基于磁场解析模型与遗传算法的轴向磁通永磁电机多目标优化设计

佟文明， 马雪健， 位海洋， 吴胜男

(沈阳工业大学 国家稀土永磁电机工程技术研究中心，辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

轴向磁通永磁电机(axial flux permanent magnet motor，AFPMM)具有结构紧凑、效率高、功率密度大等优点，在电动汽车、飞轮储能、航空航天等领域得到广泛关注[1-3]。但与径向电机相比，AFPMM磁路复杂，有限元求解过程通常需要通过三维场来完成，这使得AFPMM的性能分析、优化设计更为困难。

电机的优化设计是一个复杂的非线性问题，其主要优化思路是根据电机参数与性能之间的关系构建模型，然后通过算法寻优实现电机的优化设计[4-5]。有限元方法能够在给定的电机参数下精确计算电机的性能，基于有限元模型结合智能优化算法进行全局寻优，可获得理想的优化结果，但该方法仿真时间过长、计算成本过高。

为了降低计算成本，基于代理模型的优化方法被应用于电机的优化设计中，该方法是针对少数样本数据建立优化变量与优化目标之间的计算模型。文献[6]在确定合理的极弧系数前提下，利用响应面法构建了齿槽转矩与电机参数的函数关系，最后通过遗传算法得到了优化结果。响应面模型的建立相对简单，但处理多目标优化问题时，难以保证模型精度。文献[7]利用支持向量机建立了AFPMM目标函数的数学模型，然后利用混沌文化差分进化算法对电机的转矩密度及转矩脉动进行优化。文献[8]以轴向磁通轮毂电机电磁力波幅值和平均转矩为优化目标，通过反向传播神经网络建立了电机结构参数与优化目标的数学模型，采用多目标遗传算法进行优化。文献[9]利用差分进化算法和Kriging模型提出一种二级代理辅助多目标优化算法，选择电机的8个几何变量作为优化变量，进行敏感度分析，然后通过所提出的算法实现了AFPMM的效率和成本优化。虽然采用代理模型能够减少三维有限元仿真次数，但整个优化过程仍需要较长时间。

为了解决有限元仿真计算耗时长的问题，文献[10]提出了一种“等效磁路模型+算法寻优”的优化方法。该方法通过等效磁路模型获得了定子无磁轭模块化AFPMM的磁场分布，并在此基础上，基于遗传算法综合考虑电机电磁与机械性能约束，建立了以电机转矩密度与效率为目标的优化模型，借助遗传算法工具箱进行优化处理，获取了单目标和多目标优化结果。文献[11]应用等效磁路法提出了定子模块化AFPMM的磁场计算模型，并利用该模型对电机效率进行优化设计，所得结果与有限元法计算结果进行对比，验证了等效磁路法的正确性与优化设计的有效性。相对于有限元，等效磁路计算时间短，但等效磁路模型的构建比较复杂。

为了简化建模过程，避免优化模型过于复杂，文献[12] 基于子域法建立了AFPMM电磁转矩和齿槽转矩的解析模型，并将该模型与径向变极弧系数法相结合，对电机的转矩展开优化。文献[13]针对定子无磁轭模块化AFPMM建立了气隙磁场模型，并利用该模型推导了 Halbach 阵列最优轴向充磁系数的解析表达式，通过计算得到能使电机电磁转矩达到最大时的轴向充磁系数。文献[12-13]所用的优化方法在保证精度的基础上，简化了建模过程，但是该方法难以处理多变量、多目标优化问题。

为解决上述优化方法存在计算耗时长、建模复杂、难以实现多目标优化的问题，本文提出了一种磁场解析模型与遗传算法结合的AFPMM多目标优化设计方法。该方法无需使用有限元仿真，可大量减少计算时间，且能够同时选取多个优化变量对电机进行优化设计。首先，通过子域法建立AFPMM的磁场解析模型，并利用麦克斯韦张量法计算电机的电磁转矩；然后，将解析结果与有限元进行对比，以验证该解析模型的准确性；最后，以电磁转矩平均值和电机有效成本作为优化目标，利用多目标遗传算法进行寻优，以获取电机结构参数的最优组合。通过有限元分析，验证了本文所提出的解析模型结合遗传算法实现AFPMM多目标优化设计的有效性。

1 AFPMM磁场解析模型

本文所研究的AFPMM为双定子单转子结构，图1给出了该电机的结构示意图。为了简化磁场解析计算，假设AFPMM定转子铁心磁导率无穷大，同时忽略电机的端部效应。

图1 AFPMM拓扑结构Fig.1 Topology of the AFPMM

1.1 空载磁场解析模型的建立

将AFPMM在平均半径处沿周向展开，可得到电机的二维等效模型，如图2所示。图中x轴、y轴分别代表AFPMM的周向、轴向方向。为了简化计算，在计算初期忽略了定子开槽的影响。

气隙处(区域1)磁通密度B1与永磁体处(区域2)磁通密度B2可分别表示为：

(1)

式中：H1为气隙处磁场强度；H2为永磁体处磁场强度；Br为剩磁密度；μ0为真空磁导率；μr为永磁体相对磁导率；M为永磁体磁化强度。

永磁体磁化强度函数可表示为

(2)

式中：

(3)

(4)

其中：n为磁场空间谐波次数；αp为永磁体极弧系数；τp为极距。

在永磁体区域和气隙区域，标量磁势φ满足拉普拉斯方程：

(5)

磁场强度可表示为：

(6)

磁场在气隙和永磁体两部分的分布函数为偶函数，因此，拉普拉斯方程的通解形式可表示为：

(7)

(8)

空载磁场解析模型满足下列边界条件[14]：

(9)

根据上述边界条件，可以求得式(7)和式(8)中的待定系数为：

(10)

式中

Δ=μrcosh(unhm/2)sinh[un(L-hm/2)]+

cosh[un(L-hm/2)]sinh(unhm/2)。

(11)

将式(6)、式(7)代入式(1)中，可求得空载气隙磁密为：

sinh[un(L-y)]sin(unx)；

(12)

cosh[un(L-y)]cos(unx)。

(13)

上述推导得到了AFPMM无槽时气隙磁通密度解析表达式。为了考虑定子开槽的影响，本文采用保角映射方法对上述表达式进行修正。保角映射的过程如下：映射过程包含Z、W、T三个复平面，Z、W和W、T复平面之间保角变换[15]可以表示为：

(14)

(15)

式中

(16)

式中：g为气隙长度；b0为定子槽口宽度。

复数形式的气隙相对磁导率可以表示为

(17)

w可通过求解以下方程得到：

(18)

(19)

(20)

式中τs为槽距。

考虑定子开槽，AFPMM空载气隙磁通密度为：

(21)

1.2 电枢反应磁场解析模型的建立

在计算AFPMM电枢反应磁场时，将电枢绕组等效为槽口处的等效电流片，图3给出了AFPMM电枢反应磁场二维等效模型。

定子三相绕组合成电流片线电流密度[16-17]的表达式为

(22)

式中：

(23)

v=3c1-k。

(24)

槽开口系数可表示为

(25)

绕组系数可表示为

(26)

式中N的计算方法为

(27)

式中：k为时间谐波次数；f为频率；p为极对数；Rs为定子铁心平均半径；Nph为每相串联匝数；Ik为各次谐波电流幅值；αe为槽距电角；m为电机相数；q为每极每相槽数；Q为定子槽数；c、d为互质整数；c1=0，±1，±2，±3，…。

在气隙区域矢量磁位Az满足拉普拉斯方程：

(28)

磁通密度可以表示为：

(29)

矢量磁位Az通解为

cos(2kπft+vpx/Rs)。

(30)

电枢磁场解析模型满足下列边界条件：

(31)

根据上述边界条件，可以求得

(32)

根据上述推导可以得出电枢反应磁场单独作用时，气隙磁密为：

(33)

(34)

AFPMM的电磁转矩可以采用麦克斯韦张量法计算，具体可以表示为

(35)

式中Ri、Ro分别为定子铁心内外半径值。

2 有限元验证

为了验证解析模型正确性，建立了AFPMM有限元模型，电机的主要参数如表1所示。

表1 AFPMM的主要参数

利用有限元软件分别计算了电机在理想空载和电枢磁场作用时的气隙磁密，并与解析计算结果进行对比，如图4、图5所示。根据对比结果可以看出，解析计算结果与有限元计算结果吻合较好，证明了该磁场解析模型的正确性。

图4 空载磁场气隙磁密分布Fig.4 Air gap flux density distribution of no-load magnetic field

图5 电枢反应磁场气隙磁密分布Fig.5 Air gap flux density distribution of armature reaction magnetic field

电磁转矩有限元计算结果和解析计算结果如图6所示，通过有限元和解析计算出的电磁转矩平均值基本一致，但电磁转矩脉动存在差异，这主要是利用保角映射考虑开槽引起。

图6 AFPMM电磁转矩波形Fig.6 Electromagnetic torque waveform of the AFPMM

3 基于解析模型的多目标优化

在AFPMM的优化设计中，转矩、效率、成本、体积、重量等均可作为电机的优化目标，本文选取AFPMM的电磁转矩平均值Tave和有效成本Cost为优化目标，优化目标可定义为

(36)

AFPMM有效成本可以表示为

Cost=CfeWfe+CpmWpm+CcuWcu。

(37)

式中：Cfe、Cpm、Ccu分别为非晶合金、永磁体、铜线的价格，可按25元/kg、350元/kg、70元/kg计算；Wfe、Wpm、Wcu分别为非晶合金、永磁体、铜线的重量。

为了获得更优的电磁转矩与有效成本的设计方案，利用MATLAB仿真软件中的遗传算法工具箱进行全局寻优，电机的优化流程如图7所示。

图7 优化设计流程图Fig.7 Flow chart of optimization design

在优化过程中，优化变量应选取与优化目标直接相关的电机结构参数。本文选取永磁体极弧系数αp、气隙长度g、永磁体厚度hm、内外径比值kd、定子外径Do为优化变量，其取值范围如表2所示。

表2 优化变量及其取值范围

在电机设计过程中，通常将定子铁心磁密设计在定子铁心材料BH曲线“膝点”附近，本文所述的AFPMM定子铁心采用非晶合金材料，其BH曲线“膝点”位置磁密为1.3 T。定子铁心中磁密可表示为

(38)

约束条件可表示为

Bt≤1.3。

(39)

式中：KFe为铁心叠压(卷绕)系数；τt为齿距。

4 优化结果及有限元验证

本文利用多目标遗传算法进行寻优，以获取优化结果。通过多目标遗传算法得到的Pareto曲线如图8所示。

图8 多目标优化结果Fig.8 Multi-objective optimization result

选择Pareto解集中“Δ”作为最终解，因为该点能够有效地在转矩增大的同时降低成本。通过有限元对优化前后的电磁转矩进行对比，如图9所示。表3为多目标优化结果与原始设计对比，可以看出，优化结果与有限元计算结果非常接近。优化后，电磁转矩平均值由17.71 N·m增加到19.82 N·m，增加了11.91%，AFPMM有效成本由622元减少到561元，减少了9.81%。

图9 优化前后电磁转矩对比Fig.9 Electromagnetic torque contrast before and after optimization

表3 多目标优化结果与原始设计结果对比

5 结 论

本文利用子域法建立了7 kW非晶合金AFPMM磁场解析模型，然后借助麦克斯韦张量法计算了电机的电磁转矩，并利用有限元仿真验证了模型的准确性。借助上述模型，本文以AFPMM的电磁转矩平均值与有效成本为优化目标，利用遗传算法进行寻优，优化后AFPMM电磁转矩平均值增加了11.91%，有效成本降低了9.81%。优化结果表明，利用磁场解析模型结合遗传算法可以在给定的约束条件下快速、有效地实现AFPMM的优化设计。