移动车辆作用下铰接梁式浮桥的动力响应

张 军， 贺方倩

(无锡太湖学院 土木工程学院，江苏 无锡 214064)

浮桥作为一种古老又年轻的水上通道，无论在国民经济建设还是在军事交通领域中都发挥了卓越的作用。浮桥由于其结构形式多样、支撑模式种类繁多以及边界条件复杂，一直是国内外专家和学者们感兴趣的课题。浮桥的结构形式大体上可以分为两大类：桥脚分置式浮桥和带式浮桥。桥脚分置式浮桥，是由固定桥演化而来的，将固定桥的桥墩换成桥脚舟，形成分离式桥脚舟浮箱桥脚。而带式浮桥则是桥脚舟互相舭邻，舟体既是浮游桥脚，同时还是承重结构和通载桥面，无专门的上部承重结构和通载桥面系统。到目前为止国内外不少学者对其进行了研究与探索，他们运用了理论建模[1-5]、数值研究[6-10]以及试验分析[11-12]等技术手段，获得了非常有意义的研究成果。这些研究成果为浮桥的建设与发展做出了非常有益的贡献。

本文是在上述研究成果的基础上，主要针对一种特殊的结构体系浮桥——铰接梁式浮桥在移动车辆作用下的理论模型进行研究，同时考虑梁式结构的刚体位移和弹性变形，建立了多轴车辆模型进行分析与研究，以求为该类浮桥的设计、分析与研究提供技术手段。

1 模型的建立

铰接梁式浮桥属于桥脚分置式浮桥结构，其桥跨采用铰接式梁结构，分离式桥脚舟浮箱作为每一跨梁的弹性支撑，整体结构如图 1所示。这类浮桥在进行力学分析时，可以假定每一段桥跨为简支梁结构，桥跨与桥脚舟浮箱之间看成是铰连接；桥脚舟浮箱假定为刚性浮体，水体假定为理想流体，因此势流理论成立。在线性假定条件下，浮桥的结构响应可以分解为静水状态下移动荷载对浮桥的响应以及波浪等环境荷载对浮桥的响应之叠加。本文只涉及静水条件下浮桥在移动汽车荷载作用下的动力响应问题。由于汽车通过车轮将荷载传递给桥梁，因此汽车荷载的作用可以按固定间隙的多个移动荷载(轴荷)——多轴车辆模型来进行模拟。

图1 铰接梁式浮桥概图Fig.1 The sketch of a hinged-girder floating bridge

由于桥脚舟浮箱与桥跨梁之间通过铰进行连接，则桥脚舟浮箱的垂荡运动对整体浮桥的运动影响比较大，故在进行计算与分析时可以将桥脚舟浮箱的作用看成是一个具有垂向自由度的质量——弹簧系统。

考虑一个具有N跨的浮桥(具有N-1个桥脚舟浮箱)，汽车以恒定的速率在桥上移动，如果将汽车简化为多轴移动荷组，这一组移动荷载之间的间距为定值，则可参照文献[13-15]来进行研究。设多轴移动荷载组Fs(s=1,2,…,S)以同一速度v由左至右在浮桥上移动的计算模型如图 2所示。图2中坐标原点位于第一跨左端，横坐标位于空载桥跨梁的中轴线上，纵坐标垂直向下。

图2 计算模型图Fig.2 Definition of a hinged-girder floating bridge induced to a moving load

1.1 多轴车辆——铰接梁的动力学模型

为了建立铰接梁的力学模型，取第i跨铰接梁(如图 3所示)作为隔离体独立进行研究，则每一跨的梁可以看成是两端支座可垂向运动的简支梁，其整体动力响应可由刚体位移响应与弹性位移响应线性叠加而成。记第i跨铰接梁左铰点的横坐标为Xi-1，右铰点的横坐标为Xi。

图3 第i跨铰接梁的计算模型Fig.3 Definition sketch of the i-th hinged-beam

则第i跨铰接梁长度为Li=Xi-Xi-1，该段梁在S个移动荷载Fr(r=1,2,…,S)作用下的动力学模型可表述成下列偏微分方程模型

i=1,2,…,N

(1)

式中：y(x,t)为第i跨铰接梁断面x处在t时刻的位移；Fr为第r个移动荷载；v为移动荷载的速度；EIi为第i跨铰接梁的抗弯刚度；mi为第i跨铰接梁的线质量；Ci为第i跨铰接梁的阻尼系数；dr为第r个荷载距离第一个荷载的距离，当r=1时，dr=0；Ti,r为第r个荷载移动到第跨铰接梁右端的时刻，对于第一跨左端时刻标记为T0,r；δ(·)为Diract函数，存在下述关系

(2)

H(·)为Heavistide单位函数，存在下述定义

(3)

ywi(x,t)为第i跨铰接梁上断面x处梁在t时刻由于桥脚舟浮箱的运动而产生的刚体位移，可表述为

(4)

式中：Ui-1(t)为i第跨铰接梁左端铰点在t时刻的垂向位移，当i=1时，Ui-1=0；Ui(t)为第i跨铰接梁右端铰点在t时刻的垂向位移，当i=N时，Ui=0。

1.2 桥脚舟浮箱的动力学模型

由于浮箱与桥跨梁之间通过铰进行连接，因此只需要考虑浮箱的垂向运动模态，则单个浮箱的动力学方程非常简单，为单自由度垂向振动方程。对于第i个浮箱而言，其动力学方程为[16]

(5)

式中：Ui(t)为第i个浮箱在t时刻的垂荡位移，等于上述对应铰接梁铰点处的垂向位移；Mi为第i个浮箱的质量；Ri(t)为第i个浮箱的延迟函数，经过傅里叶逆变换，可得该函数与频域内的阻尼系数ηi存在下述关系

(6)

Mwi为第i个浮箱的时域附加质量，可以利用与延迟函数来进行计算

(7)

式中：μi为第i个浮箱的在频域范围内的附加质量；Kwi为第i个浮箱的静水恢复力系数，可近似表述为下述关系式

Kwi=ρgAwi

(8)

式中，Awi为第i个浮箱的平均水线面积。

移动荷载Fr所引起的第i个浮箱作用力fr,i(t)可以表示为

(9)

式中，Ts,i为移动荷载Fs位于第i个铰点的时刻。

2 总体运动方程及其求解

2.1 铰接梁的假设模态法

假设各铰接梁均为等横截面梁，则式(1)可以采用假设模态法来进行分离变量，最终将铰接梁的偏微分方程转化为常微分方程来进行求解计算。记铰接梁的弹性位移为

Yi=y-ywi

(10)

将式(10)代入式(1)，则铰接梁的动力学方程变为

(11)

引入假设模态法，则对于第i跨铰接梁，其各断面处的垂向位移为

(12)

式中，ψji(x)为第i跨铰接梁的假设模态函数，有如下表达式

(13)

j=1 , 2 , … ,J

(14)

2.2 桥脚舟浮箱动力学方程的离散化

由式(5)可见，桥脚舟浮箱为一个含有卷积积分的微分方程，直接将其与式(14)联立求解非常困难，需要对其进行简化。参考Seif等的研究采用矩形求积的方式来对式(5)中的卷积积分进行离散化。假设初始时刻桥梁及其浮箱均处于静止状态。在计算过程中，假设时间步长Δt均相等，则对于t=hΔt时刻，桥脚舟浮箱的运动方程可近似表示为

(15)

2.3 总体矩阵方程的建立与求解

将式(14)与式(15)联立，即可得到一个具有(J·N+N-1)个未知变量的二阶常微分方程组，可以写成如下矩阵形式

式中：E为J阶单位矩阵；Zi=col{z1i,z2i,…,zJi}为J阶位移列向量；U=col{U1,U2,…,UN-1}为(N-1)阶位移列向量；P=col{p1,p2,…,pN-1}为(N-1)阶荷载列向量，每一个元素可表示为

(17)

其余系数与列向量的表达式为

(18)

(19)

(20)

(21)

J×(N-1)阶矩阵W1和V1，除第1列元素如式(22)和式(23)所示外，其余元素均为0；

(22)

(23)

J×(N-1)阶矩阵WN和VN，除第(N-1)列元素如式(24)和式(25)所示外，其余元素均为0；

(24)

(25)

J×(N-1)阶矩阵Wi，Vi，(i=2,3,…,N-1)除第(N-1)列、第i列元素如式(26)～式(29)所示外，其余元素均为0；其中第(i-1)列元素为

(26)

(27)

第i列元素为

(28)

(29)

式(16)可以采用Newmark法[17]方法来求解，计算过程中时间步长与式(15)的步长相等，具体算法这里不再赘述。

3 计算算例

在宽度为200 m的河道上架设一座浮桥(如图4所示)总跨度为200 m。假设浮桥桥跨截面为等截面，其线质量为2 400 kg/m，截面抗弯刚度为2.5×109N·m2。每隔20 m布置一个矩形浮箱，桥上作用移动汽车荷载，速度为18 km/h。所有浮箱均相同，浮箱沿桥轴线方向的宽度b为2.4 m，垂直于桥轴线方向的宽度a为25 m，浮箱处于9 m深的等水深水域中，吃水T为0.6 m。浮箱的质量为9 930 kg，浮箱的静水恢复力系数kn为5.88×105N/m。由于本文中浮箱间距非常大，因此本文将不考虑浮箱与浮箱之间的耦合效应，认为各个浮箱的附加质量可以按照单浮体来进行计算分析。浮桥桥跨为钢桁架结构，桥跨沿桥轴线方向的线质量m0为2 400 kg/m，抗弯刚度EI为2.5×109N·m2。

图4 铰接梁式浮桥的计算模型Fig.4 Computational model of a hinged-girder floating bridge

考虑了两种类型的车辆荷载(如图5所示)，车辆总荷载等于所有轴压力之和。在不同的移动汽车荷载下，浮箱和梁跨中的挠度响应结果如图6～图9所示。图中，表示汽车在行驶过程中汽车前轴的位置，纵坐标表示个浮箱或各桥跨主梁的动位移时域响应曲线。计算结果表明，对于200 kN和300 kN汽车荷载作用下浮箱的位移的最大值分别为0.166 6 m和0.249 7 m。从野外实测结果来看，当200 kN和300 kN的汽车在浮桥上行驶时，中间浮箱的最大垂向位移分别为0.17 m和0.26 m，与本文的计算结果基本相符。

图5 标准车辆荷载Fig.5 Standard vehicle load

图6 200 kN汽车荷载作用下浮箱的动位移曲线Fig.6 Deflection at some pontoons under the vehicle load of 200 kN

图7 200 kN汽车荷载作用下桥跨跨中动挠度曲线Fig.7 Deflection at the middle section of girders under the vehicle load of 200 kN

图8 300 kN汽车荷载作用下浮箱的动位移曲线Fig.8 Deflection at some pontoons under the vehicle load of 300 kN

图9 300 kN汽车荷载作用下桥跨跨中的动挠度曲线Fig.9 Deflection at the middle section of some girders under the vehicle load of 300 kN

图10展示了300 kN汽车荷载作用下，浮桥在不同时刻的变形曲线，其中车辆荷载从左向右移动。结果表明，浮桥的变形曲线主要集中在与移动荷载相邻的若干跨度范围内，其余各跨的变形相对非常小。

图10 浮桥在300 kN汽车荷载作用下的变形曲线Fig.10 Deformation of the bridge subjected by the vehicle load of 300 kN

图11和图12列举了200 kN和300 kN汽车荷载在相距一定距离S的情况下，通过桥梁时，浮箱和桥跨跨中的动态位移响应曲线。图中横坐标表示第一轴(200 kN汽车前轴)的位置，纵坐标表示浮箱或桥跨跨中的位移。在间距S=25 m时，各位移曲线只有一峰值，当S依次为50 m，75 m以及100 m时，位移曲线出现了两个峰值，且随着S的增大，位移曲线的两个峰的间距也在增大，第二个峰顶的数值逐渐变小最终趋于平稳(等于300 kN汽车荷载单独作用时的峰值)，但第一个峰的大小(等于200 kN汽车荷载单独作用时的峰值)和位置则保持不变。多个车辆作用的计算结果表明，在不同间距S的情况下，各动态位移的变化规律是：随着两车间距的增大，响应最大值的峰值逐渐减小，响应逐渐分散，最终离散为单个移动汽车荷载的作用。

图11 两车不同间距下浮箱的动位移曲线Fig.11 Deflection at some pontoons with different interval between two vehicles

图12 两车不同间距下桥跨跨中的动挠度曲线Fig.12 Deflection at the middle section of some girders with different interval between two vehicles

4 结 论

本文利用梁式结构刚体运动和弹性变形线性叠加的方法建立了铰接梁式浮桥的动力学模型，引入多轴车辆模型来研究移动车辆作用下铰接梁式浮桥的动力响应问题。通过对一座10跨浮桥在移动车辆模型作用下计算分析，结果表明：

(1)计算结果与试验结果对比，说明了本文所建立的移动车辆作用下铰接梁式浮桥动力学模型能有效地分析浮桥在车辆荷载作用下的动态响应。本文的计算模型不仅能够有效模拟单个汽车荷载作用下的动力响应问题，而且适用于多个移动汽车荷载作用问题。

(2)铰接梁式浮桥在单个移动车辆荷载作用下的局部范围内桥跨和浮箱的变形比较大。计算结果表明，桥梁的变形范围主要局限于与移动车辆荷载所在桥跨相邻的若干桥跨及其相应的浮箱。

(3)本文主要是研究静水条件下铰接梁式浮桥在移动汽车荷载作用下的动力学响应问题。如果不考虑车辆荷载，仅考虑波和流对浮桥的影响，可以利用势流理论的方法获得桥脚舟浮箱的位移。然后将两者进行线性叠加，桥跨的最终位移可将本文方法获得的静水位移与波流环境下浮箱的位移所引起的刚体位移进行叠加，即可获得考虑波和流条件下的浮桥动态响应。