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构造数量积,巧解向量题
——由一道课本习题所想到的

2022-02-28张启兆

中学生数理化·高一版 2022年2期
关键词:逆命题等式夹角

■俞 飞 张启兆

题目判断下列结论是否正确:已知a,b,c是三个非零向量,若a·c=b·c,则a=b。

容易判断这个结论是错误的。由a·c=b·c,可得a·c-b·c=0,即(a-b)·c=0,所以(a-b)⊥c,故这个结论是错误的。其逆命题:若a=b,则a·c=b·c是正确的。利用这个正确结论,在解向量问题中有时能起到事半功倍的效果。下面举例说明。

一、从向量等式结构入手,两边取数量积

二、从向量垂直条件入手,两边取数量积

例2若=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )。

A.30° B.60° C.120° D.150°

解:从c⊥a入手,在c=a+b的两边取数量积。

设向量a与b的夹角为θ。由c⊥a,可得c·a=0。在c=a+b的两边同乘以向量a得c·a=(a+b)·a,即a2+a·b=0,所以1+2cosθ=0,即cosθ=-。又θ∈[0 °,180°],所以θ=120°。应选C。

评注:利用c⊥a这一条件,在向量等式c=a+b的两边取数量积,能达到条件和目标的和谐统一,从而快速准确得到结果。

三、从目标需要入手,两边取数量积

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