皮亚杰认知发展理论对小学数学教学的启示

洪燕君　喻平

摘要：基于皮亚杰认知发展理论，结合小学数学教学课例，对如何实现同化、达到顺应、取得平衡等问题，给出“创设真实性问题情境”“依托情境先做后教”“搭好探究坡度，做好逻辑关联”“增加关联引导，促进知识迁移”“设疑追问，巧推平衡”和“抽象拓展，牵引平衡”的应用策略，揭示出学生在学习过程中“点连成线、线结成面、面化为体”的知识内化过程。

关键词：认知发展理论;小学数学;同化;顺应;平衡

本文系石河子大学高层次人才科研启动资金项目“数学史融入数学课堂教学的研究”（编号：RCSK2018C15）的阶段性研究成果。传递人类已有的文化科学基础知识是教育的一个基本特征。数学学习过程从认知的本质来看，是学生积极主动建构知识的过程，也是一个文化传承的过程。谢明初.数学教育中的建构主义：一个哲学的审视[M].上海：华东师范大学出版社，2007：38。建构主义作为一种教育思想或认知方式，流派众多，体系庞杂。一般来说，对数学教育影响较大的主要有认知建构主义、激进建构主义、社会建构主义。那么，数学课堂学习中，学生内化知识的认知过程是怎样的？即：如何实现“同化”，达到“顺应”，取得“平衡”？本文拟从认知建构主义视角，以皮亚杰认知发展理论诠释小学数学课堂教学，并以具体教学课例对“同化”“顺应”和“平衡”作出策略剖析，以期回答上述问题。

一、皮亚杰认知发展理论概述

皮亚杰是瑞士著名心理学家，他通过对儿童认知智力、思维发展等诸多方面广泛而深入的研究，认为儿童的认知发展是内因和外因相互作用的结果，提出了随着环境和自身的变化，有机体的认知结构和功能必然不断变化，以适应变化条件的认知发展理论。皮亚杰的认识论主要研究的内容是知识的起源、知识的形成，以及知识构成的心理机制。邵瑞珍.教育大辞典·教育心理学卷[M].上海：上海教育出版社，1990：233236。

（一）几个概念的内涵

“图式”“同化”“顺应”“平衡”是皮亚杰认知理论体系中的核心概念。

“图式”是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式，是动作的结构和组织，这些结构和组织在相同或类似的环境中由于不断重复而得到迁移或概括。皮亚杰认为，图式是认知结构的起点和核心，它的形成和变化是认知发展的实质，而认知发展过程会受到同化、顺应、平衡的影响。图式来自遗传，以后在适应环境的过程中不断得到改变和丰富，低级的图式经过同化、顺应、平衡而逐步转变成高级的图式。

“同化”原本是生物学领域的一个重要概念，指生物体在新陈代谢中把从外界环境中摄取的营养物质转变成自身的组成物质，并储存能量的过程。皮亚杰将这一概念应用于心理学，指个体把外界刺激所提供的信息过滤或整合到自己原有的认知结构中的过程，即人们试图用已经存在的图式解释事物时所产生的、将新的知识纳入原有的知识体系中进行解释的过程。阿妮塔·伍德沃克.教育心理学（第八版）[M].陈红兵，张春莉，译.南京：江苏教育出版社，2005：30。研究表明，随着个体认知的发展，同化将经历三种形式：（1）再现性同化，即对刺激作出相同的重复反应;（2）再认性同化，即基于辨别差异作出不同的反应;（3）概括性同化，即基于知觉的相似性进行归类。

前沿论坛教育研究与评论小学教育教学/2022年1月“顺应”是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的个体认知结构发生重组与改造的过程，即认知者将事物同化到他的认知結构中，同时调节这些结构，以适应这种影响的过程。皮亚杰.皮亚杰教育论著选[M].卢濬，选译.北京：人民教育出版社，1990：2。皮亚杰认为，一切认识都离不开认知图式的同化和顺应，即不存在纯粹的同化和顺应。就本质而言，同化主要指个体对环境的作用，顺应主要指环境对个体的作用。施良方.学习论：学习心理学的理论与原理[M].北京：人民教育出版社，1994：181。认识是认知图式顺应于外物和外物同化于认知图式这两个对立统一过程的产物。

“平衡”是指个体通过自我调节机制使认知发展从一个平衡状态向另一个较高的平衡状态过渡的过程。一般来说，个体遇到新刺激时如果用原有图示进行同化获得成功，认知便达到一种平衡，否则将调节或重建新图式，即通过顺应达到一种新平衡。智慧活动依赖于同化与顺应这两种机能从最初不稳定的平衡过渡到逐渐稳定的平衡。J.皮亚杰，B.英海尔德.儿童心理学[M].吴福元，译.北京：商务印书馆，1980：433。平衡的这种连续不断的发展就是整个认知发展的过程。皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪钿，等译.北京：商务印书馆，1981：3。皮亚杰认为，平衡是在个体知识的同化与顺应之间、各子系统（指不同领域的知识的结果，如数、长度和时间等）之间、部分知识与整体知识之间的关系的认知水平上思维调节的过程。

（二）几个概念的关系

首先，顺应发生在同化之后，没有同化就没有顺应。当主体试图同化新知识，而又不能将新知识同化，出现一种不平衡状态时，才能引发顺应活动。顺应的目的是同化新知识，同时对个体原来的认知结构进行改造，形成新的认知结构。如果顺应活动不能取得成功，新知识就不能被同化;新知识无法被纳入个体认知结构，认识也就得不到发展。因此，主体认知结构的发展离不开同化和顺应的联合作用。在同化和顺应的联合作用过程中，主体的认知结构发展通过不断建构和转换得以实现。

其次，平衡在同化和顺应的相互作用中起调节作用。皮亚杰认为，儿童心理的形成，既不单纯来自主体的先天遗传，也不单纯来自主体的后天经验，而是来自主体与客体的相互作用，即儿童的动作或活动。它通过同化与顺应两种机能来获得机体与环境的平衡。平衡是不断发展的，一个较低水平的平衡通过主体与客体的相互作用过渡到较高水平的平衡。这种不断发展的“平衡—不平衡—平衡……”过程就是适应的过程，就是认知结构形成和发展的基本过程。

二、对小学数学教学的启示

发展学生的认知结构是教学的出发点和归宿。教师必须采取适当策略，努力创造条件，帮助学生形成和建立与客观规律相符合的认知结构。

（一）如何实现“同化”

“问题”和“情境”是现代数学教学设计中非常重要的基本元素。在数学教学中，面对新的学习内容或问题时，教师一般会先围绕研究主题引导学生回顾旧知，唤醒学生的数学现实，让学生回忆起某些有用的信息;然后，基于学生的数学现实创设生活化情境、数学情境，或者是与其他学科相关的关联情境，这些情境可以是真实性的，也可以是虚拟性的;最后，在情境中解决问题时把有关知识“动员”起来，使学生在原有认知结构中判别和汲取可以用来同化新知识的一般的、概括的、包容性强的观念，以问题为驱动借鉴知识学习的历史相似性类比得到学习新知识的方法。

1.创设真实性问题情境，促进再现性和再认性同化的发生

真实性问题情境包括自然发生的真实情境和模仿建构的真实情境。创设真实性问题情境旨在让学生能够基于生活常识或者活动经验直观感知数学问题，对所学知识能够知其然亦知其所以然。这样，可以加速学生对新知识的再现性同化过程。此外，在真实性情境中“做数学”，能使学生容易明了知识之间的联系，便于领悟知识的生长趋势，喻平.“做数学”的理论基础分析[J].教育研究与评论，2021（3）：2226。且能提高学生对差异辨别作出不同反应的能力，即再认性同化能力。

例如，教学人教版小学数学六年级上册《圆的认识》时，教师先让学生回忆之前学习了哪些图形，再鼓励学生寻找生活中的圆（如城市绿化喷水器的喷洒范围等），之后，又在白板上展示博物馆展出的泥板上古巴比伦人画的圆（如图1所示），以此让学生“识圆”。

《圆的认识》是学生从直线图形到曲线图形学习的起始课。之前的学习，学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等直线图形，并会计算它们的周长和面积。而这节课的学习，无论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。复习旧知旨在让学生在新知学习中能主动、有选择地感知“以直代曲”方法的关联信息，促进再现性同化能力的提升。“识圆”过程中，创设了古今两种真实性情境，先寻找生活中的圆，再欣赏古人画的圆。这种古今差异不仅激发了学生学习知识的好奇心，而且使学生对新知识的理解和应用感知，以及针对差异作出不同认知反应的能力也得到了提升。

2.依托情境先做后教，提升概括性同化能力

依托情境解决问题时，可以让学生先做，充分调动学生主体的能动性，在学生经过大胆尝试、自我推测，产生关于新知识的认知冲突时，教师再发挥引导者的作用。类似孔子启发式教学法中的“不愤不启，不悱不发”，让学生在实践活动中体验创设情境的意图，积累解决问题的活动经验，从而提升对新知识的概括性同化能力。

例如，教学《圆的认识》时，学生“识圆”后，教师没有直接给出圆的性质，而是让学生从教师准备好的图钉、长方形纸条、棉线、橡皮筋、硬币、铅笔等学具里任意选择工具画圆，最后对画好的圆进行小组合作式的自由探究。

学生通过自主选择工具画圆，发现橡皮筋虽然好玩但是不能画出准确的圆，而且如果不固定一个点也不能顺利画出圆;经自主概括，得到画圆必须做到“定点和定长”，于是获得“一中同长”这个关于圆的认识。在对圆自由探究的过程中，学生先动手把画的圆剪下来，再对圆形纸片进行折叠，从而对圆的半径、直径、圆心有了更深刻的认识。

学生基于“旋转能画圆”这个知觉的相似性，通过画圆的实践操作，把原有知识结构中的知识和新知识自然连线，得到了圆的性质;再通过折圆，化解了新知识的学习难点。教学实践表明，先做后教，不仅有助于激发学生的内部学习动机，为创造性思维的培养奠定基础，而且对学生概括性同化能力的提高大有裨益。

（二）如何达到“顺应”

数学知识的认知建构是一个循序渐进的过程。教师要从学生的元认知出发，逐步搭建脚手架，引领学生面对认知冲突时能整合、优化已有的认知结构，顺利完成认知的顺应。

1.搭好探究坡度，做好逻辑关联

由于每个学生的能力不同，在设计引领教学活动的问题（串）时，教师要根据问题的开放度来考虑问题设置的难度层次，即设计的问题探究的坡度要尽量贴合学生的“最近发展区”，使学生“跳一跳，够得着”——坡度太大会阻碍探究的进行，坡度太小则不能激发学生的问题意识。一般而言，“小坡度，小转弯，小步走”普遍适合中等程度的学生。偶伟国.以探究領略数学思维之美：基于素养培养的探究式教学研究[M].苏州：苏州大学出版社，2017：2224。另外，设置问题（串）时还要注意知识间的逻辑关联，由易到难、由简到繁地层层递进，使学生的思维不断深入，自然而然地形成新的认知结构。

例如，人教版小学数学六年级上册《圆的面积》是学生研究曲线图形面积的起始课，也是后面学习圆柱、圆锥等知识的基础。通过本节课学习，学生可以初步掌握“化曲为直”“化圆为方”等曲线图形的基本研究方法，初步了解曲线图形与直线图形的内在联系。这是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。

依据皮亚杰的认知发展理论，六年级（11—12岁）的学生处于由具体形象思维逐渐转化为抽象逻辑思维，由具体运算逐渐转化为形式运算的阶段。他们正逐步脱离实物，以图式的形式把事物存储在大脑中，并能运用图式根据假设进行逻辑推理;抽象思维水平逐渐发展，已具有一定的抽象概括出事物的本质属性的能力。同时，注意也由“无意注意”发展到“有意注意”，自主学习能力较之前有显著提高。

这一课教学中，当学生发现圆的边是曲线，用“数格子”的方法不能数出所有的格子因而不能求出圆的面积时，教师可这样启发：我们换个角度来观察，“数格子”实际上是把圆分成很多小正方形叠加起来，这可以看作一个先割后拼的过程，那么，你还能用其他图形对圆先割后拼吗？如果你想到了，用剪刀剪开来拼一拼？刚才有同学想到用三角形分割，可不可以？请小组合作探究一下。

这里，教师把“数格子”的方法解释为小正方形的累加，既降低了学生的认知难度，也为后面小三角形累加的方法做了铺垫。于是，学生根据切蛋糕的经验将圆等分，在小组合作的基础上，从简单分割成4份到分割成8份、16份再拼接，发现随着份数的增多，拼出来的图形越来越接近长方形。由此，推测可以用长方形的面积来计算圆的面积，完成认知的顺应。在此基础上，教师运用作图软件演示把圆分割成32份、64份、128份等复杂的拼接情况，最终师生一起归纳推导出圆的面积公式。

在课后的问卷调查中，很多学生都表示对分割拼接法印象深刻。

2.增加关联引导，促进知识迁移

变式是通过变更对象非本质属性的表现形式，变更人们观察事物的角度或方法，突出对象中隐蔽的要素，从而凸显一类对象的本质属性。通过对问题多层次的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学生积累数学活动经验、提高问题解决能力的一条有效途径。鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究（续）[J].数学教学，2003（2）：610。在实际教学中，教师可以围绕问题解决进行多角度的问题关联引导，促进知识迁移，帮助学生完善认知结构。

例如，人教版小学数学三年级上册《长方形和正方形的认识》一课，探究“长方形有四个直角”的特点时，多数学生用三角尺的直角对长方形的4个直角分别进行比对后，教师给出关联提示：比对了几次？有没有更容易的方法？于是，学生进一步思考和研讨，最终发现“对折1次需要比对2个直角，对折2次只需要比对1个直角”。

接着，探究“正方形的四条边都相等”的性质时，关于“对折”这个主题的应用，学生遇到了认知瓶颈，即如何说明“相邻的两条边相等”。教师的教学处理宦铭里，李绍平，洪燕君.数学史融入“长方形和正方形的认识”的课堂教学[J].教学月刊·小学版（数学），2021（6）：3639。如下：

师除了用直尺测量，还有不同的想法吗？

生用折的方法。上下对折重合，上下边相等;左右对折重合，左右边相等。

师（指着图形）上边和下边相等了，左边和右边相等了，那怎么说明相邻的两边相等呢？

（学生思考。）

师上下边重合说明上下边相等，那么相邻的两边要怎么折才能重合？看来还缺这关键一折，怎么折？

生斜着折。

师（演示沿对角线对折）这样，相邻的两边也重合，说明这两边也相等，所以——

生（齐）正方形的四条边都相等。

师还可不可以再折？之前长方形折了几次，想一想？

生（激动）斜着折，再折一下，四边都重合，都相等。

（该生演示沿对角线对折再对折。）

师对。刚才同学们利用不同的方法都得到了正方形确实是四边相等的。既然正方形的四条边都相等，我们就把每条边的长叫作边。

（教师板书：边。）

“折”是探究活动中的一个难点，尤其是一开始学生不太容易想到“折两次”。教师围绕“折”，关联引导学生通过思考和尝试，在不同角度的“折”的动手操作中找到新旧知识的相异点，并以此为基点充分感知图形的具象。同时，教师不断整理、归纳学生的数学发现，对学生的认知进行比较和评价，利用否定属性策略提出新问题，激励学生自主反思，建立长方形和正方形特点的新认知图式，促进学生对知识的顺应。

学生原先的认知结构是学习活动的起点，也是学习过程中所使用的工具本身。当同化和顺应发生的时候，知识由“点”连成“线”，再由“线”结成“面”，它们与认知结构中其他观念产生了紧密的、高强度的联系，就形成了数学理解。喻平.基于建构主义的数学教学观[J].中学数学月刊，2009（8）：14。即知识从单点到多点，从多点到关联，从关联到拓展，使得学习从浅层走向深层。

（三）如何取得“平衡”

1.设疑追问，巧推平衡

当学生接收到的信息与原有认知结构不匹配时，就会形成认知冲突，产生认知失衡。教师通过追问，可使学生的认知结构不断经历同化、顺应而达到平衡。这种认知失衡基础上的追问导致认识发生变化，使知识的学习“化面为体”，从而促使学生的认知结构不断完善。

例如，《长方形和正方形的认识》一课的总结环节，师生一起回顾和梳理了整个学习过程，并归纳了“量、比、折、画”等认识图形的方法后，教师从信封里拿出1个平行四边形，把它和黑板上的长方形、正方形放在一起，请学生自由探讨30秒，给这些图形起一个统一的名字。有学生说“平行四边形”。教师马上又拿出1个梯形放到黑板上，请学生继续命名。有学生说“有四条边，叫四边形”。教师追问：这节课我们就是在研究边、研究角，既然这些图形都有4条边、4个角，那为什么不叫四角形？这时，下课铃响起。教师说道：这个问题大家回去想一想，我们下节课再来讨论。最后的问题提出为下节课的演绎和归纳教学埋下了伏笔。

2.抽象拓展，牵引平衡

20世纪50年代，美国芝加哥大学施瓦布教授倡导学生应当像科学家一样去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，在探究的过程中建构知识。M.Pedaste，et al.Phases of inquirybased learning： Definitions and the inquiry cycle[J].Educational Research Review，2015（14）：4761。具体而言，知识建构是指学生借助自己已有的知识和经验，主动地认识知识、理解知识，从而抽象出知识内核的过程，其中新旧知识的相互作用、学习共同体的互动交流，以及适当的情境都非常重要。学生在小组合作讨论，以及教师的提示刺激下，其认知经过不断的同化和顺应，一次次达到新的平衡，不断从低级走向高级，从而使认知结构逐渐拓展，知识建构趋于完备。

例如，教學人教版小学数学五年级上册《用数对确定位置》时，教师引导学生首先通过教室中的座位与人的对应关系来感知“位置”这个概念（同化），这时“位置”在平面图上是指一个“方格”;然后顺向迁移到用“点”表示“方格”（顺应）;最后抽象出“数对”可以表示出这个“点”的位置（平衡）。就如同学生在学习“数”时，先是在情境中通过数小棒这个直观行为来认识自然数，熟练以后逐步脱离小棒，在头脑中形成图像表征，最后再转化成符号表征，学习“自然数的加减”。在上述认知过程中，学生按照自己对知识深度和广度的理解，不断在同化和顺应中调适自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想，最终形成一个具有内部规律的整体认知结构，这就达到了一个“平衡”的状态。

为了对知识点进行关联拓展，说明认知“平衡”的可塑性，在这节课的“评估与延伸”环节，教师设置了如下探究题目：

如图2，已知正方形ABCD的两个顶点A（3，5）和B（3，3），请：（1）在图中标出正方形的另外两个顶点C和D可能的位置，并说明理由;（2）用数对表示C和D的位置。

从课堂探究结果来看，大部分学生都能以AB为边向右侧画出正方形（如图3），并能正确运用“数对”表示出点C和点D的位置;

只有少数学生是从AB边向左侧或向两侧画正方形来完成的（如图4、图5）。而“以AB为对角线画出相应的正方形”的结果，是在探究过程中经教师启发和点拨后才得到的。

三、结语

实践表明，恰当的教学活动设计，能自然而然地把教材知识的逻辑线、知识本源的历史线、学生认知的心理线有效地融合，使得学生在学习过程中，基于原有的数学现实，经历“同化-顺应-平衡”的认知过程，展现“点连成线、线结成面、面化为体”的知识内化学习脉络，最终获得深刻的数学体验和感悟。这样的数学学习更有条理、更有秩序、更加深入，使得学生不但能够“学会”，而且会“想学”，最终到“会学”。