例谈模式识别在高考题中的应用——以2021年新高考I卷压轴题为例

扬州大学数学科学学院(225009) 华加婷

1 问题的提出

对于中学生而言,大多数同学都有这样一个窘境: 面对一道数学题,自己只能按照传统的解题步骤去解决,老师却能给出一个巧妙的解法.这时,大多数同学会在想:“为什么自己想不出来呢? ”

这个问题并不难回答,大多数学生的解题思路被先前的习惯所影响,导致在面对类似的数学问题时,倾向于用固有的解法去解决这类数学问题.而正是由于这一消极的“思维定势”,妨碍了学生采用新的解法去解题,同时也束缚了学生的创造性.因而,在面对非常规、更深刻的问题时,无从下笔.

关于这个现象,数学家乔治·波利亚[1]创作了《怎样解题》一书,并在书中提出了“怎样解题”表,按照正常解题时的思维,把思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,其中“拟定计划”是关键环节和核心内容;被问及如何寻找解题方案时,原苏联数学家雅诺夫斯卡娅也发表了《什么叫解题》的演讲,在报告中中她这样说:归结为我们已经解过的问题[2].为了深入挖掘解题思路,本文在“怎样解题”表的基础上,提出中学数学解题的一种策略——模式识别,借此帮助学生提升解题能力.

2 “模式识别”在高考题中的应用

纵观历年高考,不等式的证明往往与函数、导数、数列等内容综合,有一定的难度和综合性.而压轴题是整张数学试题中最难的题目,要想解决这个问题,学生需弄清题目的本质,运用数学思想方法来分析问题、解决问题.下面通过对一道高考压轴题的探讨说明“模式识别”在新高考题中的应用.

例1(2021 年全国卷I,22)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)略;

(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明: 2＜

2.1 构建模式

不等式是中学数学重要的内容之一,与其他知识点有着密切的联系.而在高考中,常与函数、导数综合,以综合题的形式呈现,因此,不等式的证明问题往往是高考的难点,也是历届考生关注的热点之一.关于双变量不等式证明的方法,常见的解题方法有: 变更主元、指定主元、化归为函数单调性、化归为值域问题或最值问题.不管使用哪种方法,其目的是“消元”和“构造函数”,先利用题目所给条件,消去一个变量,再构造一元函数,将不等式问题转化为函数问题,再求导,利用函数的性质来解决问题.可见,消元和构造函数是双变量证明不等式的关键,那么证明问题(2)该如何消元和构造函数?

2.2 搜索模式

例2(2010 天津理21)函数f(x)=xe-x(x ∈R),

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(答案: 单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间(1,+∞),极大值f(1)=)

(2)假设x12,且f(x1)=f(x2),求证x1+x2＞2.

搜索模式1: 化归为函数单调性法这类是明显的一元函数极值点偏移问题.首先,对于双变量问题且“1”恰为函数f(x)的极值点,可以将不同点转化在同一区间内;然后,作差构造一元函数,求导,根据函数的单调性,即可证明.

分析要证x1+x2＞2,即证x2＞2-x1,讨论x2和2-x1所属区间,利用f(x2)=f(x1)＜f(2-x1)构造函数g(x)=f(x)-f(2-x),再求导,判断函数的单调性,比较f(x1)和f(2-x1)的大小.

搜索模式2: 比值法显然,这题是类似函数极值点偏移的问题.对于此类问题,常运用的方法: 万能的“t”字比值法——对于双变量,作商使其等于t.首先,题目中没有双变量和无关变量的直接关系,因此,第一步的关键步骤在于找出它们之间的关系,根据题目条件,得到它们之间的关系;其次,观察到无关变量与所研究的目标无关,因此,第二步的关键在于消去无关变量,可采用对称的变形方式,两式子相加或相减来构造只含有两变量的关系式;接着,令两变量的比值等于新元t,用t表示出所研究的目标,通过变形,构造关于t的函数关系式;最后,求导,根据单调性求解.在这个过程中,可以体会到比值法在证明双变量不等式中的便捷性,也可以感受到运用数学方法解题的魅力所在.

分析先根据题意,得到关于x1、x2和a的方程,消去无关变量a;再利用合分比性质将式子转化,令t=;接着构造关于t的函数,求导,得出该函数的最大值;最后,利用均值不等式得证.

例4(2020 年全国卷I,21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范围.

搜索模式3: 切线放缩法此题中含参,解决的方法有两种: 一是分类讨论,二是分离参数.这两种方法都是常规的方法,计算繁杂但思维量小.而有些时候,在求导过程中,很多时候需要求二次导,甚至是三次或者多次,计算量尤其大,不易进行到底;若是很好地利用放缩的技巧,最多只需求二次导.当然,放缩的方法有很多种,这边介绍一种最常见的方法——“拆和之函数方法”,即这个函数由两个最常见的切线放缩公式演变而来的.在高考中最常用的切线放缩公式有三种: ex≥x+1(取等点x=0);lnx≤x-1(取等点x=1);+1(取等点x=0).尤其注意,在使用切线放缩式时需证明此式.若要解决此题,首先,观察所给式子是否含有切线放缩式;其次,若有切线放缩式,则先证明切线放缩式,再将其应用在原题中.而难点在于找到切线放缩式,首先,判断原函数是凸函数还是凹函数;其次,找到切线放缩的方向和取等点,这时寻找的切线上所有点(除了切点)在定义域内要么全在原函数的下面,要么全在上面;最后,需证明切线放缩式,而证明的关键在于“构造函数”.利用切线放缩法,将曲线向直线进行放缩,化繁为简,巧妙地解决问题.

分析观察到题目中有ex-1和lnx,联想到切线放缩式:ex≥x+1(x=0 时取“=”)和lnx≤x-1(x=1 时取“=”);先证明两个式子,再分别放缩,将aex-1≥lnx-lna+1 转化成ax≥-lna+x;最后,根据一次函数的性质,分类讨论,求得a值.

证明aex-1-lnx+lna≥1,即证aex-1≥lnx-lna+1;证明ex≥x+1(x=0 时取等号) 和lnx≤x-1(x=1时取等号),先证明ex≥x+1,令g(x)=ex -x -1,g′(x)=ex-1,可知g(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,故g(x)min=g(0)=0,故得证;同理可证lnx≤x-1.应用两式得ax≥-lna+x,(a-1)x≥-lna,当0＜a ＜1,显然矛盾;当a≥1 时,(a-1)x≥0,-lna≤0,故不等式恒成立;综上,a≥1.

2.3 应用模式

通过上述例题的解法,可以体会到导数在证明不等式中的基本要领和简捷.证明双变量不等式问题时,消元、构造函数是关键步骤,这一方法在高中数学解题中应用的非常广泛.数学学习中的一题多变,一题多解和多题一解的理论基础正是模式识别[3],将模式识别应用在数学解题中,可以极大地提高学生的解题效率和发展学生的数学思维.下面,将上述模式升华后应用在例1 中“x1+x2＜e”的证明,感悟“一题多解”和“题多一解”的魅力.

证x1+x2＞2(略).下面证x1+x2＜e.

法一采用化为函数单调性法.使用这种方法的关键在于找到“极值点”,显然,并不是极值点,但仍然可以用极值点偏移问题的解题方法来思考此题.要证x1+x2＜e,根据模式1 提供的思路,构造一元函数h(x)=f(x)-f(e-x),接着,对其进行求导,判断其单调区间,找出其在定义域内的最小值,即可得证.

法三联想到切线放缩式的由来,得到本题的关键式子:f(x)≤e-2(取等号x=e),构造函数h(x)=f(x)-e+x,求导,判断最值即可证明此式.利用此放缩式,通过转化,即可得证.

证明x1+x2＜e,等价于x1＜e-x2,函数f(x)在(e,0)处的切线恰好为y=e-x,先证明f(x)≤e-2(取等号x=e),构造函数h(x)=f(x)-e+x,h′(x)=-lnx+1,故h(x)在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递增,故h(x)≤h(e)=0得证;所以f(x2) ≤e-x2,故只需证x1≤f(x2)=f(x1),即证lnx1＜0,又因为0＜x ＜1,故得证.

不难看出,上面三个解法各有各的特色.法一是需要学生通过积累,整理得到通式,才可以在特定条件下的题目中应用;法二是万能的方法,适用于所有的双变量问题;法三是巧妙的方法,但前提是找到并证明切线放缩式,当然,常见的切线放缩式是需要学生收集和整理的.相比较而言,法二是大多数学生都能想到的方法,但耗时耗力,计算繁杂;运用法三需要的思维量最大,最难的在于“构造”,也就是创造出新的式子,这对于绝大多数同学来说是很难想到的;法一相对来说,是“性价比”比较高的一种方法,将二元问题转化成熟悉的一元问题,减少了不必要的讨论,化难为易,轻松地解决问题,但难点在于想到“设而不求”和求端点的极限值,因而法一需要一定的思维量,但计算不繁杂.当然,要具体到选择哪一种方法,只能说根据自身的心理特点和解题的习惯,选择自己更擅长的方法去解题.学习运用数学思想方法解题,学会创新,深入探究和拓展,培养创新性思维.

3 结语

随着新高考的推行,高三学生该如何应对? 其实,由于考试时间有限,不可能每道题都花很长的时间去思考,因此,要想在高考中取得优异的成绩,考卷中至少有15 题不占更多思考时间[4].通过对比往年的高考卷,可以发现每一份高考试卷都至少会有80%的基础题是可以通过模式识别来进行求解的[5],那么在此情形下,模式识别在高考解题中就显得尤为重要.

面对一道“似曾相识”的题目,首先是辨别出它属于哪个模式,即它属于哪个章节? 与哪个知识点有关? 与我们做过的哪些题类似? 解决这个问题的方法有哪些? 然后,选择一种自己比较擅长的方法,相对而言,选择比较省时省力的方法去解题,换言之,哪个方法对于解决此题更高效? 因此,为了更好地将“模式识别”应用在高考解题中,在平常的学习过程中,要注意分门别类地总结题型和基本方法;对于“一题多解”的问题,总结更多的解法,找出更高效的方法,拓宽自身的思维;在解题时,要有把模式识别当作思维训练场地的意识.同时也需注意,“模式识别”只是给学生提供了一种解题思路,并非万能的,也不是一层不变的,面对非常规、更深刻的新问题时,往往需要将旧模式拆分,重组,转化成新的模式.因此,在解题的过程中,要灵活地运用模式识别策略,注重思维提升的训练.