弹性支撑模型对火箭发射过程结构振动响应影响研究

2022-02-22赵振军臧雨晴史晓军

振动与冲击 2022年3期

赵振军，臧雨晴，李强，史晓军

(1.北方工业大学机械与材料工程学院，北京 100144; 2.中国空气动力研究与发展中心高速空气动力研究所，四川绵阳 621000)

冷弹射固体火箭由装在发射筒底部的燃气动力装置产生高温高压气体，将火箭弹射出筒。为了防止固体火箭与发射筒内壁接触引起较大冲击，在火箭与发射筒内壁之间安装弹性支撑，起到缓冲减振作用[1]。火箭在发射出筒过程中，与弹性支撑产生复杂的相互作用，同时受到发射筒外复杂流体作用[2]，引起横向振动响应[3]。

国内外学者对火箭发射动力学问题开展了研究。Laughlin等[4]介绍了火箭发射装置的组成、特点和设计参数。赵世平等[5]、李代金等[6]分别基于导弹发射动力学方程研究了艇速、弹性支撑刚度对水下垂直发射导弹在横向流作用下的受力和出筒运动参数的影响。尚书聪等[7]基于建立的潜射导弹发射动力学模型，比较了不同艇速不同弹性支撑方式导弹出筒动力学特性。孙船斌等[8]建立了导弹在出筒过程的动力学模型，考虑了导弹在发射平台坐标系下的横向振动，研究了弹性支撑刚度、轴向尺寸和筒内分布对导弹整体横向振动特性、截面受力以及出筒姿态的影响。Liu等[9]建立了弹性支撑作用下地空导弹发射动力学模型，研究了弹性支撑分布对导弹俯仰角速度的影响。卢丙举等[10-11]基于建立的潜空导弹水下垂直发射横向动力学模型和出筒过程载荷计算方法，研究了潜空导弹垂直发射出筒过程中，航速、弹性支撑刚度等发射条件对弹性支撑的受载情况及压缩量、出筒姿态的影响。

以上研究主要关注弹性支撑对飞行器发射过程中刚体运动的影响，不考虑箭体弹性响应对水下发射动力学的影响。Cochran等[12-13]建立了导弹发射系统动力学模型，利用模态和有限元描述结构变形，并开发了导弹发射系统动力学程序，通过刚柔耦合系统仿真研究了结构变形对导弹发射系统的动力学的影响。赵振军等[14]利用Lagrange方程推导了水下运载器发射动力学方程，研究了弹性垫数量、刚度、位置等参数对运载器弹性振动的影响。王亮等[15]基于刚体动力学方程与模态坐标描述的振动方程建立了导弹倾斜发射动力学模型，研究了导弹质量特性参数和发射角度对动力学和弹性响应的影响。

多体系统动力学能够方便的描述刚体构件和弹性构件之间的约束、接触等复杂关系，为发射系统动力学建模仿真提供了强有力的工具。魏洪亮等[16]利用ADAMS软件建立考虑水下航行体的弹性特性以及航行体与发射筒之间接触、摩擦作用的刚柔耦合模型，实现了航行体水下垂直发射动力学仿真分析研究了航行体姿态和结构内力变化规律。Wang等[17]利用多体系统动力学方法，建立了车载导弹系统的多刚柔体发射动力学模型，研究了车载导弹系统的动力学特性。马彦会等[18]采用非线性弹簧阻尼器来模拟弹性支撑，基于清华大学多体动力学求解器建立了细长结构与弹性支撑多体动力学模型，用于基础冲击引起的结构响应分析。上述工作为本文建模方法研究提供重要参考。

本文利用多体动力学建立包含火箭、发射筒、弹性支撑在内的发射动力学模型，通过发射过程中弹性支撑与火箭结构的相互作用过程分析，对弹性支撑模型进行修改完善，力图反映弹性支撑与火箭结构的相互作用机制，将修改后的弹性支撑模型引入到发射系统多体动力学模型中，通过求解不同弹性支撑模型情况下火箭发射过程结构振动响应，分析弹性支撑模型细化的合理性，实现火箭发射过程结构响应的准确评估，为火箭结构设计提供技术支撑。

1 发射过程中弹性支撑与火箭结构的相互作用

考虑如图1所示火箭发射情况，火箭在出筒过程中与各道弹性支撑的接触关系不断发生变化，约束关系不断发生变化。T1时刻，火箭为待发射状态，由于锥形整流罩直径相对较小，火箭与第4～第8道弹性支撑接触，与第1～第3道弹性支撑不接触。T2时刻，第8道弹性支撑有一半与火箭接触，因此第8道弹性支撑的支撑刚度与初始状态相比会减小，锥柱连接面处与第3道弹性支撑接触，此后第3道弹性支撑的支撑刚度会逐渐增加。T3时刻，火箭尾部与第8道弹性支撑脱离，然后逐道脱离第2～第7道弹性支撑，会激起火箭的弹性振动响应。T4时刻，火箭尾部只与第1道弹性支撑支撑，此后支撑刚度逐渐减小至T5时刻，尾部与第1道弹性支撑完全脱离，弹性支撑支反力为零，火箭结构弹性振动振幅增大。

图1 出筒特征状态火箭与各道弹性支撑的接触关系

可见，准确描述出筒过程火箭与各道弹性支撑的接触关系，是准确计算火箭动响应的前提。

2 弹性支撑作用下火箭发射多体动力学建模

2.1 建模思路

火箭发射系统主要包括火箭结构、发射筒、弹性支撑、燃气动力装置。基于多体动力学方法，对火箭发射系统进行力学建模，如图2所示，主要简化处理如下：

(1) 火箭结构为细长分支结构，由主结构与内分支结构组成，主结构如图2火箭结构模型中黑色矩形所示，主要描述整流罩和发动机等与外界流体接触的结构，内分支如图2火箭结构模型中虚线矩形所示，主要描述整流罩内部的载荷结构，采用有限段法将火箭主结构和内分支结构处理为由有限段梁单元连接的多刚体系统[19]，描述火箭结构的运动和变形，在主结构和内分支结构连接处刚度变化较大，利用Hooke绞和扭簧建模。

图2 火箭发射系统多体动力学模型

(2) 发射筒与弹性支撑相比刚度较高，忽略发射筒的变形，简化为刚体。

(3) 弹性支撑简化成非线性弹簧元件，一端与发射筒刚体模型固定连接，另一端与火箭多刚体-梁模型存在接触关系。

(4) 燃气动力装置产生的燃气作用简化成底部速度约束。

(5) 发射过程中受到的环境外力简化为沿弹长方向的时变分布力。

2.2 火箭结构建模

根据火箭结构的尺寸变化和各段之间的连接关系将其离散成多个刚体，刚体的位置和姿态可以通过其质心的平动坐标ri和Euler四元数λi来表示

(1)

Euler四元数不独立，满足归一化约束条件

(2)

火箭结构模型离散的刚体由有限段梁[20]连接，如图3所示，Ci和Cj是两个相邻刚体的质心，也是有限段梁单元的结点，sij是从Oj到Oi的矢量，Oifigihi和Ojfjgjhj是固连在刚体i和刚体j上的局部坐标系。根据Timoshenko梁理论，广义线性弹簧力Fb,i和力矩τb,i与两个刚体相对位移之间的关系如下

图3 有限段梁示意图

(3)

式中:Δr和Δθ分别为Oifigihi相对于Ojfjgjhj的平动位移和转动位移；刚度矩阵K可以定义为

(4)

利用Euler 四元数变分与虚转动的关系[21]

δθ=2Giδλi-2Gjδλj

(5)

这里

(6)

Gj形式与Gi相同。根据虚功原理，可推导有限段梁对应的广义力

Fb,j=-Fb,i

(7)

在结构刚度变化较大的连接面，相邻两刚体通过Hooke绞约束连接，如图4所示，释放的两个转动自由度通过扭簧模型提供抗弯刚度。

(8)

式中：si、sj分别为从两体质心到Hooke绞约束点H的矢量；fi为与刚体i固连坐标系Oifigihi的fi轴单位矢量；gj为与刚体j固连坐标系Ojfjgjhj的gj轴单位矢量，如图4所示。

图4 Hooke绞示意图

所有约束方程可以用统一的形式表示

Φk(r1,λ1,r2,λ2,…,rnb,λnb,t)=0

(9)

式中：nb为系统刚体单元数，下标b为刚体；k=1,…,nc，nc为约束方程数，下标c为约束。扭簧对应的广义力为

(10)

2.3 弹性支撑模型

弹性支撑沿发射筒内壁周向连续分布，为方便建模，将各道弹性支撑简化为4个象限上的非线性弹簧元件。如图5所示，在OXY平面，考虑第i个刚体与第j道弹性支撑相互作用，作用点为P，弹性支撑力Fe,Yj与P点的压缩量有关，如第i个刚体绕Z轴转角为θi，质心Ci的Y向位移为yi，可推导P点的压缩量为

δi=yi+si·fisinθi+R(1-cosθi)

(11)

式中：si为Ci点到P点的矢量;R为火箭半径。

弹性支撑支反力Fe,Yj与压缩量δi关系由实际测试得到，呈非线性特征，如图6所示。同时考虑弹性支撑与结构之间的接触关系，即当弹性支撑与火箭结构外表面接触受压时产生支反力Fe,Yj与摩擦力Fe,Xj

图6 弹性支撑刚度曲线

Fe,Xj=μFe,Yj

(12)

(13)

式中:rP、rBi、rDi分别为P、Bi、Di在全局坐标系下的矢量;i为全局坐标系X向单位矢量。

根据虚功原理可以得到第j道弹性支撑作用于第i个刚体上的广义力分别为

(14)

2.4 环境外力输入

火箭发射时根据不同的发射环境受到环境外力作用，车载火箭、舰载火箭、艇载火箭由于风速、流速以及发射平台自身移动速度等因素影响会产生流体作用力，本文利用工程中常用的切片法进行描述，火箭受到的流体动力简化为沿火箭轴线分布的法向力和轴向力

(15)

(16)

环境外力对应的广义力为

(17)

2.5 系统的控制方程

利用第一类Lagrange方程[22]，系统动力学方程可以写成

(18)

这里

(10)

式中：mi为第i个刚体的质量矩阵；Ii为第i个刚体的惯性矩阵；T为多体系统动能，T,λi为动能对第i个刚体四元数的Jacobian矩阵；Φk,xi和Φk,λi分别为约束方程对第i个刚体的平动和四元数坐标的Jacobian矩阵；Fi为作用于第i个刚体的质心的主矢；τi为作用于第i个刚体的主矩；nb为刚体数，有限段梁的惯性由刚体的质量阵mi和转动惯量矩阵Ii提供。每个刚体的动力学方程通过Lagrange乘子σk和约束方程的Jacobian矩阵Φk,qi联系在一起。

Fi=Fg,i+Fb,i+Fe,i+Ff,i

(19)

τi=τb,i+τe,i+τf,i+τs,i

(20)

式中，Fg,i为重力矢量。

方程组是一个典型的微分代数方程组，可用隐式向后差分法进行求解[23]。

3 弹性支撑模型修正

为了研究火箭壳体与弹性支撑接触面积变化对支撑刚度影响，利用ANSYS/LS-DYNA软件建立火箭壳体与弹性支撑局部有限元模型，如图7所示，弹性支撑利用实体单元建模，火箭壳体采用壳单元建模，分别给定不同的接触面积，弹性支撑外侧施加固支边界条件，弹性支承内侧与壳体设置面-面接触，壳体施加X向和Z向平动约束，以保证单向加载，施加Y向力从0增加到130 kN，如图8所示。

图7 火箭壳体与弹性支撑有限元模型

图8 火箭壳体与弹性支撑边界条件

壳体材料按铝材料特性给出，弹性支承按橡胶材料特性给出，采用Mooney-Revlin非线弹性本构模型[24]，其中材料参数C01、C10由图6材料曲线拟合[25]得到C01=340.5 kPa、C10=-110.9 kPa。通过有限元计算，获得不同的接触面积情况下弹性支撑受正压处变形量与加载外力之间的关系，见图9，在此基础上，通过线性拟合，可以辨识不同接触面积情况下弹性支撑刚度变化，见图10实线。弹性支撑利用线弹性材料本构模型描述，重复上述步骤，同样可以得到不同的接触面积情况下弹性支撑刚度变化，见图10短划线虚线，与采用Mooney-Revlin模型得到的规律基本一致，接触面积小于总面积的75%时，采用Mooney-Revlin模型时接触面积变化对弹性支撑刚度影响更大一些，而接触面积大于总面积的75%时，采用线弹性模型时接触面积变化对弹性支撑刚度影响更大一些。

图9 不同接触面积弹性支撑变形量与加载力之间的关系

(21)

式中:we为弹性支撑宽度;fs为由图10数据构建的插值函数，可根据接触面积比例，确定弹性支撑刚度，式中6种情况分别表示第i个刚体与第j道弹性支撑之间不同的相对位置关系，如图11所示。

图11 式(21)对应的6种情况

4 结果分析与讨论

利用附录A中给出的质量和结构参数，建立火箭、弹性支撑组成的发射系统多体动力学模型，在此基础上，对火箭发射过程开展仿真分析，见图12，获得了特征面弯矩响应如图13和14所示。主结构特征截面弯矩在0.95 s以前，起作用的弹性支撑较多，振动响应相对较小，0.95 s后，只有4道弹性支撑起作用，如图12所示，振动响应则变大，内分支结构也是如此。在1.175 s，火箭底部通过发射筒口，主结构还受到流体外力作用，在流体外力与弹体变形共同作用下产生弯矩响应。而内分支不受到流体外力作用，由弹体变形引起的主结构与内分支连接面基础激励产生弯矩响应。与弹性支撑模型改进前相比，改进后，结构弯矩响应变小，主结构截面弯矩峰值减小45%左右，内分支截面弯矩峰值减小40%以上，见表1、图13和图14，而基于线弹性和非线弹性材料进行改进，计算的弯矩响应相差不大，可见利用线弹性材料获得的规律也可满足弹性支撑与接触面积影响分析要求。

图12 火箭发射过程多体动力学仿真(0.95 s)

表1 弹性支撑模型改进前后的主特征截面弯矩变化

图13 弹性支撑模型改进前后的主结构特征截面弯矩

图14 弹性支撑模型改进前后的内分支特征截面弯矩

图15给出了火箭发射过程中弹性支撑支反力的时间历程，火箭出筒过程中，尾部逐渐与弹性支撑脱离，各道弹性支撑支反力变为零，支反力的突变是激起火箭结构振动响应的重要因素，本文的主要目的是通过改进弹性支撑模型准确描述支反力的突变，进而准确计算火箭结构振动响应。图16给出了弹性支撑模型改进前后第3道、第5道弹性支撑支反力的变化对比，可见:改进前，弹性支撑支反力在某一时刻直接为零;而改进后，弹性支撑支反力逐渐变为零，体现了火箭尾部结构脱离弹性支撑过程中接触面积逐渐变化到零的物理过程。

图15 弹性支撑模型改进前弹性支撑支反力时间历程

图16 弹性支撑模型改进前后弹性支撑支反力时间历程

从傅里叶谱来看，如图17所示，弹性支撑模型改进前后的支反力频谱特性存在不同，在小于1.3 Hz内改进后支反力傅里叶谱幅值高于改进前，在大于1.3 Hz内改进后支反力傅里叶谱幅值低于改进前，弹性支撑模型改进后支反力低频成分相对增加，高频成分相对减小。

图17 弹性支撑模型改进前后弹性支撑支反力傅里叶谱

上述分析主要从弹性支撑的角度来分析每道弹性支撑的支反力，而从火箭结构角度来看，以尾部刚体以及与尾部相邻刚体为例，图18和图19给出了尾部刚体以及与尾部相邻刚体受到的支反力时间历程。图18给出结果是弹性支撑模型改进前，可见，随着火箭运动，尾部刚体上受到的支反力由于接触关系变化直接过渡到相邻刚体单元上。图19给出结果是弹性支撑模型改进后情况，随着火箭运动，尾部刚体上受到的支反力并未直接过渡到相邻刚体单元上，而是存在尾部刚体支反力逐渐减小，相邻刚体支反力逐渐增加，最终过渡到相邻刚体上的过程。图18和图19反映的支反力特性差异也是图13和图14中弹性支撑模型改进前后弯矩响应存在差异的原因。

图18 弹性支撑模型改进前作用在火箭底端结构的弹性支撑支反力时间历程

图19 弹性支撑模型改进后作用在火箭底端结构的弹性支撑支反力时间历程

通过增加火箭分段刚体数量，考察火箭动力学模型对上述弹性支撑模型改进对载荷影响规律的适应性，增加火箭分段刚体数量前后火箭模型一阶振型和二阶振型如图20和图21所示。对比弹性支撑模型改进前后结构弯矩响应峰值减小量，如图22和图23所示，主结构特征截面弯矩峰值和内分支特征截面弯矩峰值均明显减小，达到30%以上。

(a) 增加火箭模型分段前(频率：22.68 Hz；放大因子：40)

(a) 增加火箭模型分段前(频率：55.03 Hz；放大因子：40)

图22 弹性支撑模型改进前后的细化模型主结构特征截面弯矩

图23 弹性支撑模型改进前后的细化模型内分支特征截面弯矩

可见，增加火箭分段刚体数量情况下，通过本文弹性支撑模型改进方法可以使得结构弯矩响应峰值减小，而减小的量值受火箭模型分段数量等影响而存在一定差异，一方面，由图21可知，增加火箭分段刚体数量后二阶模态振型存在一定变化;另一方面，分段数量增加，每个分段轴向长度减小，由式(21)会影响接触判断。在火箭发射过程设计中，应尽量增加分段数量并根据模态试验结果确定准确的模型动力学参数，为获得准确的结构振动响应提供基础。

5 结论

本文综合利用多体动力学和有限元方法建立火箭发射系统动力学模型，改进弹性支撑动力学模型，分析了火箭发射过程结构振动响应以及支反力变化，主要结论如下：

(1) 利用多体动力学建立包含火箭、发射筒、弹性支撑在内的发射动力学模型，可以计算火箭发射过程中的结构振动响应和弹性支撑支反力时间历程，为弹性支撑模型影响仿真分析提供基础。

(2) 利用ANSYS/LS-DYNA建立的弹性支撑与壳体局部有限元模型，分析了火箭壳体与弹性支撑接触面积变化对支撑刚度影响规律，在此基础上，提出了用于火箭发射多体动力学建模的弹性支撑改进模型，能够体现火箭尾部结构脱离弹性支撑过程中接触面积逐渐变化到零的物理过程，可以准确描述支反力的变化。

(3) 通过仿真获得的结构振动响应和弹性支撑支反力时间历程，分析了弹性支撑模型改进对结构振动响应的影响，从弹性支撑和火箭结构两个角度，分析了弹性支撑模型改进前后支反力差异产生的原因。与弹性支撑模型改进前相比，改进后结构弯矩响应峰值显著减小，减小的具体量级受到火箭模型等因素影响而存在一定差异，对于火箭结构精细化设计具有一定意义，改进后弹性支撑模型准确描述火箭尾部结构脱离弹性支撑过程中接触面积逐渐变化到零的物理过程，反映了火箭模型刚体单元受到的支反力随着火箭运动逐渐过渡到相邻刚体单元的过程。

(4) 在弹性支撑与壳体局部有限元模型中，弹性支承分别采用Mooney-Revlin非线弹性本构模型和线弹性材料本构模型，采用两种模型得到的接触面积变化对弹性支撑刚度规律基本一致。发射过程多体动力学仿真结果表明，利用两种材料模型对弹性支撑模型改进，对结构振动响应影响不大，利用线弹性材料获得的规律也可以满足弹性支撑与接触面积影响分析要求。

致谢

感谢清华大学任革学教授在多体动力学求解器(INSIDES)上作出的长期努力，为本文的研究提供了计算程序基础。

附录A

表A1给出供建模用的刚体质量参数，其中Y坐标和Z坐标均为0，转动惯量Iz与Iy相等。