APP下载

基于深度学习的“一类含参不等式”微设计

2022-02-28四川省资阳中学王冬勤王海清邮编641300

中学数学教学 2022年1期
关键词:题组奇函数奇偶性

四川省资阳中学 王冬勤 王海清 (邮编:641300)

函数是高考考查的重点、热点,特别是关于抽象含参不等式性质,主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,其综合性强,对思维能力要求高,对于高一学生来说,难度大.为了突破这一难点,笔者利用深度学习理念,进行了一次“一类含参不等式”微设计专题研究,宏观把握函数性质,精心设计教学内容,精准提高教学效果,逐步提高学生数学素养.

1 教学分析

教学中使学生获得一类抽象含参不等式的解决办法,巩固必修一对于函数单元的编排,即研究函数的两域三性(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性),有助于学生在形成知识体系的同时,发展相应的核心素养.

2 教学目标

教学要点f()< f()f()+f()< 0 f()+f()< a f()< f2()/af()核心素养①数学建模②数学抽象③直观想象④数学运算⑤逻辑推理考法指津(1)函数单调性、奇偶性(2)理解函数基本模型,并对其余模型进行有效转化(3)注意定义域优先的原则(4)积累常见的奇偶函数(5)逐渐掌握对抽象函数的研究

3 教学方法

以题组为架构,开展基于深度学习的主题单元教学.

4 教学过程

题组 1 :基本模型——f()<f()型/f()+f()< 0型

(1)已知函数f(x)=log2|x-1|+x2-2x+1,则f(2x-1)<f(x+1)的解集为______.

思路探寻由已知可得f(x)是关于x=1对称的函数,且当x∈(1,+ ∞)时,f(x)单调递增 ,故|2x-1-1|<|x+1-1|,两 边 平 方 ,得此思路忽略定义域优先的原则,即忽略定义域为{x|x∈R,且x≠1}.

方法点睛根据条件,明确定义域,故f(x)是定义在 (-∞,1)∪(1,+ ∞)上的关于x=1对称的函数,并在x∈(1,+∞)单调递增,故由题设条件得解之得

(2)已知函数f(x)=,若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)< 0恒成立,求实数k的取值范围为_____.

思路探寻因为f(x)为奇函数,故原式为f(t2-2t)<f(k-2t2),即t2-2t<k-2t2,3t2-2t<k,解 之 得k>(3t2-2t)max,即 范 围 为此 思 路 忽 略f(x)的 单 调 性 ,从f(t2-2t)<f(k-2t2)直接过渡到t2-2t<k-2t2,缺乏严谨的逻辑推理,另此思路中(3t2-

方法点睛f()+f()< 0型,必然隐含f(x)为奇函数,需要说明其奇偶性.可化为f()<f()型,去掉法则f,必须说明其单调性,此为关键.f(x)单调性证明略,显然f(x)单 调 递 减.t2-2t>k-2t2,解 之 得k<(3t2-2t)min,即范围为

题组2:化为基本模型——f()+f()< a型

思路探寻我们认识f()+f()<0型,可此时右侧为常数-2,怎么办呢?对,移项变成0.设g(x)=f(x)+1,g(2a-1)+g(a2-2)≤ 0,进而研究g(x)是否为奇函数,以及g(x)在(0,+∞ )的单调性.

方法点睛设g(x)=f(x)+1=log2(x+由g(x)=log2(x+即g(-x)=-g(x),故g(x)为R上奇函数,且由g(x)=log2(x+x2+1 )+,得g(x)在 (0,+ ∞)内单调递增,即g(x)在 R 内 单 调 递 增 ,g(2a-1)≤g(2-a2),2a-1≥ 2-a2,解之得a∈[-3,1].

思路探寻同第3题,设g(x)=f(x)-1=则 原 式 为g(4-ma)+g(m2+3m)>0,进而研究g(x)是 R 上的奇函数,及g(x)在 (0,+ ∞)上 的 单 调 性.提 公 因 式x2,,易知g(x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)单调递增.则原式为g(4-ma)>g(-m2-3m),4-ma>-m2-3m,存在m∈(1,4),使m2+3m-ma+4>0恒成立.分离参数后为,即故实数的范围为a∈(-∞,8).

方法点睛此题不同于第3题在于奇偶性需要 提 出 公 因 式x2,再 通 分 易 见g(x)=x2(1-我们可以总结,当f(x)=形式时,可证奇偶性,当形式时,易见单调性.

题组 3:化为基本模型——f()< f2()/af()型

(5)设f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当x≥ 0时,f(x)=ex.若对任意的x∈[a,a+1],不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立,则实数a的最大值?

思路探寻我们熟悉f()<f()型,可此时为f()<f2()型,意味着f2()=f(),而f(x)=e|x|,即f2(x)=e2|x|=e|2x|=f(2x),故 原 式 为f(x+a)<f(2x),由于f(x)是偶函数,且在(0,+∞ )内单调递增,故|x+a|<|2x|在[a,a+1]上恒成立,两边平方,得g(x)=3x2-2ax-a2≤0在[a,a+1]上恒成立,由根的分布可知,解之得故最大值为

方法点睛f()<f2()型,可通过f(x)性质,研究f2()=f(),此类性质对一般指数函数具有.

(6)设f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x≥ 0时,f(x)=x2.若对任意的x∈[-3,3],不等式f(x+a)≥ 4f(x)恒成立,求实数a的范围.

思 路 探 寻f(x)=x|x|,4f(x)=f(2x),故原式为f(x+a)≥f(2x).由于f(x)是R上的奇函数,在(0,+ ∞)单调递增,即f(x)在 R内单调递增,故x+a≥2x,即a≥x在x∈[-3,3]上恒成立,故a≥3.

方法点睛f()<af(),可通过f(x)的性质,研究af()=f(),此类函数一般幂函数具有.由此可猜想对数函数具有性质:f()+f()=f(),故也有相关类型:f()+f()=f()+f()等.

5 教学评价

本专题主题教学是基于问题题组形式的案例分析,题组之间的螺旋式进阶关系.提高了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学学科素养,示错教学,提高了学生的辨析能力和科研精神.

猜你喜欢

题组奇函数奇偶性
函数的图象、单调性和奇偶性
函数的单调性和奇偶性
厘清概念与性质 准确把握解题方向
函数的奇偶性常见题型分析
商榷这道商榷题的修改题组
小学数学“题组教学策略”之管见
函数的奇偶性常见形式及应用
浅谈如何运用奇函数研究对称中心
以“题组”为抓手,促进学生审题能力的提升
类正弦定理猜想