且m + 10 ≠ 4.

则m的取值范围为m > -10，且m ≠ -6.

故填m > -10，且m ≠ -6.

10. 以下是圆圆解方程[x+12-x-33=1]的解答过程.

解：去分母，得[3x+1-2x-3=1].

去括号，得[3x+1-2x+3=1].

移项，合并同类项，得[x=-3].

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

解析：圆圆的解答过程有错误.

正确的解答过程如下：

方程两边乘6，得[3x+1-2x-3=6].

去括号，得[3x+3-2x+6=6].

移项，合并同类项，得[x=-3].

11. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机. 某自行车行经营的[A]型自行车去年销售总额为8万元. 今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元. 若该型号自行车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少[10%]，求：

（1）A型自行车去年每辆售价为多少？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍. 已知A型车和B型车的进货价格分别为1 500元和1 800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

解析：（1）设去年A型车每辆售价[x]元，

则今年每辆售价为[x-200]元.

由题意，得[80 000x=80 0001-10%x-200].

解得[x=2 000].

经检验，[x=2 000]是原方程的根.

答：A型自行车去年每辆售价为2 000元.

（2）设今年新进A型车[a]辆，则B型车为[60-a]辆，获利[y]元，

由题意，得

[y=1 800-1 500a+2 400-1 80060-a].

解得[y=-300a+36 000].

因為B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

所以[60-a≤2a].

所以a ≥ 20.

因为[y=-300a+36 000]，

所以[k=-300<0].

所以[y]随[a]的增大而减小.

所以当[a=20]时，[y]有最大值.

所以B型车的数量为[60-20=40]（辆）.

所以当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘金英，顾洪敏. 化繁为简，大巧不工：2018年中考“方程与不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（1 / 2）：31-38.

[3]杨开学，李建英. 立足基础·关注能力·聚焦素养：2020年中考“方程与不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：27-33.

[4]肖文记，孙延洲. 内外关联，潜移默化：2019年中考“方程与不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：42-49.