基于PBL教学法的“自动控制原理”“控制系统数学模型”教学

田军南 严运彩

摘 要：本文针对“自动控制原理”课程“控制系统数学模型”章节难学、难教、难懂的问题，在介绍PBL（ProblemBased Learning，PBL，问题驱动教学法）理论原理基础上，依据该方法实施步骤将其贯穿于课堂教学。结果表明，相较于传统教学模式，PBL教学法不仅对于学生学习积极性、主动性、创造性具有明显的提升作用，同时也可在一定程度上促进良好课堂学习氛围的创设，锻炼学生的工程实践能力。

关键词：自动控制原理;数学模型;PBL教学法

中图分类号：TP204;G642  文献标识码：A

1 绪论

自动控制技术在现代科学技术的众多领域中，起着越来越重要的作用[1]。目前我国大力提倡应用型本科建设，注重高素质工程科技人才的培养，在这一背景下，更加凸显了自动控制技术学习的必要性。“自动控制理论”是自动控制技术的理论基础，是自动化、电气等工科类专业的必修课程。学习该课程不仅要求学生具备电路、模电等课程的基础，并且需要学生对微积分等抽象的数学知识有较高的掌握度。特别是笔者所带专升本学生，普遍数学基础较差，如果以传统的“灌输式”方法构建课堂，势必会导致学生滋生抵触情绪，对完成既定的课堂教学目标产生影响。笔者结合近几年自动控制原理教学体会，将PBL教学法贯穿于课程的教学中，以该方法引导学生积极探索未知问题，培养学习积极性，并取得了良好的效果[2]。

2 PBL教学法概述

PBL教学法即以问题为导向的教学方法。该教学法与传统教学法相比最大特点为不在遵循教师为课堂主导，系统的学习知识后再解决问题的规律。而是以问题为学习基础，提出一系列与授课目标相关的问题，并激发学生解决问题的能动性，使学生在推导出问题答案的同时，获取目标知识。PBL教学法在调动学生课堂参与度、求知欲激发等方面均优于传统教学法，有助于良好课堂氛围的创设[3]。

3 PBL教学法设计原则与实施步骤

3.1 PBL教学法设计原则

PBL教学法最关键的是问题的设计，所提出问题的顺序、难易程度是否适当，是否做到适应学生情况，将直接决定教学的效果。通常情况下，在设计问题时应围绕如下几条原则：

（1）具有鲜明的教学目标。在设计问题前必须充分备教材、备学生，制定合理的教学目标。

（2）注重设计问题的层次感。在设计问题前必须充分考虑学生的接受度，由深入浅，注重层次感，只有这样才能确保学生逐步建立自信心，培养良好的学习兴趣。

（3）把握所设计问题的难易度。设计问题前一定要充分调研、论证，设计难度适当的问题。

（4）注意面向对象的广度。设计问题时，一定要充分考虑学生整体水平，注重所设计问题的适用度，确保面向全体学生，确保所有学生都能参与进来，都能有所收获。

3.2 PBL教学法实施步骤

（1）教师提出问题。该步骤是实施PBL教学法的基础，要求教师必须在课前时间充分了解学生的整体情况，熟悉课本教材，依据教学目标准备好课程所需问题。

（2）分析问题。该步骤遵循以学生为主体的原则。具体课堂教学中，可将学生以讨论小组的形式组合，围绕问题开展讨论，每个小组推举一名同学负责收集、总结小组意见。

（3）解决问题。该步骤承接上一步骤，在充分分析问题后，让同学们将所讨论的解决方法进行总结，自由选择方式与全体同学进行汇报。

（4）结果评价。该步骤为实施PBL教学法的最终步骤，主要内容是对前述阶段进行总结评价。具体实施时可以从个人、小组、教师等三个方面展开评价总结，评价指标可设定为个人的贡献、小组的整体活跃程度、所提供问题答案的正确性、简洁性等。

4 PBL教学法实施案例

“自动控制理论”课程体系结构如图1所示。由图分析可知“控制系统数学模型”在自控课程体系中处于承上启下的位置。“控制系统数学模型”章节主要包含Laplace变换、时域、复域数学模型、结构图等内容，这部分内容理论性较强，计算烦琐，要求具有较高的数学基础[4]。笔者针对“控制系统数学模型”章节内容，结合所教学生特点，基于PBL教学法开展课堂教学，效果良好，现将教学过程总结如下。

4.1 教师提出问题

分析与设计控制系统的前提是必须建立控制系统的数学模型，那么究竟什么是控制系统的数学模型？该怎样去学习它？笔者以此问题为出发点，结合所教学生特点，坚持由浅入深的原则设计完成如图2所示问题链。

4.2 分析问题

将全班学生分为若干讨论小组，为了增加集体荣誉感，还可让同学们提前准备口号，推举小组负责人。

对于第一个问题，学生可直接从教材找到控制系统模型定义，进一步分析可将数学模型分类总结为图3所示。分析可知，数学模型主要有时域、复域、频域三种类型，而该章节主要研究時域中的微分方程、复域中的传递函数与结构图。那么究竟什么是微分方程？对于这一问题，可引导学生从简单的RLC电路例子入手得到其微分方程为式（1），显然这是一个二阶线性定常微分方程。由此类推，可得线性定常微分方程一般表达式为式（2）。分析微分方程，仅仅熟悉其概念是不够的，还要想办法求出方程时域解才能进一步分析。高等数学中提供了简单的低阶微分方程方求解方法，但实际中我们所遇到的微分方程往往是高阶的，怎么能够迅速准确的求出其时域解？这就促使着我们必须进行Laplace变换的学习。

LCd2uotdt2+RCduotdt+uot=uit（1）

a0dnctdtn+a1dn-1ctdtn-1+…+an-1dctdt+anct=b0dmrtdtm+b1dm-1rtdtm-1+…+bm-1drtdt+bmrtnm（2）

Laplace变换本质为积分变换，定义式为式（3），其中F（s）为像，f（t）为原像。这部分概念定理较多，推导过程只需简单了解，重点掌握相关结论即可。

L[f（t）]=F（s）=∫0f（t）·e-stdt（3）

经过上述分析已经可以明确控制系统的微分方程是时域数学模型，利用Laplace变换求解微分方程可得到系统的输出响应。那么我们还有必要研究复域数学模型吗？答案明显是肯定的。实际中，如果系统结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，这很明显会加大计算量，不便于对系统进行分析和设计。为了避免这一问题，在用Laplace变换法求解微分方程时，可将动态数学模型对应为复数s域模型即传递函数。传递函数定义为零初始条件下，系统输出量与输入量Laplace变换之比。这一概念与后续知识学习息息相关，为了加深理解，与前述RLC电路例子结合，从式（1）出发利用拉氏变换微分定理可得对应传递函数为式（4）。以此为基础可研究传递函数性质与其零极点概念，为后续课程学习做准备。

Gs=UosUis=1LCs2+RCs+1（4）

由图3可知，结构图和传递函数是系统复域数学模型的两种形式。在研究过传递函数后还需要研究结构图吗？结构图定义是什么？阅读教材可知控制系统的结构图是控制理论中描述复杂控制系统的一种简便方法。从定义出发，可对结构图组成和绘制、等效变换方法规则进行总结。在实际操作时，可利用梅森公式如式（5），迅速准确地求取动态结构图传递函数[5]。

Φs=Σnk=1PkΔkΔ（5）

4.3 解决问题

具体课堂实践中，发现分析问题时有两个较为集中的难点需要详细讲述总结。一是Laplace变换问题，学生往往概念清楚，但实际遇到问题时难以求解。可引入相应例题来说明采用Laplace变换法解线性定常微分方程的具体过程。例如，已知系统的微分方程式以及相关条件如式（6），将方程两边求Laplace变换得式（7）。由于R（s）值为1，可求得C（s）结果为1/（s+1）2+1，进行Laplace反变换可得最终时域解c（t）为etsint。

d2ctdt2+2dctdt+2ct=rtrt=δt，c0=c′0=0（6）

s2C（s）+2sC（s）+2c（s）=R（s）（7）

二是梅森公式應用问题，学生对式（5）中字母表达含义混淆，解题困难。式中分母Δ为特征式，可用式（8）表示。式中，ΣLi、ΣLiLj、ΣLiLjLz分别对应于单独、两两互不接触、三个互不接触回路增益之和。其中，一定要明确回路特点为起点和终点重合，以此为依据判断回路数量。Pk为第k条前向通路的总增益;此处应明确由给定值至被控量的通道为前向通路。Δk是将特征式中与第k条前向通路相接触回路的总增益所在项去掉后的剩余部分，称为余子式;为了便于理解，可让学生简计为“余下的式子”。n为前向通路的总数。

Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLz+…（8）

4.4 结果评价

在充分分析问题、解决问题的基础上，组织学生以小组为单位制作PPT进行内容总结汇报。在汇报过后，上交个人学习报告，并依此为依据给出个人该章节课程学习成绩。课堂教学过程中，为了进一步巩固本章内容，可预留适当时间绘制本章知识框架图如图4，通过图4学生可更加清晰本章知识点之间的相互联系，也有利于加深对相关知识点印象，有助于取得更好的教学效果。

结语

本文在介绍PBL教学法理论的基础上，将其应用于“自动控制理论”“控制系统数学模型”课堂教学中。通过教学实践，发现该方法相较于传统的“灌输式”教学优势明显。不仅使学生学习积极性、创造性大幅度提高，同时也创造了更好的课堂教学氛围，师生互动性强，有利于教师寓教于乐，更好地完成既定的课堂教学目标。

参考文献：

[1]胡寿松.自动控制原理基础教程（第四版）[M].北京：科学出版社，2019，1.

[2]李峰，罗印升，俞洋，等.“自动控制原理”课程教学中的问题及对策——以江苏理工学院为例[J].江苏理工学院学报，2020，26（04）：111114.

[3]李天宁.“自动控制原理”实验教学改革探讨[J].电气电子教学学报，2019，41（02）：109113.

[4]苗宇，蒋大明，刘泽.“自动控制原理”混合式教学实践[J].电气电子教学学报，2020，42（01）：8286+90.

[5]黄坚.自动控制原理（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2016，5.

作者简介：田军南（1992— ），男，汉族，河南安阳人，硕士，助教，研究方向：智能控制技术。