2021年中考数学试卷评价报告

曹君

摘  要：文章对2021年全国各地中考数学试卷进行了抽样分析，以典型试题为例，从“四基”的考查、数学核心素养与关键能力的考查、五育融合等角度分析了中考数学试题的特点，对命题趋势进行了阐述，并得出了教学启示.

关键词：2021年中考;内容分析;命题趋势;教学启示

中考是检测初中在校学生是否达到初中学业水平的水平性考试和建立在九年义务教育基础上的高中选拔性考试. 既要坚持考查基础知识、基本方法和基本技能，又要坚持考查学科能力. 中考命题严格遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的要求，充分考虑教学情况、义务教育课程改革情况、教材使用情况，最大限度地求同避异，充分体现义务教育课程改革“平稳过渡，循序渐进”的基本原则. 研究中考试题，对改进命题，引导教师转变教学理念和方式，发挥教学评价与导向作用，有着至关重要的意义.

一、试卷基本概况

2021年全国各地中考数学试卷在试卷结构、题型分布、分数设置等方面保持稳定，试卷内容整体上符合《标准》的要求，知识要素覆盖全面，核心素养考查突出，数学本质体现精准，数学文化展现魅力，数学应用关注能力.

本报告从2021年全国各地中考数学试卷中抽取32份进行数据采集和分析，抽样试卷覆盖绝大多数地区，均为学业水平与升学考试合一的试卷. 试卷中的题数与分值分布分别如表1、表2所示.

数据分析表明，试卷总题数分布在22～28题之间，以24，25题居多，共占样本的46.88%. 试卷总分值绝大多数是120分，其次是150分，少数为100分.

二、考试内容分析

1. 考试内容领域分析

《标准》将数学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域，各地区的中考试卷基本上采用以具体内容为载体，融入数学思想方法的考查和综合与实践领域的考查. 在被调查的试卷中，数与代数、图形与几何、统计与概率领域的知识考查平均权重分别为0.504 4，0.403 5，0.107 1（如图1）.

2. 考试内容具体分析

（1）注重基础，突出通性、通法的考查.

2021年全国各地中考试卷以数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的内容为载体，全面考查了数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 在考查通性、通法的基础上，注重数学本质的体现，同时避开了模式化的思路，围绕相关数学核心概念，更加关注“四基”的形成过程.

① 基础知识的考查，注重全面，突出重点.

例1 （江苏·宿迁卷）计算：[π-10+8-][4sin45°].

例2 （广东卷）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51 085.8万剂次，将“51 085.8万”用科学记数法表示为（  ）.

（A）0.510 858 × 109 （B）51.085 8 × 107

（C）5.108 58 × 104 （D）5.108 58 × 108

【评析】例1、例2分别考查了幂的性质、二次根式化简、特殊锐角三角比的概念、科学记数法的概念等基础知识. 类似地，福建卷的第1，2题，广东卷的第1，2，6题，均考查了实数的概念、科学记数法和三视图的认识. 在对32份抽样试卷调查的过程中发现，实数的概念、实数的运算、科学记数法、三视图的认识等知识点，各地区均出现频次较高，很好地检验了学生对基础知识的掌握情况. 对基础知识的考查，既注重全面，又突出重点.

② 基本技能的考查，注重能力，教考一致.

例3 （浙江·湖州卷）已知a，b是两个連续整数，a <[3]- 1 < b，则a，b分别是（    ）.

（A）-2，-1     （B）-1，0

（C）0，1         （D）1，2

例4 （湖南·邵阳卷）某社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6 000份有效问卷.经统计，绘制成如表3所示的数据表格.

小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比. 下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：

① 计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°.

② 计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%.

③ 在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比.

如图2，制作扇形统计图的步骤排序正确的是（  ）.

（A）②①③ （B）①③②

（C）①②③ （D）③①②

例5 （福建卷）如图3，已知线段MN = a，AR⊥AK，垂足为点A.

（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB = BC = a，∠ABC = 60°，CD∥AB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）设点P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点.

【评析】例3以二次根式为背景，考查了运算与估算的基本技能;例4注重对读表、读图、基本运算、数据处理等基本技能的考查;例5以四边形为背景考查了学生尺规作图的基本技能. 对数学基本技能的考查，更注重能力，教考一致.

③ 基本思想的考查，立足学科素养.

例6 （江苏·宿迁卷）已知双曲线[y=kxk<0]过点（3，y1），（1，y2），（-2，y3），则下列结论正确的是（    ）.

（A） [y3>y1>y2] （B） [y3>y2>y1]

（C） [y2>y1>y3] （D） [y2>y3>y1]

例7 （湖北·荆州卷）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈. 已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.

（1）求买1支康乃馨和1支百合各需多少钱.

（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支. 设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用.

【评析】例6以反比例函数增减性为背景，考查数形结合思想的应用;例7考查了方程思想的应用，以及方程与函数的思想. 类似地，四川省凉山州卷第12题，以二次函数图象为背景，考查了数形结合思想的应用;第25题以阅读材料为背景，考查了对数与指数之间的转化;第28题以平行四边形为背景，考查了分类讨论思想的应用. 近几年，中考数学试题非常重视对数学思想方法的考查，包括数形结合思想、函数与方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等. 对基本思想的考查，更立足学科素养.

④ 基本活动经验的考查，贴近教学实际.

例8 （云南卷）如图4，图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）. 已知主视图和左视图是两个全等的矩形. 若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为    .

例9 （浙江·宁波卷）如图5是由边长为1的小正方形构成的6 × 4的网格，点A，B均在格点上.

（1）在图5中画出以AB为边且周长为无理数的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.

（2）在图6中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上.

例10 （湖北·荆州卷）阅读下列材料，其① ～ ④步中数学依据错误的是（  ）.

如图7，已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c.

证明：① 因为a⊥b，（已知）

所以∠1 = 90°.（垂直的定义）

② 又因为b∥c，（已知）

所以∠1 = ∠2.（同位角相等，兩直线平行）

③ 所以∠2 = ∠1 = 90°.（等量代换）

④ 所以a⊥c.（垂直的定义） ]

（A）① （B）②

（C）③ （D）④

【评析】例8以几何体的三视图为背景，考查学生几何学习的基本经验，即在直观感知的基础上，通过计算得出相关结果;例9以网格作图为背景，同样考查了学生几何学习的基本经验;例10以分析数学依据错误为背景，考查学生学习推理论证的基本经验. 类似地，上海卷第4，15题，对基本活动经验的考查，更贴近教学实际.

（2）适度创新，增强试题的开放性.

2021年全国各地中考数学试卷在考查基础知识的同时，呈现新颖的题目形式. 不仅注重数学思想方法的考查，还注重对学生在一般性思维方法与创新思维能力发展等方面的评价，尤其注重对学生探索性思维能力和创新性思维能力的考查. 试题形式多样，既有学生通过阅读材料去理解一些数学对象的试题，也有借助所提供的各种形式的素材考查学生从中获取信息的试题，还有适量的操作性和探索性试题.

例11 （江苏·南京卷）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图8，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，[AC]的长为4π cm. 在如图9所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

（2）图10中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成. O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.

① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为

（用含l，h的代数式表示）.

② 设[AD]的长为a，点B在母线OC上，OB = b. 圆柱的侧面展开图如图11所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

例12 （湖南·长沙卷）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于[y]轴对称，则把该函数称为“T函数”，其图象上关于[y]轴对称的不同两点叫做一对“T点”. 根据该约定，完成下列各题.

（1）若点[A1，r]与点[Bs，4]是关于[x]的“T函数”[y=-4xx<0，tx2x≥0，t≠0，t是常数]的图象上的一对“T点”，则[r=_____，s=_____，t=_____]（将正确答案填在相应的横线上）.

（2）关于[x]的函数[y=kx+pk，p是常数]是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”;如果不是，说明理由.

（3）若关于[x]的“T函数”[y=ax2+bx+c][a>0，且][a，b，c是常数]经过坐标原点[O]，且与直线[l：y=mx+n][m≠0，n>0，且m，n是常数]交于[Mx1，y1，Nx2，y2]两点，当[x1，x2]满足[1-x1-1+x2=1]时，直线[l]是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标;否则，说明理由.

【评析】例11以曲面上的最短路径问题为背景，运用“两点之间，线段最短”及勾股定理等知识，结论开放，要求说明思路，考查学生理性思维、空间想象能力及图形的感知力，蕴含了数形结合等思想方法;例12以新定义为背景，借助对新定义的理解考查学生获取信息的能力，进而解决新问题. 类似地，上海卷第18题也是通过新定义考查数学对象在图形运动变换中的性质，这一题正确地作出图形是解题的关键，进一步凸显学生解决问题的能力.

（3）融入文化，落实立德树人.

数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用. 对数学文化的考查主要体现在：通过中国古代数学名著渗透数学文化;通过数学家或数学故事渗透数学文化;通过数学名题渗透数学文化. 通过对数学文化的渗透，有效增强了学生的理性思维与应用意识，培养了爱国主义情怀. 2021年全国各地中考数学试卷在试题的背景上体现数学厚重的文化气息，落实立德树人.

例13 （北京卷）《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上的点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆;日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆. 取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图12所示. 使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）;

（2）在图12中，确定了直线DB表示的方向为东西方向. 根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△ABC中，BA =  ，D是CA的中点，

所以CA⊥DB（）（填推理的依据）.

因为直线DB表示的方向为东西方向，

所以直线CA表示的方向为南北方向.

例14 （福建卷）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1 > A2 > B1 > B2 > C1 > C2（注：A > B表示A马与B马比赛，A马获胜）. 一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率;

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，说明理由;若不是，列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

【评析】例13融合了数学知识、地理知识和物理知识，既体现了数学的工具性特征，又展现了数学的应用性价值;例14通过古代数学故事渗透数学文化，增强理性思维和应用意识. 类似地，上海卷第12题对概率的考查，以斐波那契数列为素材，渗透数学的文化价值;第17题借鉴我国古代赵爽弦图的构图方式，利用三角尺拼成一个对称图形，并根据对称图形的基本性质解决问题，展现对称的直观美与内在美，领略数学的审美价值;第22题是以我国5G产业发展为背景的应用性问题，让学生体会我国科技、制造业的高速发展. 这些试题呈现方式多样，关注社会的发展，体现时代的特征，反映了生活方式的改变，多角度体现了数学学科的育人价值.

（4）渗透模型，提升数学应用意识.

数学来源于生活，也必将应用于生活，学数学可以解决生活中遇到的实际问题. 2021年全国各地中考数学试卷注重运用数学知识解决实际问题的考查，考查层次非常丰富，以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，以及综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力.

例15 （江苏·南京卷）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情況进行了调查.通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表4所示.

（1）求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为9.2 t，你对它与中位数的差异有什么看法？

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费. 若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？

例16 （浙江·宁波卷）我国纸伞（如图13）的制作工艺十分巧妙. 如图14，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且AB = AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.图15是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′ = 40 cm，B为AD′的中点. 当∠BAC = 140°时，伞完全张开.

（1）求AB的长.

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.

（参考数据：sin 70° ≈ 0.94，cos 70° ≈ 0.34，tan 70° ≈ 2.75.）

【评析】例15、例16分别以节约水资源和制伞工艺为背景，创设问题情境，考查概率统计、解直角三角形在生活中的应用，体会数学与现实生活息息相关.各地区试卷注重数学知识与现实生活的联系，通过巧妙的情境设置，考查学生在实际生活情境中分析、求解问题的能力，引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界.

（5）关注能力，凸显数学学科核心素养.

数学学科核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，它包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面. 立足数学学科核心素养既反映课程目标的要求，也是课程内容的重要方面，还是数学教育价值的体现，是获得良好的数学教育的具体标志. 2021年全国各地中考数学试卷对数学学科核心素养进行了充分的考查，对今后的数学教学起到了积极的导向作用.

例17 （河北卷）某博物馆展厅的俯视示意图如图16所示. 嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同.

（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率;

（2）补全图17的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.

【评析】对于统计内容的考查不仅考查统计的基础知识，更注重数据分析素养和学科观念的考查. 不仅以考查数据计算、补全树状图、用样本估计总体等呈现试题，更关注了考查学生的读图能力，从统计图中获取有效信息的能力，分析数据特征，做出科学决策，用统计的知识解决问题的能力，以“判断”与“评价”为主，突出对学生数据分析学科素养的考查.

三、命题趋势分析

由近几年的命题特点来看，体现基础性、应用性、实践性、开放性、探究性、创新性是全国中考数学试题的重要特征，也将是今后几年全国中考数学命题的趋势.

1. 将进一步体现五育融合的命题思路，凸显数学的育人价值

习近平总书记在2018年9月的全国教育大会上旗帜鲜明地指出，要“努力构建德智体美劳全面发展的教育体系”. 至此，立德树人、“五育”并举成为全体教育人的共同目标. 2019年发布的《中国教育现代化 2035》进一步提出：更加注重学生全面发展，大力发展素质教育，促进德育、智育、体育、美育和劳动教育的有机融合. 2019年10月，华东师范大学基础教育发展与改革研究所在国内率先成立了五育融合研究中心，并于12月28日召开全国首届五育融合研究论坛，会上还成立了全国五育融合实践校（区）联盟，这是对“五育”融合研究与实践的一次重要推动. 因此，中考数学命题必将进一步凸显立德树人的育人导向，将五育融入试题，体现考试对德智体美劳全面发展的引导作用.

2. 将进一步体现学科素养与关键能力的考查，注重数学的应用性

2020年10月，中共中央国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》（以下简称《总体方案》）提出：稳步推进中考改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象. 数学中考命题必将积极贯彻《总体方案》的要求，不断加大开放题的创新力度，以信息识别与检索、逻辑推理与论证、开放探究与实践、创新思维与建模、阅读素养与文化等为考查突破口，对学科素养与关键能力进行考查，注重数学的应用性，未来中考命题会更多地体现数学在解决实际问题中的作用，突出“数学来源于生活，也应用于生活”这一理念.

四、教学启示

1. 准确把握课程内容要求，全面落实初中数学课程目标

国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础.《标准》规定了数学学科的课程性质、课程目标、课程内容、实施建议等. 2014年教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，文件指出：全面发挥课程标准的统领作用，协同推进教材编写、教学实施、评价方式、考试命题等各环节的改革，使其有效配合，相互促进. 特别强调了《标准》在整个教学环节中的“统领作用”. 在教学中，应努力做到依次递进，有序衔接，避免“超前”“脱节”等现象的发生.

2. 立足学科素养，培养终身受用的核心能力与品质

发展数学学科核心素养、增强综合实践能力是课程目标的重要要求. 数学学科核心素养的形成与发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的. 在数学教学活动中，教师应更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识、技能的同时，感悟数学思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学学科核心素养. 这是基于“四基”的数学教学，也是基于“数学学科核心素养”的数学教学.

3. 大力开展探究式教学，推进教学方式的变革

学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西. 而学生探究能力的形成不会随着时间的流逝而消失，可谓终身受用.“开放与探究”是形成数学素养、落实课程目标的重要途径，是评价学生课程目标达成的重要手段，也是引导师生改进教学方式的有力保障. 大力开展探究式教学，关注学生的探究过程和方法，激发和爱护学生的探究热情，给予学生足够的探究时空，不断推进教学方式的变革.

4. 聚焦阅读能力，推动数学文化进课堂

近年来，中考试题渗透数学文化屡见不鲜，未来的考查目标会进一步强调理解，而不是记忆. 了解数学文化，体会数学的价值，数学阅读能帮助学生改进学习方式，体会数学语言的抽象性，提升数学学习能力. 中考数学试题将数学文化作为阅读素材，突出了对学生阅读能力的考查，根据具体事实，进行归纳、概括、分析等，提升学生获取信息、分析信息、评价信息、表达信息，以及独立思考和解决问题的能力. 教学中，学生经历有故事的数学，品味有思维的文化，借助常态化的数学课堂教学，提升数学学科素养.

5. 渗透创新思维，体悟当下数学教学时代之“眼”

教学的本质，就是理解后的再创造. 教师每天的教学设计，应努力寻求创新突破，渗透创新思维，融入生活情境，建构数学模型，定义解决方案. 当下，面对国家“双减”政策，如何帮助师生真正减负，课堂教学首先应从“刷题”时代进入“思维”时空，这是当下数学教学时代之“眼”，也是每一位数学人的使命.

参考文献：

[1]中華人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》 解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]曹一鸣，刘祖希. 上通数学，下达课堂[M].上海：华东师范大学出版社，2021.

[4]马小为. 让创新点亮数学人的时代之眼：2021章建跃博士第九届学术研讨会开幕式发言[J]. 中学数学教学参考（中旬），2021（11）：61-63.