构造数量积，巧解向量题——由一道课本习题所想到的

■俞 飞 张启兆

题目判断下列结论是否正确:已知a，b，c是三个非零向量，若a·c＝b·c，则a＝b。

容易判断这个结论是错误的。由a·c＝b·c，可得a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c，故这个结论是错误的。其逆命题:若a＝b，则a·c＝b·c是正确的。利用这个正确结论，在解向量问题中有时能起到事半功倍的效果。下面举例说明。

一、从向量等式结构入手,两边取数量积

二、从向量垂直条件入手,两边取数量积

例2若＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（ ）。

A.30° B.60° C.120° D.150°

解：从c⊥a入手，在c＝a＋b的两边取数量积。

设向量a与b的夹角为θ。由c⊥a，可得c·a＝0。在c＝a＋b的两边同乘以向量a得c·a＝(a＋b)·a，即a2＋a·b＝0，所以1＋2cosθ＝0，即cosθ＝－。又θ∈[0 °，180°]，所以θ＝120°。应选C。

评注：利用c⊥a这一条件，在向量等式c＝a＋b的两边取数量积，能达到条件和目标的和谐统一，从而快速准确得到结果。

三、从目标需要入手,两边取数量积