七种版本新教材“基本不等式”内容的比较研究

2022-02-20仓万林李红

中小学课堂教学研究 2022年2期

仓万林李红

【摘要】教材是教与学的基本材料，在教学中发挥着重要作用。中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究的一个热点，研究者选取最新的七种版本高中数学新教材必修第一册中的“基本不等式”内容进行比较，从小节内容、问题引入情境、例题和习题的配置、数学文化渗透、教材亮点等方面展开比较研究，并给出教学建议。

【关键词】新教材;核心素养;基本不等式;内容比较

【作者简介】仓万林，高级教师，全国新青年数学教师工作室副理事长，“数学写作”学校联盟秘书长，主要研究方向为数学文化和数学写作;李红，一级教师，全國新青年数学教师工作室成员。

【基金项目】江苏省基础教育前瞻性教学改革试验项目“数学写作提升核心素养的实践研究”（2020JSQZ0147）

一、前言

“基本不等式”是高中数学传统教学中的重点内容，虽然在教材中篇幅不长，但所占的教学时间却不少。在新版教材中，“基本不等式”的内容放在了高中数学必修第一册。对于该内容，部分教材的表达方式有所差异，很多教师对这种变化不太适应。而且在数学核心素养视域下，对中小学数学教材进行比较研究，也是热点内容之一。基于以上原因，教师对新教材“基本不等式”的内容进行比较研究是很有必要的，这样可以使我们更好地理解数学，理解学生，理解教学[1]。

为了全面分析高中数学新教材特点，本文选取了最新版的人民教育出版社A版（以下简称人教A版）、人民教育出版社B版（以下简称人教B版）、北京师范大学出版社（以下简称北师大版）、上海教育出版社（以下简称沪教版）、江苏凤凰教育出版社（以下简称苏教版）、湖南教育出版社（以下简称湘教版）、湖北教育出版社（以下简称鄂教版）七种版本高中数学新教材必修第一册中的“基本不等式”内容进行比较研究。“基本不等式”既包括其自身的应用，也包括其作为求最值基本工具的广泛应用。高中数学中常用的化归与转化、数形结合等思想方法，数学学科核心素养中的数学抽象、逻辑推理等在本章节均有较好的体现。同时，“基本不等式”内容蕴含丰富的数学文化，也是数学学科德育的较好素材。

二、教材比较

在新旧两个版本的人教A版教材中，该内容的位置发生了变化，因为基本不等式的工具性应用特点，在教材中的位置越往后，综合性就越强，在2004年人教版教材中，“基本不等式”放在高中数学必修5第三章“不等式”的单元中。下面笔者从七种版本新教材的“基本不等式”的小节内容、问题引入情境、例题和习题的配置、数学文化渗透、教材亮点等方面展开比较研究，并对本节内容的教学提出合理化建议。

（一）小节内容

在七种版本的教材中，“基本不等式”的内容差异不大，一般均包含基本不等式的证明和基本不等式的实际应用。部分教材在单一小节内容上比较集中，将基本不等式证明和基本不等式实际应用单独列为一个小节，详见表1。

从表1我们可以发现以下特点：（1）在知识点方面，七种版本新教材均包含了基本不等式的证明和基本不等式应用两部分;（2）在苏教版和湘教版教材中，本节内容将基本不等式的证明和应用作为两个小节单独编排，以方便师生使用;（3）在人教B版和沪教版中，将基本不等式及其应用进行通排，由教师根据教学需要分割成若干课时讲授。而其余版本的教材中间采用穿插练习形式，实际上相当于对教学内容进行了分类处理。

需要补充说明的是，第一，在沪教版教材中，对基本不等式的界定与常见的认识有较大差异，其将平均值不等式和三角不等式等均称为基本不等式，沪教版教材中的“平均值不等式”内容和其他版本中的“基本不等式”内容是一致的。笔者认为，沪教版中对基本不等式的界定有可推敲之处。第二，北师大版教材中设置了预备知识章节，将集合、常用逻辑用语、不等式、一元二次函数与一元二次不等式这四个版块的内容作为初、高中的衔接内容，与其他版本教材的分别穿插编排有较大差异。当然，无论哪种版本的教材，都非常重视对初、高中内容的衔接，并落到了实处。

（二）问题引入情境

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确指出，基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养[2]。七种版本新教材中的问题引入情境，具体见表2。

从表2可以看出有以下特点：（1）七种版本新教材的“基本不等式”内容在问题引入上比较重视设置情境，从数学情境、现实情境或者科学情境等方面给出了具有关联性的问题，问题情境中所设置的问题较为基础;（2）苏教版的物理测量问题有科学气息，和人教B版中的“尝试与发现”，可以衔接成一个有机的整体。

（三）例题和习题配置

例题和习题是教材的核心内容，所占的篇幅最大，也是教学中重要的板块。新版教材中例题和习题的难度和梯度比各自旧版的教材有较大提升，更加贴近评价中的试题，改变了以往教材例题、习题和评价中的试题差距悬殊的现状。需要说明的是，本文所指的习题包括小节后的随堂练习和每节内容的相应习题，部分版本中的习题，如果包含了本单元前面知识点的内容，就只统计其中基本不等式的问题。七种版本新教材中“基本不等式”内容的例题和习题配置数量统计见表3。

从七种版本的例题与习题的比较发现有以下特点：（1）一般配置4～5道例题较为适中，习题的数量多于例题的数量，一般按照1∶3比例比较适中，北师大版由于将集合、常用逻辑用语、不等式、一元二次函数与一元二次不等式放在预备知识位置，因此，“基本不等式”的题量和难度适当降低，个别版本新教材的例题和习题的典型性、数量、难度有待提升;（2）人教B版新教材中的习题按难度进行了A、B、C分组，这是一个亮点;（3）部分版本新教材的习题结构上注重开放性，旨在提升学生的数学学科核心素养。当然，七种版本新教材中习题的知识点、数量和难度等量化分析也是值得广大教师研究的问题。

（四）数学文化渗透

数学文化是贯穿于新课程的主线之一，七种版本新教材的“基本不等式”均或明或暗体现了数学文化的内容。人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、鄂教版均选用了“半径大于或者等于半弦”的无字证明。沪教版中数学文化的内容有：利用等式证明不等式;调和平均数与算术平均值不等式。鄂教版还出现了第24届国际数学家大会（ICM-2002）的会标。因此，基本不等式中的数学文化内容在教学中应得到重视。在教学设计时，教师要合理利用数学文化，让学生领略数学的抽象之美（如无字证明）、简洁美、奇异美，帮助学生优化数学学习的体验，提升数學学科核心素养，发挥数学的德育功能，落实新时代立德树人的要求。

（五）教材亮点

从七种版本新教材中的比较中可以发现，各版本新教材均从情境案例出发引出基本不等式，并重视从不同的角度对基本不等式进行证明，培养学生的逻辑推理核心素养。新教材的亮点如下。

1.重视培养思辨能力

人教A版新教材中，在用基本不等式求出最值后，给出了下面的问题。

在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x+1x≥2，而且给出了“当且仅当x=1x，即x2=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x+1x（x>0）的一个取值。想一想，当y0<2时，x+1x≥y0成立吗？这时能说y0是x+1x（x>0）的最小值吗？[3]

该问题引导学生理解函数最值的本质含义，对培养学生的思辨能力和数学核心素养有重要意义。

人教B版中的“想一想”，北师大版中的“思考与交流”，沪教版中的“小贴士”形式的思考，短小精悍，且问题较为完整贴切，画龙点睛，同样可以启迪学生思维，引领学生学会阅读，学会思考。

2.关注教学和技术的融合

人教B版新教材中第76页的“探索与研究”[4]76有以下一道题目。

用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：

（1）任取多组三个正数a，b，c，计算a+b+c3和3abc，比较它们的大小，总结出一般规律;

（2）对四个正数、五个正数做类似的实验，总结出普遍规律。