对于一类矩阵方程组对称解的探索与实践

吕睿星,孙王杰,马 俊

(吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022)

约束矩阵方程组的求解问题在振动理论、结构设计、系统辨识、数学控制理论、振动理论、地质学等诸多应用科学领域中有重要的地位,是数值代数领域的重要部分,目前为止,也取得了丰硕的研究成果.彭亚新用迭代法系统研究了一系列矩阵方程及方程组的多种约束解,包括对称解及其最佳逼近等问题[1]；吴忠怀和彭亚新研究了矩阵方程组A1XB1=C1,A2XB2=C2的迭代算法[2]；陈世军和张凯院研究了A1XB1+C1XD1=F1,A2XB2+C2XD2=F2对称解的迭代算法[3]；周昱洁用多步迭代算法研究了几类矩阵方程的一般解、对称解及反对称解问题[4].约束矩阵方程组的应用范围十分广泛,在有限元、时间序列分析、信号处理、粒子物理学等诸多方面都具有很强的应用背景[5-13].

本文主要研究矩阵方程组在不同维子空间上求解相容矩阵方程组M1Y1N1+M2Y2N2=P1,

M3Y1N3+M4Y2N4=P2的对称解的迭代方法.具体研究问题如下：

问题1给定M1,M3∈Rp×n1；M2,M4∈Rp×n2；N1,N3∈Rn1×q；N2,N4∈Rn21×q；Pi∈Rp×q,

(i=1,2),求[Y1,Y2],(其中Yi∈Si,i=1,2),使得：

其中Si分别取对称矩阵集合SRni×ni.

1 解决问题的迭代算法

算法1

(2)计算：

(4)计算：

引理2算法1中矩阵列{Ri},{Qi,r},(Ri≠0,i=0,1,2,…k,r=1,2),满足〈Ri,Rj〉=0,

〈Qi,1,Qj,1〉+〈Qi,2,Qj,2〉=0,(i,j=0,1,2,…k,i≠j).

证明(用数学归纳法)当k=1时,

进一步,由Qk,i(i=1,2)的对称性及引理1得：

〈Q0,1,Q1,1〉+〈Q0,2,Q1,2〉=

假设当k≤s时,结论成立,那么,当k=s+1时,

进一步,由Qk,i(i=1,2)的对称性及引理1得：

〈Qs,1,Qs+1,1〉+〈Qs,2,Qs+1,2〉=

对于j=1,2,…,s-1,

进一步,由Qk,i(i=1,2)的对称性及引理1得：

由数学归纳法知,引理2成立.

证明如果Ri≠0,(i=0,1,2,…pq-1),那么,根据引理3得,‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0,

定理2问题1相容的充分必要条件是算法1在迭代过程中存在一个非负整数k,使Rk=0或

‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0.

证明充分性.如果存在一个非负整数k,使Rk=0,那么问题1显然是相容的.如果‖Qi,1‖2

+‖Qi,2‖2≠0,那么根据定理1的证明过程,至多经过pq步迭代得到问题1的一个对称解组,故问题1也是相容的.

必要性.如果问题1是相容的,则算法1在迭代过程中存在一个非负整数k,使Rk=0或

‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0.事实上,如果Rk=0,‖Qi,1‖2+‖Qi,2‖2≠0,这与引理3矛盾.

2 结 论

对于一类新的矩阵方程组M1Y1N1+M2Y2N2=P1,M3Y1N3+M4Y2N4=P2,提出了一种新的求其对称解的迭代算法,使用该算法能够自动判断不同维子空间上对称解的情况.当矩阵方程组相容时,能够得到矩阵方程组的对称解.