一类带干扰的复合Poisson-Geometric风险模型的生存概率

侯致武, 高 磊

(1. 延安大学西安创新学院 数据科学与工程学院, 陕西 西安 710100;2. 宝鸡文理学院 数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013)

破产理论研究的热点问题是对经典风险模型的改进和推广[1]。基于Poisson-Geometric(PG)过程的良好性质,毛泽春等[2]将经典风险模型推广为复合PG风险模型,熊双平[3]研究了该模型的破产概率;文献[4-6]讨论了带红利且保费收入由线性函数推广为复合泊松过程的复合PG风险模型;文献[7-8]研究了带利率和干扰的复合PG风险模型。上述文献中有考虑了利率的影响,但收取保费是线性的;有考虑随机保费,但未考虑随机干扰因素的;有考虑干扰因素,但保费固定或未考虑利率因素的影响。为了更接近保险实务,文献[9]建立了一个同时考虑利率、随机干扰,且保费收入为复合泊松过程、索赔为复合PG过程的风险模型,并讨论了该模型的预警区问题。本文研究了文献[9]中PG模型的另一精算指标,即生存概率问题。利用盈余过程的强马尔可夫性和It公式,推导了保险公司生存概率的积分- 微分方程,以及特殊条件下的微分方程和解析解,推广了文献[10]中的相关结论。通过数值模拟,分析了保险公司的生存概率随利率、初始资本、保费、索赔额等的变化情况。

1 预备知识

(1)

设模型(1)下保险公司的破产时刻为T=inf(t≥0,Uδ(t)<0)(若集合为空集,则T=∞),最终破产概率为ψδ(u)=P(T<∞|Uδ(0)=u),对应的生存概率为φδ(u)=1-ψδ(u)。

引理1[2]设N(t)是参数为(λ,ρ)的复合PG过程,记α=λ(1-ρ)/ρ(若ρ=0,则取α=λ),则当t→0时,有

2 主要结果

记G*k(y)和g*k(y)分别为索赔分布G(y)和概率密度g(y)的k重卷积,并记

定理1 模型(1)的生存概率φδ(u)满足积分-微分方程

(2)

证明 在足够小的时间(0,t]内是否发生保费收取和索赔,可分为4类事件。

1)B1:在(0,t]内,M(t)=0,N(t)=0,其概率为

P(B1)=(1-λ1t+o(t))(1-λ2t+o(t))=1-(λ1+λ2)t+o(t)。

2)B2:在(0,t]内,M(t)=0,N(t)=k,其概率为

P(B2)=(1-λ1t+o(t))[αρkt+Ak(t)o(t)]=αρkt+Ak(t)o(t)。

3)B3:在(0,t]内,M(t)=1,N(t)=0,其概率为

P(B3)=λ1t(1-λ2t+o(t))=λ1t+o(t)。

4)B4:其他情况,其概率为P(B4)=o(t)。

整理得

令Y(t)=u+h(t),则有

dY(t)=uδeδ t+σeδ tdW(t),Y(0)=u。

将式(5)代入式(4)后,两端同时除以t,令t→0,化简得

式(6)对u从0～z积分,得

令u+x=v,则

令u-y=v,则

将式(8)和式(9)代入式(7),化简得

把式(11)代入式(10),化简得

再令z=u,即为式(2)。证毕。

定理2 若模型(1)中的保费额{Ci}和索赔额{Dj}分别服从参数为a和b的指数分布,则其生存概率满足微分方程

证明 由定理2中的条件知f(x)=ae-ax,g*k(y)是参数为(k,b)的Gamma分布的概率密度。若记b*=(1-ρ)b,则有

将f(x)和gρ(y)代入式(6)得

令m=u+x,n=u-y,则

式(13)化为

式(14)两边同时对u求一、二阶导数得

(17)

同理,由式(15)和式(16)得

在定理2的条件下,令σ=0,则可得文献[10]中生存概率的解析解,即推论1。

推论1 若在定理2的条件下,且σ=0,则生存概率的解析解为

证明 令σ=0,则由式(12)知

由文献[10]中的定理1知,生存概率的解析解为式(19)。证毕。

3 数值实验

在MATLAB环境下,给出了保险公司在保费额和索赔额服从指数分布时的生存概率的算例,它不失一般性,设偏离参数ρ=0.2,扰动系数σ=0。

如图1所示,如果保单到达率λ1=20份·d-1,每份保单的平均保费为1元,索赔发生率为λ2=0.01次·d-1,平均索赔额1 000元,那么当利息力确定时,保险公司的初始资本越大,生存概率就越大;当保险公司的初始资本固定时,利息力越大,生存概率就越大。这符合实际情况,表明保险公司的稳定运行与市场利率和强有力的资金保障密切相关。

图1 初始资本和利息力对生存概率的影响Fig.1 The influence of initial capital and interest force on the survival probability

如图2所示,如果利息力δ=0.05,初始资本u=1 000元,保单平均保费额为1元,平均索赔额为1 000元,那么索赔次数越多,保险公司在单位时间内保单到达次数固定时的生存概率越小;保单到达次数越多,保险公司在单位时间内索赔到达次数固定时的生存概率越大。说明保险公司要稳定经营,必须发现更多的客户,制定合理的保险条款。

图2 保单到达速率和索赔发生速率对生存概率的影响Fig.2 The influence of arriving rate of premium and claim on the survival probability

如图3所示,如果利息力δ=0.05、初始资本u=1 000元、保单到达率λ1=20份·d-1,索赔发生率λ2=0.01次·d-1,那么当每份保单的平均保费固定时,平均索赔额越大,保险公司生存的概率就越小;当平均索赔额固定时,每份保单的平均保费额越高,保险公司生存的概率就越大。研究表明,这与保险公司的实际运作是一致的,合理厘定保费和索赔额对保险公司的稳定经营至关重要。

图3 保费额和索赔额对生存概率的影响Fig.3 The influence of premiums and claims on survival probability

4 结 论

本文考虑的复合PG模型,更好地描述了无索赔情况,也避免了散度偏大的现象,同时考虑了利息力、随机干扰、随机保费和保费随机收取等因素,使其更符合实际应用背景。利用全期望公式,得到其生存概率的积分-微分方程,以及在保费额和索赔额服从指数分布时的微分方程。不考虑干扰因素的影响,得到文献[10]中生存概率的精确解。最后,通过数值算例分析了市场利率、保险公司的初始资本、保单到达次数、索赔发生次数、保费额和索赔额等对保险公司生存概率的影响,这与实际相符,可为保险公司的稳定经营提供理论指导。