例析平面向量的最值问题的几种解法

■刘长柏

平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。下面对平面向量的最值问题的几种解法进行归纳，意在抛砖引玉。

一、基底法

点评

本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量转化为只有一个动向量（），从而使问题得到解决。利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。

二、坐标系法

例2已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1，点P，Q分别在BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则的最小值是____。

解：以矩形ABCD的顶点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xAy（图略）。易得A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）。设P（2，y），Q（x，1）（0≤x≤2，0≤y≤1）。

点评

合理建立坐标系，由点的坐标转化为向量坐标的代数运算是坐标法解决向量问题的关键。

三、构造函数法

点评

本题主要是借助边长，将数量积转化为二次函数，利用二次函数的最值求解的。

四、利用平面几何知识

例4已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝，a与b的夹角为，（c－a）·（c－b）＝－1，则|c－a|的最大值为 。

解：设。以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy（图略）。由|a|＝4，|b|＝，a与b的夹角为，可得A（4，0），B（2，2）。设C（x，y），由（c－a）·（c－b）＝－1，可得（x－3）2＋（y－1）2＝1，此方程表示以（3，1）为圆心，1 为半径的圆。|c－a|表示点A与点C的距离，即圆上的点与点A（4，0）的距离。

因为圆心（3，1）到点A（4，0）的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1。

点评

解答这类问题，要熟练掌握与平面向量有关的三角形、平行四边形、圆、直线等平面几何知识。