基于深度学习的“一类含参不等式”微设计

四川省资阳中学 王冬勤 王海清 （邮编：641300）

函数是高考考查的重点、热点，特别是关于抽象含参不等式性质，主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，其综合性强，对思维能力要求高，对于高一学生来说，难度大.为了突破这一难点，笔者利用深度学习理念，进行了一次“一类含参不等式”微设计专题研究，宏观把握函数性质，精心设计教学内容，精准提高教学效果，逐步提高学生数学素养.

1 教学分析

教学中使学生获得一类抽象含参不等式的解决办法，巩固必修一对于函数单元的编排，即研究函数的两域三性（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性），有助于学生在形成知识体系的同时，发展相应的核心素养.

2 教学目标

教学要点f（）＜ f（）f（）+f（）＜ 0 f（）+f（）＜ a f（）＜ f2（）/af（）核心素养①数学建模②数学抽象③直观想象④数学运算⑤逻辑推理考法指津（1）函数单调性、奇偶性（2）理解函数基本模型，并对其余模型进行有效转化（3）注意定义域优先的原则（4）积累常见的奇偶函数（5）逐渐掌握对抽象函数的研究

3 教学方法

以题组为架构，开展基于深度学习的主题单元教学.

4 教学过程

题组 1 ：基本模型——f（）＜f（）型/f（）+f（）＜ 0型

（1）已知函数f（x）＝log2|x-1|+x2-2x+1，则f（2x-1）＜f（x+1）的解集为______.

思路探寻由已知可得f（x）是关于x＝1对称的函数，且当x∈（1，+ ∞）时，f（x）单调递增 ，故|2x-1-1|＜|x+1-1|，两 边 平 方 ，得此思路忽略定义域优先的原则，即忽略定义域为{x|x∈R，且x≠1}.

方法点睛根据条件，明确定义域，故f（x）是定义在 （-∞，1）∪（1，+ ∞）上的关于x＝1对称的函数，并在x∈（1，+∞）单调递增，故由题设条件得解之得

（2）已知函数f（x）＝，若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜ 0恒成立，求实数k的取值范围为_____.

思路探寻因为f（x）为奇函数，故原式为f（t2-2t）＜f（k-2t2），即t2-2t＜k-2t2，3t2-2t＜k，解 之 得k＞（3t2-2t）max，即 范 围 为此 思 路 忽 略f（x）的 单 调 性 ，从f（t2-2t）＜f（k-2t2）直接过渡到t2-2t＜k-2t2，缺乏严谨的逻辑推理，另此思路中（3t2-

方法点睛f（）+f（）＜ 0型，必然隐含f（x）为奇函数，需要说明其奇偶性.可化为f（）＜f（）型，去掉法则f，必须说明其单调性，此为关键.f（x）单调性证明略，显然f（x）单 调 递 减.t2-2t＞k-2t2，解 之 得k＜（3t2-2t）min，即范围为

题组2：化为基本模型——f（）+f（）＜ a型

思路探寻我们认识f（）+f（）＜0型，可此时右侧为常数-2，怎么办呢？对，移项变成0.设g（x）＝f（x）+1，g（2a-1）+g（a2-2）≤ 0，进而研究g（x）是否为奇函数，以及g（x）在（0，+∞ ）的单调性.

方法点睛设g（x）＝f（x）+1＝log2（x+由g（x）＝log2（x+即g（-x）＝-g（x），故g（x）为R上奇函数，且由g（x）＝log2（x+x2+1 ）+，得g（x）在 （0，+ ∞）内单调递增，即g（x）在 R 内 单 调 递 增 ，g（2a-1）≤g（2-a2），2a-1≥ 2-a2，解之得a∈[-3，1].

思路探寻同第3题，设g（x）＝f（x）-1＝则 原 式 为g（4-ma）+g（m2+3m）＞0，进而研究g（x）是 R 上的奇函数，及g（x）在 （0，+ ∞）上 的 单 调 性.提 公 因 式x2，，易知g（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递增.则原式为g（4-ma）＞g（-m2-3m），4-ma＞-m2-3m，存在m∈（1，4），使m2+3m-ma+4＞0恒成立.分离参数后为，即故实数的范围为a∈（-∞，8）.

方法点睛此题不同于第3题在于奇偶性需要 提 出 公 因 式x2，再 通 分 易 见g（x）＝x2（1-我们可以总结，当f（x）＝形式时，可证奇偶性，当形式时，易见单调性.

题组 3：化为基本模型——f（）＜ f2（）/af（）型

（5）设f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当x≥ 0时，f（x）＝ex.若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的最大值？

思路探寻我们熟悉f（）＜f（）型，可此时为f（）＜f2（）型，意味着f2（）＝f（），而f（x）＝e|x|，即f2（x）＝e2|x|＝e|2x|＝f（2x），故 原 式 为f（x+a）＜f（2x），由于f（x）是偶函数，且在（0，+∞ ）内单调递增，故|x+a|＜|2x|在[a，a+1]上恒成立，两边平方，得g（x）＝3x2-2ax-a2≤0在[a，a+1]上恒成立，由根的分布可知，解之得故最大值为

方法点睛f（）＜f2（）型，可通过f（x）性质，研究f2（）＝f（），此类性质对一般指数函数具有.

（6）设f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当x≥ 0时，f（x）＝x2.若对任意的x∈[-3，3]，不等式f（x+a）≥ 4f（x）恒成立，求实数a的范围.

思 路 探 寻f（x）＝x|x|，4f（x）＝f（2x），故原式为f（x+a）≥f（2x）.由于f（x）是R上的奇函数，在（0，+ ∞）单调递增，即f（x）在 R内单调递增，故x+a≥2x，即a≥x在x∈[-3，3]上恒成立，故a≥3.

方法点睛f（）＜af（），可通过f（x）的性质，研究af（）＝f（），此类函数一般幂函数具有.由此可猜想对数函数具有性质：f（）+f（）＝f（），故也有相关类型：f（）+f（）＝f（）+f（）等.

5 教学评价

本专题主题教学是基于问题题组形式的案例分析，题组之间的螺旋式进阶关系.提高了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学学科素养，示错教学，提高了学生的辨析能力和科研精神.