例说圆锥曲线问题的6种特色运算

徐元珍

(江苏省徐州市铜山区茅村中学，221135)

圆锥曲线问题是历年高考命题的重点和热点,解答圆锥曲线问题离不开计算,甚至有时候成功与否都取决于计算.过于复杂、繁琐的计算不但费时,甚至还可能导致半途而废.因此,想方设法避开复杂计算,尽量减轻计算负担是求解圆锥曲线问题的关键.在解决圆锥曲线问题，尤其是选择、填空题时,若能依据题型特点,寻找一些“非常规性”的方法,常常会简捷、巧妙地解决问题.下面分情形举例说明圆锥曲线问题的6种特色运算.

一、回归定义——简算

定义揭示的是事物的本质属性,圆锥曲线中有许多性质都是由定义派生出来的.求解时若能从定义出发挖掘其性质,把定量的计算和定性的分析有机地结合起来,可以大大地减少运算量.

解易知椭圆的左焦点为F′(-4,0).由定义知|MF|+|MF′|=10,即|MF|=10-|MF′|,所以|MA|+|MF|=|MA|+10-|MF′|=10-(|MF′|-|MA|).

评注这类题型是利用椭圆的定义将距离进行转化,从而求出距离的最小值.由此可见,利用定义转化求最值,不仅能避免繁琐的计算,而且还可以加深对定义的理解.

二、平几辅助——巧算

根据问题特点,恰当地应用平面几何知识辅助解题可以巧妙地简化运算.

例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为______.

解如图1,过点A,B,M分别作AA′,BB′,MM′垂直于准线l,垂足分别为A′,B′,M′.由抛物线的定义可知|AA′|=|FA|，|BB′|=|FB|.

评注本题通过回归定义和运用平面几何知识,数形结合使问题化难为易.

评注本题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻.上述解法的关键是结合几何图形性质,得到∆BOF2为正三角形,即得到渐近线的倾斜角为60°,从而突破问题障碍.

三、借助结论——速算

圆锥曲线中除课本上的公式、性质等知识外,还有许多好的结论，直接利用这些结论解答客观题相当快速、方便.

分析因为PF⊥x轴,所以|PF|是“通径”长的一半.数形结合,利用平行线分线段成比例定理建立关系,最终化为a,b,c的等式求解.

四、巧设方程——活算

从直线与圆锥曲线的多种形式的方程中,结合题意灵活选用方程形式,是简化解题过程的重要手段之一.

例7过点P(4,0)的直线交抛物线E:y2=4x于C,D两点,求证:以弦CD为直径的圆过坐标原点O.

解由题设知直线CD的斜率不为零,可设其方程为x=my+4.代入y2=4x,得y2-4my-16=0.设点C(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-16.

五、引入向量——新算

向量是解决数学问题的重要工具.运用向量处理解析几何中的共线(平行)、垂直、夹角和位置关系等复杂问题,不仅方法新颖、巧妙,而且可以减少计算量,优化解题过程.

例8设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM斜率的最大值为( )

分析由P,M,F三点共线,可以构造向量,利用向量共线的充要条件转化为坐标运算求解.

评注本题若根据条件利用两点间的距离公式会出现根式,计算量和难度都相当大,而利用向量共线的坐标运算则较为方便,这就是用向量解决问题的优势.

六、设而不求——少算

“设而不求”是数学解题中的一种颇为有用的手段,往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算,从而减少计算量,简化解题过程.

评注本题设出P1,P2两点的坐标,但求解过程中并不需要求出其具体值,只是用它们起中介桥梁的作用,简化解题过程.

例10已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )

(A)16 (B)14 (C)12 (D)10

评注本解法取直线l1的斜率k为参数,借助方程联立,运用设而不求、抛物线定义和均值不等式求解,过程简洁,能有效考查学生分析问题和解决问题的能力.