对一道极值点偏移题的分析

李晓敏

导数问题（极值点偏移问题）往往体现出较强的区分度和选拔功能，经常考查学生的推理论证能力、运算求解能力、分类与整合能力，考查函数与方程的思想、划归转化的思想。下面结合例题给出几种不同解法及学生答题情况的分析。

例题：已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性；

【问题分析】

（1）考查的知识点：利用导数研究函数单调性，其中运用到导数公式和导数运算法则。

解：（1）f（x）=x（x-lnx），x∈（0，+∞）

∴f′（x）=1-lnx-1=-lnx

∴x∈（0，1），f′（x）＞0，

x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.

【解法研究】

先利用导数公式求得导函数，结合导函数的图象解出大于零小于零的解集，写出函数的单调区间。第（1）问比较简单，属于送分题，而且对第（2）问有暗示。

（2）方法一：构造对称性函数

【问题分析】

题目（2）是极值点左偏问题，最常见的做法是构造对称性函数，考虑函数y=f（x）在极值点1附近的偏移情况并结合其单调性构造不等式。

要证x1+x2＞2，即证x2＞2-x1，∵0＜x1＜1∴1＜2-x1＜x2（不易证，利用函数单调性，转化为证明函数不等式）

即证f（x2）＜f（2-x1）（尽量减少自变量的个数）

即证f（x2）＞f（e-x1），即证f（x1）＞f（e-x1）

x∈（0，x3）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x3）单调递增.

x∈（x3，1）时，h′（x）＜0，h（x）在（x3，1）单调递减.

x→0，h（0）→0，x=1时，h（1）=f（1）-f（e-1）＞0

【解法研究】

大部分学生没有从函数角度去考虑不等式，导致无从下手，其实题（2）思路形成的关键是必修一函数单调性等价形式：若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）则分考生考虑到了以上方法，不过在转化已知条件时转化不彻底，把已知条件转化为新函数g这个函数与已知函数f（x）=x（1-lnx）没有任何关系，需要重新研究函数g（x）单调性、极值，计算量增大，费时费力，不过也能证得结论成立。

方法二：增量法

【解法研究】

方法三：切割线放缩法

不妨设0＜x1＜1＜x2

∵在区间（0，1），f（x）=x（1-lnx）＞x

∴f（x1）＞x1

过（e，0）点切线斜率为k=f′（x）｜x=e=-1

切线方程为q（x）=-x+e

令V（x）=q（x）-f（x）=-x+e-x（1-lnx），x∈（1，e）

【解法研究】

切割线放缩法需要画出函数图象结合割线放缩、切线放缩，还要与要证的不等式相结合才能解答此题。此方法优点是过程简单计算量小，不足是思维量大，要有很强的数形结合能力，能较准确地画出图象，还要有极限思想，对考生数学能力要求比较高，不容易想到。

第（2）问抽象性、综合性较强，能力要求比较高，技巧性强，区分度较大，但只要能认清本质，抓住关键，立足通法，善于转化，灵活运用导数及分析法就能解决本题，优秀学生是可以拿到高分的。极值点偏移问题在历年高考中反复出现，比如2010年天津卷、2011年辽宁卷、2013年湖南卷、2016年全国卷等，希望引起大家的重视。