函数思想方法在初中数学教学中的应用研究*

山东省济南市济南大学数学科学学院(250022) 李欣悦 陈兆英

1 前言

1.1 研究背景

随着社会发展和科技进步,数学广泛的应用到社会生产和人类日常生活的各个方面.著名的数学家华罗庚曾说:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日月之繁,无处不用数学.”马克思甚至说过,一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.总之,人类社会的发展离不开数学,这不仅指数学知识具有广泛的应用性,而且指精妙绝伦的数学思维和科学严谨的数学思想方法,对解决各种现实问题都具有无与伦比的意义[1].

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》明确提出:“学生通过数学课程的学习,掌握适应现代生活及进一步学习必备的基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验[2].”教师在实施促进学生发展的教学活动中要促进学生体会和运用数学的思想与方法.

在初中数学学习中,学生不仅要掌握基础的知识和技能,还要学会数学思想方法,提高自己的思维能力.函数在初中数学起着承上启下的作用,是初中数与代数领域的学习主线.将函数思想渗透到初中数学学习中,能更好的培养学生的解决问题的能力,提升其创新思维.

1.2 研究目的

在新课改后,教师不仅要传授学生知识与技能,更重要的是培养学生的学习能力和思维素质.尤其是数学学科,培养学生的逻辑思维能力、推理能力等思维素质更为重要.函数在初中数学学习中尤为重要,比如学习了一次函数、二次函数、反比例函数等,因此研究函数思想方法如何在初中数学教学中渗透应用便十分重要.

研究“函数思想方法在初中数学教学中的应用”目的是阐述函数思想方法的作用,并具体列举其应用范例,来深刻体会函数思想方法在数学教学中的渗透与应用,希望本研究能对初中教师及学生运用函数思想方法来学习数学提供一些帮助.

1.3 研究意义

本文介绍函数思想方法,并结合实际生活,将函数思想方法应用到数学学习中.能够帮助学生及老师更进一步认识到函数思想方法的重要性,有利于促进学生认知结构的构建,提高学生的创新能力、逻辑思维能力、归纳能力和总结能力.对于老师而言,加强老师将函数思想方法应用于教学的意识,老师根据学生的心理特点,采用有效的教学手段,总体提升教学效果.因此具有一定的理论意义和现实意义.

1.4 研究内容

函数思想方法在初中数学教学活动中所发挥的作用是十分关键的,尤其是对于初中生而言,学会运用函数思想方法解决数学问题,提高学生的逻辑思维能力及其重要.本文首先介绍了函数思想方法的具体概念及其在初中数学教学中的重要性,阐明了本研究的重要性,然后具体将函数思想方法应用到解决数学问题中,最后总结出在初中数学教学中渗透函数思想方法的教学策略,为今后的初中数学教学设计提供参考.

2 函数思想方法概述

2.1 函数思想方法的内涵

函数是描述现实世界中变量之间的数学语言,是探究变量变化规律的工具.初中所学的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数都是最简单的初等函数,学习函数的同时要更注重渗透函数思想.

函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映,它的本质是变量之间的对应.函数思想方法,主要是用函数的概念、性质和图象,全面分析和解决数学问题,用运动的观点针对两变量之间的关系进行全面研究[3].

徐利治先生提出的RMI 原则为我们用函数思想方法提供了理论依据.RMI 原则就是关系映射反演方法,基本步骤为: 关系→映射→定映→反演→得解[4].

利用函数思想解决问题途径如图1 所示.

图1 解决问题途径

2.2 函数思想方法的重要作用

函数与我们的生活息息相关,比如水费、电费都是时间的函数.在初中数学学习中处处存在函数思想方法,比如学习有理数的混合运算、代数运算等都是为了学习函数打下良好的基础.

函数思想方法渗透在数学理论和实际问题中,是探索事物发展规律、预测事物发展方向的重要手段.一些非函数问题如不等式问题、方程问题和几何问题等都可以用函数思想方法转化为函数问题进而解出答案.在教学中教师要抓好函数这一主线,将函数思想方法渗透在数学教学中,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学习数学的信心和乐趣,提高学生的逻辑思维的能力和数学应用的意识[5].

3 函数思想方法在具体数学问题中的应用分析

3.1 巧用函数思想解决方程问题

例1解方程(x+6)1999+x1999+2x+6=0

分析这是一个一元高次方程,最高次数为1999,我们无法用常规的方法解决问题.观察方程系数的特点,发现它们具有对称性,因此可以尝试构造函数,运用函数思想求解.

解将方程移向变式得(x+6)1999+(x+6)=(-x)1999+(-x),利用等号两边的对称性,可构造函数f(t)=t1999+t,故方程转化为两函数值相等,即f(x+6)=f(-x),根据函数f(x) 在R 上是递增函数,将函数值相等转化为自变量相等,即x+6=-x,解得x=-3,所以原方程的解为x=-3.

总结本题把方程转化为函数问题,利用函数的性质,把函数值相等转化为自变量相等,从而把一元高次方程转化为一元一次方程,把问题简化了,大大提高了做题的效率.

3.2 运用函数思想解决不等式问题

例2对任意的a ∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,求x的取值范围.

分析这是一道用函数处理不等式恒成立的问题,处理依据是:a ＞f(x) 恒成立⇔a ＞f(x)max;a ＜f(x)恒成立⇔a ＜f(x)min,解题时常用到“分离参数法”.对于此题,首先将a分离出来,将函数看作关于a的函数ϕ(a)=a(x-2)+(x-2)2,并且ϕ(a)＞0,a ∈[-1,1],只需ϕ(-1)＞0,ϕ(1)＞0.

总结本题的关键是变换参数,构造a为自变量的函数,从而不等式问题转换为函数在闭区间求值域的问题.一般地,在一个含有多个变量的问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加明朗化,更能巧妙的解决问题[6].

3.3 利用函数思想解决最大利润问题

例3有一种螃蟹,从海上捕捉后不放养,最多成活2 天,如果放养在塘内,虽然可以延长成活时间,且螃蟹的个体重量能保持不变,但有一部分仍会死去,现一经销商按市场价收购了这种活蟹1000 千克,放养在塘内,此时的市场价为每千克30 元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但每放养1 天得开支各种费用400 元,且平均每天还有10 千克螃蟹死去.假定死蟹均可当天售完,售价都是每千克20 元.

(1)经销商为了确保利润不少于5000 元,应放养多少天?

(2)为了利润尽可能丰厚,经销商应如何经营这批螃蟹?

分析根据题意,利润与放养天数有关,利润是放养天数的函数.利润是总收入与总支出的差,总收入包括销售活蟹的收入和销售死蟹的收入,总支出包括收购成本和放养成本,就能很方便地得到这个函数的解析式,然后可以回答所有问题.

解设将这批螃蟹放养x天后出售,利润为y元,那么x天后的价格为每千克(30+x) 元,出售活蟹(1000-10x) 千克,收入(30+x)(1000-10x) 元,出售死蟹的收入为20×10x=200x元,这批螃蟹的收购成本为30×1000=30000 元,放养成本为400x元,因此y=(30+x)(1000-10x)+200x-30000-400x=500x-10x2.

(1)经销商为了确保利润不少于5000 元,即y≥5000,解不等式500x-10x2≥5000,将不等式变形得(x-25)2-125 ≤0,即2.24,近似计算精确到1,得(x-14)(x-36) ≤ 0,即14 ≤x≤36,所以,经销商为了确保利润不少于5000 元,放养天数应该14 天到16 天之间.

(2) 要使利润尽可能丰厚,即求二次函数y=500x-10x2的最大值,将函数变形为y=-(x-25)2+6250,当x=25 时,y取到最大值6250,所以,经销商将这批螃蟹放养25 天后在出售,利润最大可达到6250 元.

总结本题的关键是明白利润=总收入-总支出,并用代数式表示出来.实际问题的叙述一般比较复杂,要理清关系,把一个个相关的量用自变量的代数式表示出来,最后才写出所求的函数解析式,再利用函数的性质进行求解,将实际问题转化为函数问题,更方便解题.

3.4 应用函数思想解决几何问题

例4RtΔABC的斜边AB=a,∠A=30°,点E,F分别在AB,AC上,EF把RtΔABC的面积二等分,求线段EF的长的最小值.

分析线段EF的长与AE,AF的长有关,但AE,AF缺乏联系,暂时让EF受这两个变量制约,然后分析当EF的长最小时AE,AF之间的关系,根据题目作出图像,更清晰明了.

图2 RtΔABC

总结本题为一道几何题目,求线段的最小值,关键是寻找线段关系,构造函数,利用函数的性质求出最小值.将几何问题转化为函数问题,将抽象问题具体化,清晰地解决问题.

4 在初中数学教学中渗透函数思想方法的途径

(1)创设问题情境,激发学生学习函数思想方法的兴趣.问题是数学的心脏.我们在教学中.要积极创设问题情境,充分发挥问题在函数思想方法教学中的重要性,激发学生的思维,将隐含在数学问题中的函数思想方法转化为可触摸的教学内容.

(2)归纳总结知识,概括函数思想方法.在初中数学学习阶段,学到很多数学思想方法,比如函数思想方法、数形结合思想和化归思想等.然而将这些思想方法应用到做题中却是使学生困惑的一点,我们可以在单元总结或期末复习中,归纳相关的知识,将统领的函数思想方法总结出来,增强学生对函数思想方法的应用意识.

(3)关注知识的生成,渗透函数思想方法.教师在教授这些知识的过程中,要注重知识的生成,要将知识的教授转化为知识生成的教学,有利于激发学生的学习兴趣,教师要设计利于学生参与认知的教学过程,将函数思想渗透于数学教学中,提高学生的学习能力.

(4)注重解决问题,增强应用函数思想方法的意识.函数思想方法存在于问题的解决中,在教学中,教师应该注重开放性问题的设计,培养学生的发散思维,通过问题的解决,教师要展现出函数思想方法的应用,使学生领会数学的本质,发现数学的美.

5 结论

在推进素质教育和终身教育的今天,知识本身固然重要,但知识背后的思想方法更为重要.在数学学习中,教师要重视对学生数学思想方法的引导,教会学生运用函数思想方法解决方程问题、不等式问题、最大利润问题和几何问题,提升学生解决问题的能力.在后续的学习中,还可以利用函数思想方法解决数列问题、极限问题等.在初中数学教学中,教师要重视将函数思想方法渗透于数学教学中,增强学生运用函数思想方法解决问题的意识,培养学生的逻辑思维能力,提高学生分析问题和解决问题的能力,从而提升人才培养质量.