用几何画板软件辅助学生开展数学探究活动*——以一节“矩形折叠问题的探究”活动课为例

广东省中山市坦洲中学(528467) 朱玉霞

“至简数学”提出让学生学简单的数学,让学生简单地学数学,让学生数学学得不简单,这是数学老师终身奋斗的目标.这三句话说来容易,但对教师教学设计要求很高,笔者认为,只要教师抓住了数学本质,引导学生在数学活动中抓住本质、灵活变通就能真正实现数学至简和教学至简.以折叠为背景求角度、线段长度等几何问题是近年来中考的热点和难点.与“折叠”有关的考题涉及知识范围十分广泛,其中包括全等、矩形性质、勾股定理、相似以及三角函数等等.如果学生基础不扎实,对于这种题型就会感觉无从下笔,那么,我们在平时的教学中该如何渗透折叠思想、提高作图能力呢?笔者认为,在教学设计过程中,除了要优化解题策略,还应在教学过程中让学生动手操作,以加深对知识本质的认识.

1 活动一: 聚集三角形,强化折叠预备知识

在讲解例题之前先复习勾股定理,这里引入课前预备知识,这些预备知识在解决例题与练习的过程中会不断重复使用,因此可让学生课前先独立思考并解决.

预备知识1: 求直角三角形斜边上的高

如图1,RtΔABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,求AC边上的高BD.

图1

设计意图: 复习勾股定理.已知两边先求第三边AC的长AC=补充“等积法”求直角三角形斜边上的高BD=

预备知识2: 求一般三角形的高

如图2,ΔABC中,AB=3,BC=6,AC=5,求BC边上的高AD.

图2

设计意图: 引导学生建立解三角形的思想.已知三角形三边长度,设BD的长度为x,两次运用勾股定理表示AD边的长度AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即32-x2=52-(6-x)2求出边BD的值,再用勾股定理求AD的值.

2 活动二: 折叠三角形,把握折叠模型本质

例1如图3,在矩形ABCD中,BC=6,AB=8,P为AD上一点,(1)将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP,使点A落在对边DC上的点E处,求AP的长;(2)将ΔAQP沿QP翻折至ΔEQP,点A落在对边DC上的点E处,求折起的ΔAQP的AP边的取值范围.

图3

图4

解法简析: 此模型为最基础的题型,问题(1)为矩形翻折的三角形中,一边为矩形长边,并使其顶点落在对边上,所得所有三角形都是直角三角形,在ΔBCE与ΔDPE中各用一次勾股定理即可解决问题.

课堂操作: 问题(2)可引导学生通过实际操作(折叠矩形)感受点E在DC边上移动的过程中各边的变化情况,然后用几何画板在DC上取点E,作AE的垂直平分线找到点P、Q,移动点E,让学生感受图形随点E的变化而变化,然后画出图5 即可解决问题.

图5

变式1如图6,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.求EF的长.

图6

解法简析: 此变式为矩形翻折的三角形中,其中一边为矩形短边、顶点落在对角线上,在ΔABC与ΔAEF各用一次勾股定理即可解决问题.还有一种情况如图7,解法与变式1 一样.

图7

课堂操作: 通过分析,可用尺规作图法作∠ACD的角平分线找到点E,过点E作AC的垂线可找到点F,然后画出图形;或先作∠ACD的角平分线找到点E,以点C为圆心,CD为半径作弧交AC于点F画出图形.图7 可在课堂用几何画板操作示范.

变式2如图8,在矩形ABCD中,E是AD的中点,ΔABE沿直线BE折叠后得到ΔGBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=8,则FD的长为多少?

图8

解法简析: 此变式把变式1 中顶点落在对角线上改成折痕经过矩形一边中点,连接EF则发现图中五个三角形都是直角三角形,并且ΔEGF与ΔEDF全等,则在ΔBEG与ΔBCF各用一次勾股定理即可解决问题.

课堂操作: 作线段AD的垂直平分线找到点E,作∠EBF=∠ABE与DC交于F,过点E作BF的垂线可找到点G,可引导学生用几何画板操作画图.

变式3如图9,矩形ABCD中,BC=6,AB=8,P为AD上一点,将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP,PE与CD相交于点O,BE与CD相交于点G,且OE=OD,求AP的长.

图9

解法简析: 此变式为顶点落在矩形外的特例,由条件可得ΔODP与ΔOEG全等,易得PE=GD,设AP=EP=x,则PD=GE=6-x,则在ΔBCG中用一次勾股定理即可解决问题.

课堂操作: 用几何画板在线段DA上取一点P,以点P、B为圆心,PA、BA为半径作弧交于点E画出图形,改变点P位置,让学生感受OE与OD的变化.

变式4如图10,已知: 矩形ABCD,AB=6,BC=8.点P为边AD上一动点,点A′与点A关于BP对称,连结A′C,当ΔA′BC为等腰三角形时,求AP的长度.

图10

图11

图12

解法简析: 此变式为顶点落在矩形内的特例,因为A′B=6,BC=8,实际上就是给出A′C=6 或A′C=8,根据预备知识2,引导学生过A′作ΔA′BC的高,由于三边都已知,则可以通过两次勾股定理求A′M及A′N的长度,最后在ΔA′PN中再用一次勾股定理就可以解决问题.此变式还可以把ΔA′BC为等腰三角形换成直角三角形,解决的方法一样,实际上就是把问题转化成例题型.

课堂操作: 此题通过分析,亦可通过尺规作图画出图形,方法有多种.课堂上几何画板作图,移动点P,让学生感受随着点P的移动,ΔA′BC的形状的变化.

3 活动三: 折叠“四边形”,运用模型本质转化

例2如图13,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD沿直线EF折叠,顶点C恰好落在顶点A处,求AF的长.

图13

解法简析: 此模型是矩形折四边形中最常见的题型,通过实际操作,顶点在两对边移动的过程中折叠的图形有直角三角形和四边形两种情况.这是四边形中特殊情况: 折叠后一组对角顶点重合.连接FC,易证ΔABE、ΔAGF与ΔCDF全等,四边形AECF为菱形.求边的长度,可在三个直角三角形中用勾股定理解决,求折痕FE的长度则过点F作BC边上的垂线,把EF放在直角三角形里用勾股定理解决.

课堂操作: 作AC的垂直平分线可找到点E、F,以点A、F为圆心,CD、DF为半径作弧,可找到点G,则可画出图形.

变式: 如图14,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD沿直线EF折叠,顶点C恰好落在AB边的中点M处,求(1)BE的长;(2)AF的长.

图14

图15

解法简析: 此变形为折叠后一个顶点落在矩形的短边上,问题(1) 在ΔBME中用勾股定理便可求出所求线段的长;连接FM、FC,在ΔAMF与ΔFCD中,AM2+AF2=MF2=CF2=FD2+DC2,便可解决问题.此题可改变点M 的位置,方法一样.

课堂操作: 此图可用几何画板画图,通过动态变化,加强学生感观认知,引发学生深度思考.

4 活动反思: 抓住模型即抓住本质

上述对矩形折叠题型进行了归纳思考,笔者尝试以学术研究的方式备课,教学过程中借助几何画板工具和引导学生动手操作等方式,设法让学生看到数学的思维过程,切身体会数学的“至简”之美.在本课程设计及实施过程中,笔者从三个方面着手,努力使本课程设计更简单更实用有效:

4.1 简单系统,有效提高课堂效率

本课程设计虽然只有两种题型,但是基本囊括了八年级所有有关矩形折叠题型,为九年级相关的学习打下坚实基础.题型一用“一例四变”把折“三角形”这一题型分成顶点落在长边、短边、矩形内和矩形外运动四种情况,即简单又系统,问题基本都是给矩形的长和宽,加上一个与线段长度有关的条件,最后求线段的长度,其实都是解决在哪个位置折起的三角形这个问题.简单的条件和问题容易引发学生的学习动机,让学生深刻体会到“折叠”也不是那么“高、大、上”,那么可怕的,这样的做法有效地提高了课堂效率.

4.2 可操性强,有效激发学习兴趣

在本课程实施过程中,给每一个学生发一张矩形纸片,让学生自己动手折一折,可以让学生切身体会数学是真实存在的,是看得到、摸得着的.另外,在课程实施过程中,引导学生画图,让学生在操作的过程中既可以感受数学的美,又收获了成就感,有效地激发了学习兴趣,为以后的学习打下坚实的基础.

4.3 灵活多变,有效培养探究能力

本课程设计时所有题目的条件和问题比较单一,目的是让学生课外重新编排条件和问题,继续深入研究本专题,这就是本节课的作业.“一切为了学生的发展”是数学新课程的核心理念,学生是数学教学系统中最重要的一个要素,本课程看似简单,实则灵活多变,笔者故意把问题简单化,实际是为了激发学生思考,在学生探究的过程中,教师可根据实际情况及时作出引导,可有效培养学生的探究能力.

笔者在设计本课程的过程中做了大量相关题型,不断总结、不断思考、不断尝试.作为一线教师,在教学过程中勇于思考、总结、尝试、创新,这样的“至简数学”课堂,更有利于学生“简单”地学数学,有效培养学生不“简单”的探究能力.