初中代数推理及其教学要义

黄秀旺 薛莺

[编者按]强调代数推理是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的重要变化之一。本刊第11 期刊登的《乌议初中代数推理教学》一文，比较透彻地分析了代数是一门怎样的学科，由代数学科知识体系的形成及运用过程给出了代数推理的含义和教学建议，并且辩证地认识了代数推理的重要性和局限性。本期《专题研究》栏目，集中刊登一组关于初中代数推理及其教学的文章，重点从推理要素的层面给出初中代数推理的教学要义，并且针对初中代数推理的一种重要分类（运算推理、命题推理）展开具体的教学研究，在教学实践的基础上进一步阐述初中代数推理的教学价值。

摘要：代数推理是指从一定的条件出发，依据代数定义、代数公式、运算法则、运算律、等式的性质、不等式的性质等，得到具体的数和代数式结构、数量上的相等关系和不等关系等。代数推理可以大致分为运算推理和命题推理。代数推理的教学要义有：恢复省略了的和压缩掉的推理过程，让推理“看得见”;融合合情推理与演绎推理，让推理形成“闭环”开发证明（说明）类问题，弥补推理资源的不足;开设强化推理技能的专题课，弥补推理训练的不足。

关键词：初中数学：代数推理：运算推理;命题推理

推理是数学学科的重要特征，推理能力一直是数学教学要培养的重要能力。但是在日常教学中，很多教师重视在几何教学中发展学生的推理能力，而忽视在代数教学中发展学生的推理能力。究其原因，代数的主要内容是数与式的运算，其程序化操作的特征让很多教师误以为其中没有推理②。当然，运算本质上是推理，但很多教师在教学中常常强调“算法”，而忽视“算理”。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“课程内容”初中部分的数与代数领域增加了“了解代数推理”的要求①，并且在附录1中通过例66说明“初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容”②。因此，有必要进一步认识代数推理，并且思考如何展开（或者加强）代数推理的教学。

一、代数推理的含义

（一）推理的含义

推理，逻辑学指思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程。③新课标指出：“推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。”④由此可知：推理主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论。

（二）代数推理的含义

张景中院士引用国外文献指出：代数推理是“对常数以及变化的未知量进行的定量推理”，而“定量推理可被看成是对一个情境中确定的量或者未知量进行的心理操作，其目的是为了创建新的量以及构建各个量之间的关系”。⑤谢春艳根据已有研究指出：代数推理常与代数思维紧密联系，据此，代数推理可定义为解决代数问题的一种推理，即人们在代数观念系统作用下，能由若干数学条件，结合一定的数学知识、方法，按照某些规定的法则，寻求某些数学或现实的问题情境的模式，推断某一数学对象的关系或結构的思维操作过程。⑥

新课标没有解释代数推理的含义，但是根据其中“在数与代数领域也有推理或证明的内容”的说明，我们可以分析数与代数内容的特征，明确其中推理的前提与结论的特征，从而给出代数推理的定义：从一定的条件出发，依据代数定义、代数公式、运算法则、运算律、等式的性质、不等式的性质等，得到具体数和代数式结构、数量上的相等关系和不等关系等。显然，代数推理作为一种手段，其目标可以是求得（发现）未知结果或结论，也可以是证明（确定）已知结果或结论。

二、代数推理的分类

（一）推理的分类

一般地，推理可分为合情推理和演绎推理，合情推理可分为归纳推理和类比推理。值得一提的是，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对推理作出了这样的分类，并具体地解释了归纳推理、类比推理和演绎推理的含义、作用以及关系，但是新课标没有对推理作出分类。对此，课标修订组核心成员孙晓天教授这样阐述：“2022年版课标没有刻意区分演绎推理和合情推理，而是注重平衡推理反映的开放、灵活与自信、专注之间的关系，并且在事实上给出了一个使两者相互协调、成为一体的标准—‘思考现实世界。”⑦这就要求我们更多关注推理的普遍意义，灵活乃至综合使用各种推理建构知识、解决问题。

（二）代数推理的分类

根据是对数与式的运算，还是对数量关系的变形等，我们可以把代数推理大致分为运算推理和命题推理。

运算本质上就是推理。运算推理主要是从已知的数或式出发，依据运算法则和运算律，形成运算过程，获得运算结果的推理，是一种演绎推理。进行运算推理，也就是在运算的过程中讲清算理—当然，熟练之后，可以不详细地讲算理，而直接依据算法操作，以提高效率，但是，要知道算理，即计算的依据是什么。

例如，计算123x12时，可以这样讲算理：123x12＝（100＋20＋3）x（10＋2）＝100 x10+100x2+20x10+20x2+3x10+3 x2=1000+200+200+40+30+6=1476。也就是，根据十进位值制记数法，将123和12分别按数位（实际上是按计数单位“一”“十”“百”等）分解；根据乘法分配律，将式子展开成若干个计数单位相乘后相加的形式；根据“个数和个数相乘得到结果的个数，计数单位和计数单位相乘得到结果的计数单位”和“相同计数单位的个数相加”的原理，求得最后的结果。

再如，计算（苏科版初中数学七年级上册“2.8 有理数的混合运算”的例3）时，可以这样讲算理：

（两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘）

（除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数）

（两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘）

（两数相乘，同号得正，并把绝对值9相乘）。

命题推理是指从若干代数命题（主要是假设的、运算带来的或现实事物的属性中蕴含的数量关系）出发，依据规则推出新的代数命题的推理，它包括归纳推理、类比推理和演绎推理。

归纳推理如从“”的计算中，发现幂的乘方的运算性质（规律）—（a＂）＂＝a”＂（m、n是正整数）。

类比推理如根据方程与不等式的相似性（都是数量关系，分别刻画相等关系和不等关系），类比解一元一次方程的依据（等式的性质）、步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）和结果形式（x＝a），得到解一元一次不等式的依据（不等式的性质）、步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）和结果形式（x＞a、x＜a、x≥a或x≤a）。

演绎推理如因为一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）在判别式b2—4ac＞0时有两个不相等的实数根（大前提），又因为方程x＋5x—8＝0的判别式52—4x1x（—8）＞0（小前提），所以方程x＋5x—8＝0有两个不相等的实数根（结论）。

三、代数推理的教学要义

（一）恢复省略了的和压缩掉的推理过程，让推理“看得见”

在图形与几何领域的教学中，无论是获得待求结论，还是证明给定结论，都常用“因为……所以……”这样的推理形式来表达。而数与代数领域的教学，留给学生印象最深的恐怕是“……＝？”这样的计算形式，即需要获得一个“结果”。因此，学生在解诸如2x—5＝7的方程时，常出现诸如2x＝5＋7＝12＝12÷2＝6的错误。对此，在数与代数领域的教学中，教师要尽可能把省略了的和压缩掉的推理过程恢复，让学生像在几何学习中一样“看见”推理过程。

例如，苏科版初中数学七年级上册“2.6有理数的乘法与除法”的例2及其解答过程如下：

计算：

解：

这里没有出现“因为……所以……”的推理形式，也没有写出每一步计算的依据。事实上，以上计算包含如下推理：（1）因为有理数加乘运算律的分配律为a（b＋c）＝ab＋ac，所以（1／2＋5／6—／2）x（—36）＝1／2x（-36）+ 5／5x（—36）＋（—1／2）x（—36）。（2）因为“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”，所以1／2x（—36）＝—18，5／6x（—36）＝—30，（—／12）x（—36）＝21。（3）因为“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”，所以—18—30＝—48。（4）因为“异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”，所以—48＋21＝—27。因此，在教学中，教师可以引导学生分析得出上述推理过程，并且给每一步计算添加依据，从而让学生充分感受代数推理，明晰算理。

在学生学习有关运算法则与规律的初期，尤其应该这么做。实际上，有些学生不会计算（计算出错）的主要原因正是不理解（忽视了）运算法则与规律。

再如，苏科版初中数学七年级下册“9.4乘法公式”的例3第（1）小题及其解答过程如下：

用平方差公式计算：（5x＋y）（5x—y）。

解：（5x＋y）（5x-y）

=（5x）2-y =25x2-y2。

对于这一计算过程，有些教师和学生认为是“套用公式”。实际上，这一计算过程也是代数推理：因为平方差公式为（a＋b）（a—b）＝a-b，所以，将a＝5x，b＝y代入，有 （5x+y）（5x-y）=（5x）2-y=25x2-y。

（二）融合合情推理与演绎推理，让推理形成“闭环”

G.波利亚指出：“数学有两个侧面。一方面，是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学。但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门试验性的归纳科学。”①实际上，在数学问题解决（知识建构）的过程中，合情推理和演绎推理的作用不同，相辅相成：前者用于探索思路，发现结论；后者用于证明结论。因此，在数与代数领域的教学中，教师应该尽可能让学生经历发现结论、证明结论的全过程，通過观察、实验、比较、概括、猜想、验证、分析、论证等活动，融合合情推理和演绎推理，形成推理“闭环”。

新课标附录1的例66（2）“研究两位数a5平方的规律”，便引导学生先用归纳的方法猜想结论，再用演绎的方法证明结论。①

这样的例子在教材中也有。例如，苏科版初中数学七年级下册第9章《整式乘法与因式分解》的复习题第9题：

观察下列式子：

2x4+1=9， 4x6+1=25， 6x8+1=49， ......

探究以上式子的规律，并写出第n个等式，说明第n个等式成立。

当然，在学习的过程中，学生有时会受现有知识的制约，暂时不能证明结论。例如，学习一些基本的运算法则和运算律时，学生因为没有学习基于皮亚诺公理体系的数和运算的定义，所以很难严格证明结论（但是可以感受演绎推理思想②）。再如，对于苏科版初中数学七年级上册第3章《代数式》的《阅读》板块提出的问题“1＋3＋5＋7＋···＋（2n—1）的和是多少？”，学生因为没有学习过数学归纳法以及数列的有关知识和方法，所以很难证明结论。对此，教师可以在学生用取特殊值计算后归纳的方法猜想结论之后，追问“你的猜想正确吗？”，从而引导学生认识到猜想的结论还需要进一步证实：不仅需要再归纳验证，而且需要演绎论证。

（三）开发证明（说明）类问题，弥补推理资源的不足

相比于图形与几何领域，数与代数领域很少出现证明（说明）类例题及习题，更多是求解类例题及习题。虽然求解类问题的解决包含代数推理，但是，从问题的呈现形式上看，并没有引起学生对代数推理的直接反应。对此，我们可以不失时机地开发证明（说明）类问题，充实到日常教学中，以弥补推理资源的不足。

例如，教学“等式的性质”时，编制问题：1．已知a＝b，请用等式的性质说明：2a+1_2b+1

2．已知2x—3y＝6，请用含x的代数式表示y，并说明为什么。

3．如图1，“”“”“”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数为多少？为什么？

再如，教学“不等式的性质”时，编制问题：

1．请用不等式的性质说明a＋3＞a＋1。

2．已知a＜b，请用不等式的性质说明-4a-3>-4b-3。

3．已知a＞1，请用不等式的性质说明a+1

（四）开设强化推理技能的专题课，弥补推理训练的不足

推理能力的发展应该贯穿于整个数学学习过程中。一般来说，代数问题解决（知识建构）的过程，包括表征（运用符号建立模型）、一般化（归纳概括代数规律）、运算（按照运算法则和运算律进行程序性操作）、变形（按照等式和不等式的性质进行程序性操作）等环节。①在这些环节中，都要渗透推理论证的思想，落实推理论证的训练。因此，教师可以针对表征、一般化、运算、变形等环节，开设强化推理技能的专题课，弥补推理训练的不足。

比如，教学七年级的“代数式”时，可以将八年级、九年级涉及“代数式表征”环节的教学素材加以改造，提前渗透，要求学生说明表征的道理，从而加强推理技能的训练。如苏科版初中数学九年级上册“1.1 一元二次方程”中有两个用于引入的情境：

1．如图2，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24㎡。设花圃的宽是xm，花圃的长是（19—2x）m，可以用方程x（19—2x）＝24来描述该花圃的宽与面积之间的数量关系。

2．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册。设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5（1＋x）2萬册，可以用方程5（1＋x）2＝9.8来描述该图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间的数量关系。

教师可以将这两个情境改编成要求学生进行代数式表征的问题：

1．如图2，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏总长度是19m，花圃的宽是xm，那么花圃的长是m，花圃的面积是㎡。

2．某校图书馆今年藏书5万册，预计图书馆的藏书平均每年增长的百分率为x，那么明年图书馆的藏书为＿万册，后年图书馆的藏书为＿万册。

再如，可以在七年期上学期开设“找规律”的专题课，让学生将具体的代数例子一般化，并用符号表示一般化的代数规律，从而加强推理技能的训练。而这节专题课使用的素材可以广泛选取，如选取上述苏科版初中数学七年级下册第9章《整式乘法与因式分解》的复习题第9题—只让学生“探索以上式子的规律，并写出第n个等式”。