例说解析几何线段积问题的转化策略

龚海滨

(江苏省扬州市新华中学,225009)

与线段积有关的解析几何综合题是当下高考的热点问题.由于这类问题综合性强,考生往往是直接套用两点间距离公式计算线段长度,使得参数偏多、运算复杂冗长,最终导致解题半途而废.因此,如何转化问题,寻找减少运算量的巧算方案就显得非常重要.本文举例说明此类问题常用的几种转化策略,供大家参考.

一、通过共线向量的刻画,将线段之积转化为向量的数量积

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)(-1,1).(过程略)

二、通过投影降维,将线段之积转化为同一坐标轴上的射影之积

例2(2021年浙江高考题)如图2,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2,

(1)求抛物线的方程;

(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.

解(1)y2=4x.(过程略)

评注本解法将斜线段RN,PN,QN通过投影转化为竖直线段,将线段之积转化为P,Q,R纵坐标之间的关系,回避了直接用两点间距离公式计算RN,PN,QN的繁琐.在解析几何中,对于复杂的线段积问题,一般可将斜线段投影到坐标轴上或与坐标轴平行的直线上,将线段之积转化为同一坐标轴上的射影之积.这种将二维空间的数量关系“降”为一维坐标轴(直线)上的数量关系来处理的“降维”思想,能回避直接用两点间距离公式带来的繁琐,计算快捷合理.

三、巧用参数方程,将线段之积转化为参数之积

(1)求C的方程;

与直线PQ的斜率之和.

评注在解决过定点的直线与圆锥曲线相交弦的相关问题时,若能引入直线参数方程,则可利用参数t的几何意义,回避解方程组求交点坐标等繁琐运算, 使解法简捷明快.

同一个问题,由于算法不同,计算量的差异可能会很大.因此,在处理线段长度之积的问题时,要注意增强求简意识,选择更好的运算途径,多向转化,在巧算中才能感受到数学的轻松和优美.