利用单位圆玩转三角函数性质

王定畅

摘 要：高中数学教学中，三角函数的内容往往是学生难以理解的内容.其实，三角函数相关知识均是借助单位圆完成的，利用直观想象这一基本数学素养，要求学生借助几何图形进行想象，从而感知事物的形态变化.由于在单位圆中研究三角函数，因此人们把三角函数还称为“圆函数”.因此，利用单位圆研究正余弦函数的性质，对于学生更深刻地理解三角函数是非常有帮助的.

关键词：单位圆;直观想象;数形结合;教学反思

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）01-0049-03

5 掌握单位圆的基本要求

5.1 理清三角函数模型

如果要精确定义三角函数，则通常选择一个特定的单位圆点并将其视为必要的定义坐标.通过使用上述定義方法，可以突出三角函数的一般特性，并在此前提下紧密联系余弦和正弦函数.同时，在三角函数和单位圆相互结合的状态下，学生可以快速识别出纵坐标和横坐标之间的特定联系，从而反映出最基本的函数特性.

5.2 简化问题解决流程

如果三角函数线和单位圆实现相交关系，将有助于简化相应的问题解决过程.具体而言，三角函数涉及域和周期特征，如果给出了单位圆对应着的某点坐标，那么将会由此而得出重复性的圆周长度.具体来说，每当角α旋转一定范围时，就会出现一个可重复的圆，直到它回到原来的角度位置为止.

5.3 理解数形结合思想

为了节省学生解决数学问题的时间，如果能引入单位圆作为解题的辅助，就能突显数形结合的价值所在，对于整个解题流程也增强了直观性.由上述研究实例可见三角函数和单位圆的灵活组合有助于突出直观性和生动性，借助图形可以快速实现特定的数学原理推导过程.同时，单位圆本身也具有对称性，实现了导出公式的有序推导，构成了一个有机的整体.

通过三角函数定义的引入，让学生先尝试利用定义来探究三角函数的性质，激发学生的探索欲望，其次通过实例让学生体验通过自身努力去发现新事物的乐趣，同时在探究过程中从形与数两个角度对发现的性质加以研究和证明，加深了学生对三角函数的理解并体会数学探索过程中的严谨性.最后，在已有的研究基础上，引导学生通过类比的方法来研究出余弦函数的性质，并且通过比较正余弦函数的联系，引导学生利用平移由正弦函数的性质得到余弦函数的性质，同时也开拓了学生的视野.虽然这节课从借助单位圆来探究正余弦函数的性质总体上是比较方便的，但是也有一些点对于学生有一定难度，例如在探究正弦函数单调性时区间的选择，此外，如何利用单位圆去发现正余弦函数的其他性质也是值得思考的一个地方.

通过以上分析，我们可以看到三角函数和单位圆之间存在固有的联系.当面对特定的数学问题时，如果高中生可以引入单位圆作为辅助来解决问题，他们可以突出数与形组合的价值，并增强整个问题解决过程的直观性.因此，在解决数学问题的实践中，学生仍然需要不断积累解决问题的经验.必须为不同类型的三角函数选择灵活的解决方案，以简化解决问题的过程.

参考文献：

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[责任编辑：李 璟]