椭圆曲线y2=(x+2)(x2-2x+m)的整数点
2022-03-02高志鹏
高志鹏, 杨 海, 王 钊
(西安工程大学 理学院, 陕西 西安 710048)
椭圆曲线的整数点问题是数论及其相关领域基础而又重要的问题,关于椭圆曲线
y2=(x+a)(x2-ax+m),m∈,
(1)
当a=±2时的整数点问题,目前已有一些研究结果。
当a=-2时,文献[1]提出了m=31时椭圆曲线(1)的整数点问题;文献[2]运用代数数论与p-adic分析方法证明了椭圆曲线(1)此时仅有2组整数点;文献[3]运用Pell方程和二元四次丢番图方程的已知结果,给出了该结论的简化证明;文献[4-7]研究了m在特定条件下椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(2,0);文献[8]求出了m=13时椭圆曲线(1)的4组整数点。
当a=2时,文献[9]证明了m=31时无正整数点;文献[10]证明了m=36s2-5(s∈,2s)时椭圆曲线(1)的整数点问题;文献[11-14]分别证明了m=43、15、27、37时椭圆曲线(1)的整数点。目前没有对于m≡3(mod 8)的一般性结论。
本文运用同余、勒让德符号的性质及四次丢番图方程的已知结果证明了
定理设p、q为素数,m为正整数,且满足p≡7(mod 40),m=5p-8=2q+1,则椭圆曲线
y2=(x+2)(x2-2x+m),
(2)
仅有整数点(x,y)=(-2,0);
推论椭圆曲线y2=x3+23x+54,y2=x3+223x+454,y2=x3+623x+1 254,y2=x3+2 423x+4 854,y2=x3+3 223x+6 454,y2=x3+4 223x+8 454均仅有整数点(x,y)=(-2,0)。
1 相关引理
2 定理的证明
在以下叙述中,p、q为奇素数,m=5p-8=2q+1,p≡7(mod 8),q≡5(mod 8)。
设(x,y)是式(2)的任意整数点,因为m=5p-8≥27,所以
x2-2x+m=(x-1)2+m-1>0,
椭圆曲线显然有平凡整数点(x,y)=(-2,0)。下面仅考虑x>-2的情况。
设d为x+2与x2-2x+m的最大公因数,则
d=gcd(x+2,x2-2x+m)=gcd(x+2,m+8)=gcd(x+2,5p)。
由d|5p知,d∈{1,5,p,5p}。则存在正整数a、b,使式(2)分为如下4种情形:
情形1x+2=a2,x2-2x+m=b2,y=±ab, gcd(a,b)=1;
情形2x+2=5a2,x2-2x+m=5b2,y=±5ab, gcd(a,b)=1;
情形3x+2=pa2,x2-2x+m=pb2,y=±pab, gcd(a,b)=1;
情形4x+2=5pa2,x2-2x+m=5pb2,y=±5pab, gcd(a,b)=1。
下面对这4种情形进行讨论。
情形1 将x=a2-2代入x2-2x+m=b2,结合m=5p-8得
b2=a4-6a2+5p。
当a为偶数时,a4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡5p≡3(mod 8),矛盾;当a为奇数时,a4-6a2≡3(mod 8),可得b2≡5p+3≡6(mod 8),矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
情形2 将x=5a2-2代入x2-2x+m=5b2,结合m=5p-8得
b2=5a4-6a2+p。
当a为偶数时,5a4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡p≡7(mod 8),矛盾;当a为奇数时,5a4-6a2≡7(mod 8),可得b2≡p+7≡6(mod 8),矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
情形3 将x=pa2-2代入x2-2x+m=pb2,结合m=5p-8得
b2=pa4-6a2+5。
当a为偶数时,pa4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡5(mod 8),矛盾;当a为奇数时,pa4-6a2≡1(mod 8),可得b2≡6(mod 8),矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
情形4 将x=5pa2-2代入x2-2x+m=5pb2,结合m=5p-8得
b2=5pa4-6a2+1。
当a为奇数时,5pa4-6a2≡5(mod 8),可得b2≡6(mod 8),矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
当a为偶数时,5pa4-6a2≡0(mod 8),可得b2≡1(mod 8),此时b为奇数。由5p-8=2q+1得b2=2qa4+(3a2-1)2,分解因式得
(b+3a2-1)(b-3a2+1)=2qa4。
令a=2c,由于2|b+3a2-1,且2|b-3a2+1,但2q,所以
(3)
则l1|b,2l1,设有奇素数p1|l1,则由l1|b、l1|(12c2-1)知,
所以p1|c,这与gcd(2c,b)=1矛盾,故l1=1。此时,存在正整数u、v,gcd(u,v)=1,使式(3)可分为如下4种情况:
下面对这4种情况进行讨论:
对于ⅰ),由l1=1,gcd(u,v)=1、得gcd(8qu4,v4)=1,即得v为奇数。前2式相减得12c2-1=v4-8qu4,取模8,得
3,7≡12c2-1≡v4-8qu4≡1(mod 8),
矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于ⅱ),前2式相减得12c2-1=8v4-qu4,由c=±uv结合5p-8=2q+1,整理得
(4v2-3u2)2-5pv4=-2,
取模p,得
(4v2-3u2)2=-2(modp),
(4)
对于ⅲ),由l1=1、gcd(u,v)=1,得gcd(8u4,qv4)=1,即得v为奇数。前2式相减得12c2-1=qv4-8u4,取模8,得
3,7≡12c2-1≡qv4-8u4≡5(mod 8),
矛盾。因此此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于ⅳ),前2式相减得12c2-1=8qv4-u4,由c=±uv结合5p-8=2q+1,整理得
(u2+6v2)2-20pv4=1。
(5)
由l1=1、gcd(u,v)=1,得gcd(8qv4,u4)=1,即得u为奇数,对式(5)取模8,由c=±uv得v为偶数,u为奇数。令X=u2+6v2,显然2X,X≡1(mod 4),式(5)可写为
(6)
故此时存在正整数g、h,gcd(g,h)=1,使式(6)可分为如下4种情况:
由gcd(g,h)=1、X≡1(mod 4),知g为偶数,h为奇数。下面对这4种情况进行讨论。
对于ⅰ),前2式相加得X=5pg4+h4,代入式(6),整理得(5pg4-h4)2=1,即
5pg4-h4=1
(7)
或
h4-5pg4=1。
(8)
对于式(7),两边同时取模p,得
h4≡-1(modp)。
(9)
对于ⅱ),前2式相加得X=5g4+ph4,代入式(6),整理得(5g4-ph4)2=1,即
5g4-ph4=1
(10)
或
ph4-5g4=1。
(11)
对于式(10),两边同时取模p,得
5g4≡1(modp)。
由p≡7(mod 40)得
由引理1知上式同余式无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于式(11),h为奇数、g为偶数时,对式(11)取模8,得7≡p≡ph4-5g4≡1(mod 8),所以式(11)无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于ⅲ),前2式相加得X=pg4+5h4,代入式(6),整理得(pg4-5h4)2=1,即
pg4-5h4=1
(12)
或
5h4-pg4=1。
(13)
对于式(12),h为奇数,g为偶数时,对式(12)取模8,得3≡pg4-5h4≡1(mod 8),所以式(12)无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于式(13),h为奇数、g为偶数时,对式(13)取模8,得5≡5h4-pg4≡1(mod 8),所以式(13)无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于ⅳ),前2式相加得X=g4+5ph4,代入式(6),整理得(g4-5ph4)2=1,即
g4-5ph4=1
(14)
或
5ph4-g4=1。
(15)
对于式(14),h为奇数、g为偶数时,对式(14)取模8,得5≡g4-5ph4≡1(mod 8),所以式(14)无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
对于式(15),h为奇数、g为偶数时,对式(15)取模8,得3≡5ph4-g4≡1(mod 8),所以式(15)无解,即此时椭圆曲线(2)无整数点。
综上所述定理得证。
3 推论的证明
当p=7时,q=13,是素数,此时m=27,由定理得椭圆曲线y2=x3+23x+54仅有整数点(x,y)=(-2,0);
当p=47时,q=113,是素数,此时m=227,由定理得椭圆曲线y2=x3+223x+454仅有整数点(x,y)=(-2,0);
当p=127时,q=313,是素数,此时m=627,由定理得椭圆曲线y2=x3+623x+1 254仅有整数点(x,y)=(-2,0);
当p=487时,q=1 213,是素数,此时m=2 427,由定理得椭圆曲线y2=x3+2 423x+4 854仅有整数点(x,y)=(-2,0);
当p=647时,q=1 613,是素数,此时m=3 227,由定理得椭圆曲线y2=x3+3 223x+6 454仅有整数点(x,y)=(-2,0);
当p=827时,q=2 113,是素数,此时m=4 227,由定理得椭圆曲线y2=x3+4 223x+8 454仅有整数点(x,y)=(-2,0)。
综上推论得证。
4 结 论
本文证明了p、q为素数,m为正整数,且满足p≡7(mod 40),m=5p-8=2q+1,则椭圆曲线y2=(x+2)(x2-2x+m)仅有整数点(x,y)=(-2,0)。研究结果推广了椭圆曲线y2=(x+a)(x2-ax+m),m∈,当a=2时的一般性结论,对此类椭圆曲线整数点的研究有一定的推进作用。
