单位，让分数“数”出来

2022-02-21钱建兵

教育研究与评论（小学教育教学） 2022年1期

钱建兵

摘要：数，源于数，是对数量的抽象。无论是整数、小数，还是分数，都有着相同的结构——从数的组成来讲，都是计数单位累加的结果。计数单位是计数的基本部件，计数法是将基本部件进行组合的规则。从结构化教学的角度思考，分数的教学中还需要建立起分数和整数之间的联系，从数的角度去认识分数。《分数的意义》一课，从定标准——单位“1”，到定单位——分数单位，再到计个数——数单位，有效建立整数与分数之间的联系，凸显分数作为一种数的本质属性。

关键词：分数;数的意义;单位; 《分数的意义》

本文系江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“促进理解的小学数学结构化学习的实践研究”（编号：D/2020/02/138）的阶段性研究成果。一、教学思考：《分数的意义》教学中数的维度容易缺失

苏教版小学数学教材中，分数是在整数、小数之后需要系统认识的数，虽然小数的意义是借助分数建立的，深入认识分数却安排在小学认数的最后一个阶段。整个认识分数的过程也经历了较长的时间：从平均分一个物体、几个物体组成的整体起，初步建立对分数的认识，在此基础上抽象单位“1”及分数的意义，系统地学习分数。这样的编排，比较注重基于“分”与“取”的动作表征引入分数，再运用面积、集合、数轴等直观模型帮助学生认识分数，从关系维度（即比的维度）理解分数的意义。

而在小学阶段，分数的意义有比和数两个基本维度。实践发现，学生在理解分数意义时，由比的维度向数的维度的跨越并非一帆风顺。

比如，学习《假分数的认识》一课时，不少学生难以理解：超过整体，如何还能去“取”？以至于学生在用涂色的方式表示出一个假分数时，是犹豫的。虽然教学中，教师在表述分数意义时，会将学生习惯表述的“取其中的一份或几份”，纠正成“表示其中的一份或几份”，但学生不明就里：老师为什么要把“取”改成“表示”？

再如，学习分数与除法的关系时，学生很不习惯用分数表示结果。对于“10米的绳子等分成8份，每份长多少米？”这样的问题，学生更习惯写成125米，而不是用分数表示结果。如果改成平均分成3份，相当多的学生会取近似值却不用分数——要让学生确定分数是一个数的地位，似乎相当困难。

数，源于数，是对数量的抽象。无论是整数、小数，还是分数，都有着相同的结构——从数的组成来讲，都是计数单位累加的结果。计数单位是计数的基本部件，计数法是将基本部件进行组合的规则。这是学生在整数、小数学习过程中形成的对“数的认识”的结构性认知。从结构化教学的角度思考，分数的教学中还需要建立起分数和整数之间的联系，从数的角度去认识分数。

二、教学实践：立足单位，凸显分数作为一种数的本质属性

基于以上思考，《分数的意义》的教学不仅仅需要从学生已有的知识经验出发，在学生已经认识了一个物体、一个整体的几分之几的基础上，抽象概括出单位“1”，带领他们经历抽象的过程，概括出分数的意义，理解一个分数表示的实际意义;也需要将《分数的意义》的教学置于数的认识的整体结构中，突出数的共同属性，帮助学生认识分数单位，并理解分数单位的价值，建立与整数中计数单位的联系。具体教学过程如下：

（一）引出整数的基本单位——“1”

师（出示一根彩带）我们怎样可以知道这根彩带的长度？

生用尺子量。

师要测量长度，需要1个长度单位。有了1个计量长度的单位，如1米，我们就可以量这根彩带的长度了。有了1米这个长度单位，我们还可以量出许许多多个整米数。（板书：计量单位）有了1千克，我们就可以——

生称出物体有多重。

师有了自然数1，我们就可以数出——

生千千万万的数。

师“1”看起来很小，其实作用大着呢。数的王国里，很多数都跟这个小小的“1”有关系呢。

郑毓信教授指出，面对“数”的扩展，我们决不应将所涉及的各种数，包括原来的自然数以及后来学习的小数及分数等，看成互不相干的，而应将它们纳入到同一个数系之中，后者正是将所有这些都看成“一个真正的‘数’”的主要含义。郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2017：87。计数同测量一样，都是对客观世界进行定量刻画的工具与方法，需要确定统一的标准。测量的标准是计量单位，计数的标准是计数单位。通过测量长度，引出整数的基本单位“1”，构建整数是单位（自然数1）的累加的模型。将计数的教学放在“数系扩展”的高观点之下，有利于促进学生的深度理解。

（二）抽象单位“1”

1.引出分数，唤醒旧知

师（出示下页图1）这个长度能直接用1米这个单位量出来吗？为什么？

生不能，因为它比1米短。

师那怎么用1米这个长度单位去量出它的长度？

生把1米平均分成几份，再用1小份去量。

师（板书：平均分）估一估，可以用哪个分数表示它的长度？

生2/3米。

生3/4米。

生5/6米。

师（课件演示测量结果，如图2）把1米平均分成4份，表示这样的3份，就是——

生3/4米。

2.体会分数的价值

师刚才在测量的时候需要用到分数，你还知道在生活中什么时候需要用到分数吗？

（学生回答。）

师人们在分东西或进行测量时，往往会出现结果得不到整数的情况。于是，渐渐就产生了分数。

3.自主表示分数，抽象单位“1”

师刚才我们把1个计量单位平均分成了4份，表示出了3/4。你还想表示哪个分数？请同学们寫出一个自己喜欢的分数，然后用两种不同的画图方法表示出你喜欢的分数，并说说这个分数的含义。

（学生完成学习任务后交流。教师根据学生的回答板书：一个物体、多个物体。）

师这里，一个物体（一个计量单位）、多个物体组成的整体，都可以用一个自然数1来表示，通常叫作单位“1”。

从度量引出分数，引导学生回顾已学知识，对分数的价值形成更全面的认识：分数产生的实际意义不仅仅是在分东西时，也可以是出于度量的需要。此外，从度量入手，更利于学生体会分数是分数单位的累加结果。单位“1”的抽象是教学的难点。这里实际上是两次抽象：先让学生用不同的方法表示同一个分数，通过比较不同点，将平均分的对象分成“一个物体”和“多个物体”两类;在此基础上，完成第二次概括，抽象出单位“1”。

（三）概括分数的意义

师说一说你写的分数把谁看作了单位“1”？

（学生回答。）

师用单位“1”说一说你所表示的分数的意义。

（学生回答。）

师（出示图3）把这些桃（8个桃）看成1，这些桃（涂色的6个桃）不足1，可以用34表示。那么2、3又如何表示呢？

（教师根据学生回答出示图4。）

师（出示数轴）可以把0到1之间的长度看作单位“1”吗？

生可以。

师要在数轴上确定分数58的位置，先要找到哪个分数？为什么？要确定35的位置呢？

（学生回答。）

师要找到一个分数，先要找到表示1份的分数，表示1份的分数就是分数单位。（出示练习：1.五年级1班学生中，会打乒乓球的占59;2.地球表面有71100被海洋覆盖;3.一节课的时间是23小时）说一说这些题目中分数的分数单位是多少，各由几个分数单位组成。