球轴承变柔度1/2阶亚谐共振的滞后特性及其分岔机理

朱宇杰， 张智勇,,， 陈毅恒， 芮筱亭， SATTEL Thomas， 陈予恕， 杨绍普

(1. 南京理工大学 理学院，南京 210094； 2. 南京理工大学 发射动力学研究所，南京 210094；3. 伊尔默瑙工业大学 机械工程学院，伊尔默瑙 98684； 4. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001；5. 石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043)

制造业是工业经济最重要的支柱，机械工业在制造业中的占比接近2/3，其中轴承产业直接或间接地影响着我国20万亿人民币以上规模的经济量[1]。滚动轴承由于其低阻尼、大过载和小体积等特点，是旋转机械的主要支承件和传动部件。轴承滚动体在自转的同时随保持架在滚道内绕转轴公转，不可避免地会引起轴承支承刚度时变特性，并诱发系统的变柔度(varying compliance，VC)参激振动[2-3]。一般而言，健康轴承对其支承系统振动特性的影响主要体现在弹性支承和VC时变激励两个方面[4-5]，在轴承-转子系统动力学设计过程中应充分考虑滚动轴承的激振特性。

滚动轴承被视为本质非线性机械件[6]，包含滚动体与滚道之间的Hertzian接触、轴承游隙以及VC参激等多种非线性因素，由此带来的轴承-转子系统的滞后突跳振动研究，历来属于轴承-转子动力学领域的基本科学问题[7-9]。我国现役某型军机航空发动机在高压转子前支承球轴承处就曾多次出现超过故障判据的异常突跳振动现象，导致该型军机发动机多次提前返厂修理。Sunnersjö较早分析了考虑惯性力的线弹性圆柱滚子轴承模型，发现VC振动可以给系统带来周期运动和不规则的非周期运动。Fukata等针对考虑Hertzian接触和轴承径向游隙非线性的经典两自由度轴承模型，发现系统在一阶VC共振频率区间具有亚谐、准周期和类混沌运动行为。Mevel等[10-11]对该模型进行进一步的理论和试验，探讨了球轴承VC振动通向混沌的道路，发现系统在一阶临界转速区间存在倍周期分岔失稳进入混沌运动的形式。Sankaravelu等[12]把打靶法与同伦延拓法相结合，发现滚动轴承VC振动幅频响应曲线具有滞后跳跃行为。之后，Ghafari等[13-15]也分析了滚动轴承VC滞后突跳或其双稳态现象。从Hertzian接触共振角度出发，Zhang等[16-17]采用谐波平衡-频时转换(harmonic balance and alternating frequency/time domain，HB-AFT)方法，研究发现球轴承在VC参激接触主共振区间具有软滞后和交叉滞后共振行为。随后，Jin等[18]对上述共振特性进行了试验验证。另外，Zhang等[19]指出球轴承主共振区间的倍周期分岔行为可由系统不同自由度方向上的VC参激1∶2内共振引起，并给出了一类有效的控制VC运动周期倍化的方法。上述研究主要针对滚动轴承VC主共振区间的响应特性展开。然而，根据非线性振动基本理论，参激系统往往具有丰富的主共振、内共振、超谐、亚谐和组合共振行为，因此相关工作有待深入展开。

学者们对不同类型非线性振动系统的亚谐共振及其失稳特性展开了广泛研究，在种群系统[20]、湍流演化[21]、分子动力学[22]、微机电系统(micro-electro-mechanical system，MEMS)[23]、电动力学[24-25]、能量采集[26]等领域针对亚谐共振研究取得了系列成果。就轴承转子系统而言，随着旋转机械向高速、重载和自动化方向发展，这对滚动轴承-转子系统的稳定性、安全性提出了更高的要求，促进了研究者对转子系统亚谐共振的深入研究。Ehrich[27]基于对系统有限差分方程数值积分，分析了考虑轴承游隙的转子系统弯曲振动响应特性随转速的变化规律，发现在低阻尼和强非线性情形下系统可能发生高阶亚谐振动行为。Yoshida等[28]研究了考虑重力和Hertzian非线性的非对称球轴承-Jeffcott转子系统在不平衡激励下的响应特性，文中对于Hertzian接触1.5次幂非线性支承力项采用包含线性项和三次非线性项恢复力的形式拟合替代，采用多性尺度法研究了系统的共振幅频特性，并对其稳定性进行了分析。理论和试验表明，系统在转速约为水平和垂直方向上自然频率的两倍的情况下，在重载和非重载方向分别具有软、硬滞后1/2阶亚谐共振特性。另外，该文发现系统在两个1/2阶亚谐共振区间具有组合共振特性，但未作深入研究。Bai等[29]建立了考虑球轴承Hertzian接触力、轴承游隙以及转子弯曲振动在内的六自由度非线性转子模型，利用轴心轨迹和幅频响应曲线研究了系统在不平衡激励下的亚谐共振特性，并且采用Floquet理论分析了系统响应的失稳特性，所得结果与试验数据吻合。他们指出球轴承亚谐共振是由于系统的Hertzian接触力和轴承游隙等非线性因素共同作用的结果。Hou等[30]研究了盘旋状态下非线性刚度、阻尼、偏心距和操纵负荷对飞行器转子系统共振特性的影响，发现偏心距和操纵负荷越大，触发的亚谐共振越强。Wu等[31]针对包括多个装配间隙的转子-轴承-基座系统，采用Jones-Harris方法获得了考虑预紧的角接触高速球轴承的等效非线性支撑刚度，通过建立系统的集总参数模型分析了不平衡激励和间隙对系统振动响应幅度的影响。发现系统具有亚谐滞后共振响应特性，且随着装配间隙的增加，系统的振动响应幅度和共振跳跃行为会更加突出，同时系统的共振位置向低频移动。目前为止，如上所述国内外主要针对不平衡激励下转子系统的亚谐共振特性进行了研究，并未深入分析轴承-转子系统VC参激下的亚谐共振行为。

HB-AFT方法利用AFT时域离散化技术，能够快速得到非线性项的频域信息，进而完成非线性系统的谐波平衡过程，实现对一般非线性系统稳态谐波响应的求解[32]。Kim等[33-34]为了分析多自由度、多频激励系统的准周期响应特性，发展了广义HB-AFT方法。Zhang等将同伦延拓技术嵌入HB-AFT方法，结合Hsu求解Floquet单值矩阵的离散方法，能够自动追踪非线性系统周期响应及其分岔特性。最近，Chen等[35]利用系统整体传递矩阵阶数与系统的自由度数无关的特点，给出了结合模型增量传递矩阵的谐波平衡方法，提升了谐波平衡法求解多自由度系统周期响应的效率。

本文针对球轴承VC参激亚谐共振研究甚少的现状，将以HB-AFT方法和Floquet理论为主要分析手段，深入研究球轴承系统VC参激1/2阶亚谐共振响应的触发机制、滞后跳跃特性及其分岔失稳机理，并拟探究轴承径向游隙、阻尼等系统主要参数对复杂亚谐共振行为的影响规律。

1 球轴承VC振动描述

本文采用经典的两自由度深沟球轴承模型，如图1所示。图1中的模型包含滚动体与滚道之间的Hertzian接触、轴承游隙以及VC参激等因素，已有研究表明，该球轴承-刚性Jeffcott转子模型能够较好地定性和定量反映系统径向VC振动的响应特性，特别是在轴承径向跳动分析中具有重要价值。本文所研究的JIS6306球轴承的具体规格参数，如表1所示。

图1 球轴承系统及其两自由度弹簧模型Fig.1 The ball bearing system and its two-degree-of-freedom spring model

表1 JIS6306球轴承的规格参数Tab.1 Specifications of JIS6306 ball bearing

见图1，第i个滚动体的瞬时角位置为

θi=2π(i-1)/Nb+Ωt

(1)

其中，滚动体通过角频率(即保持架转速)

Ω=ωs(1-Db/Dh)/2

(2)

则第i个滚动体与轴承套圈的接触变形表示为

δi=xcosθi+ysinθi-δ0

(3)

式中：ωs为转轴转速； 2δ0为轴承的径向游隙。

假设滚动体和滚道之间满足Hertzian点接触受力变形关系，则球轴承恢复力满足

(4)

式中，G[·]为Heavisde函数。当δi≥0时，G[δi]=1，表示第i个滚动体与滚道接触；当δi<0时，G[δi]=0，表示第i个滚动体与滚道接触失去接触。

根据球轴承恢复力式(4)，球轴承-刚性Jeffcott转子系统VC运动微分方程可表示为

(5)

滚动轴承滚动体与滚道之间具有Hertzian接触变形关系使系统可具有硬弹簧特性[36]，静载Ws作用方向上球轴承系统的近似线性化静态刚度可表示为

(6)

式中，δWs为Ws作用方向上的总体变形。

显然，式(6)并不适用于球轴承系统运转过程中动态刚度的估计。然而，滚动轴承动态刚度特性对于其支承系统的非线性响应特性具有显著的影响。根据恢复力式(4)，可近似估计系统的径向线性化动态刚度

(7)

则系统的动态共振频率(严格来说非线性振动系统不存在固有频率)表示为

(8)

则系统两自由度方向上等效共振频率ωx0，ωy0可由式(8)算术平均值来估计。

就球轴承VC参激振动而言，系统的VC参激频率与滚珠个数相关，可表示为

ΩVC=NbΩ

(9)

一般而言，参激系统可能激起丰富的共振行为[37-39]。对于本文研究对象，系统可能触发的VC参激主共振、亚谐和超谐共振的频率条件为

ΩVC≈{nωxx,mωyy, 1/jωxx, 1/kωyy}

(10)

且当n(m)=1时，系统发生VC参激主共振；当n(m)=h时，系统可能在x(y)方向上激起1/h阶亚谐共振；当j(k)=1/h时，系统可能在x(y)方向上激起h阶超谐共振。另外，系统可能触发VC参激组合共振的频率条件包含

ΩVC≈nωxx±mωyy±u/jωxx±v/kωyy

(11)

式中，h，m，n，j，k，u和v均为整数(j，k非零)，且h≠1。

值得注意的是：由于系统非线性动态刚度的滞后特性，使系统可能具有多种共振响应共存的多稳态现象[40]。

2 研究方法

对于周期激励非线性振动系统，把响应周期是系统激励周期M倍的周期解称为系统周期M解。因此，在1/M阶亚谐共振区间，系统一定具有周期M解，即包含周期M运动。下面给出本文研究式(5)的VC周期M解求解及其稳定性分析过程。

2.1 HB-AFT方法求解VC周期M响应

为了提高求解精度和效率，首先对式(5)进行时间和位移尺度的无量纲化，令τ=NbΩt/M，X=[X,Y]T=[x/δ0，y/δ0]T，则式(5)可以表示为

X″(τ)=F[X(τ),X′(τ),λ]

(12)

因本文求解系统的幅频响应曲线，令其中控制参数λ=Ω。此时，原式(5)的VC参激周期M响应，对于无量纲式(12)而言，其无量纲响应周期TVC为2π，则可把式(12)的位移X(τ)和非线性力F(·)表示为

(13)

把式(13)代入式(12)，谐波平衡可得代数关系式

g(P,Q,λ)=0

(14)

式中，X(τ)和F(·)的谐波系数表示为

(15)

式(14)由2K+1个代数方程组成，包含P，Q共计4K+2个未知谐波系数，因此不能直接求解位移响应X(τ)(即求解P)，需要首先把Q由P来表示，此过程由下述AFT技术实现。

采用反有限Fourier变换得到X(τ)的时域离散信息

(16)

由式(12)可得非线性力的时域离散信息

F(n)=F[X(n),X′(n),λ]

(17)

那么，通过有限Fourier变换可得

(18)

上述AFT过程中：Pk=ak+ibk；Qk=ck+idk；N为一个时域周期内的采样点数，且n=0, …,N-1；当n=0时，φ=1，否则φ=2。

式(18)得到了由P表示Q的关系式。设P为未知变量，接下来可通过求解非线性代数方程式(14)求得系统的X(τ)谐波解。为了避免在转向点(即折叠分岔点)迭代求解失效，并实现随控制变量λ的系统周期M解分枝的自动追踪求解，引入弧长延拓过程，把式(14)转换为

(19)

式中，s为曲线[P(s),λ(s)]的弧长变量，采用经典的预估校正法即可实现式(19)的求解[41]，这里不再累述。

2.2 VC周期M响应Floquet稳定性分析

2.1节基于HB-AFT方法可求得系统VC周期M解U*(τ)，下面基于Floquet稳定性理论[42]给出该解稳定性分析的基本过程。

设U=[X,X′,Y,Y′]T=[X1,X2,X3,X4]T，根据式(5)，可把无量纲式(12)变换为

(20)

式中，ΩM=NbΩ/M。

由式(20)，用ΔU扰动VC周期M解U*(τ)，即

[U*(τ)+ΔU]′=H[τ,U*(τ)+ΔU]

(21)

进一步可得关于扰动项的下述线性近似关系

ΔU′=∂H[τ,U*(τ)]/∂U*(τ)·ΔU

(22)

则U*(τ)的局部线性稳定性可由式(22)中ΔU的稳定性来判断。由于U*(τ)为式(20)的周期M解，则∂H[τ,U*(τ)]/∂U*(τ)同样是周期为2π的周期变系数矩阵。因此，可以采用Floquet理论对式(22)来判定系统VC周期M解的稳定特性。

借助HB-AFT方法求得的系统VC周期M解U*(τ)，采用Hsu方法可以方便计算式(20)的Floquet单值矩阵，进而判断系统的Floquet乘子(即单值矩阵的特征值，记为λm)。根据λm通过复平面单位圆的方式可知系统VC周期M解的三类基本的失稳形式：

(1) 当Floquet主乘子由+1轴越出单位圆时，系统周期响应可能发生折叠分岔、跨临界分岔和对称破缺分岔，其中折叠分岔仅在系统周期轨线转向点位置出现；

(2) 当Floquet主乘子由-1轴穿出单位圆时，系统周期响应发生倍周期分岔；

(3) 当Floquet共轭乘子离开单位圆时，周期响应发生二次Hopf分岔。

3 结果与讨论

3.1 VC参激1/2阶亚谐共振的触发机制及其分岔特性(δ0=1.2 μm，c=200 N·s/m)

在轴承径向间隙δ0=1.2 μm时，以保持架转速Ω为控制参数，如图2所示，采用嵌入弧长延拓的HB-AFT方法可追踪系统的VC周期1和周期2解分枝。利用式(8)预测系统x，y两自由度方向的等效主共振频率ωx0，ωy0分别为1 910.1 rad/s，1 331.4 rad/s，则由式(9)可知，系统两自由度的VC参激主共振频率分别为ωx0/Nb=238.761 4 rad/s和ωy0/Nb=166.424 4 rad/s。因此，图2区域a-a和b-b分别是系统x，y方向的VC主共振区间。此时，系统在两个主共振区间分别表现出软的滞后共振和交叉共振行为，这与已有的理论和试验结果一致。同时，系统在两倍的参激主共振频率477.522 8 rad/s和332.848 8 rad/s附近再次触发共振响应，由此可预测c-c和d-d区间的共振峰分别为系统在x，y方向的1/2阶VC亚谐共振区间。

图2 x(黑线)、y(灰线)方向稳定(实线)和不稳定(虚线)的VC周期解频响曲线Fig.2 Stable (solid) and unstable (dashed) VC periodic frequency-response curves in x (black line) and y (gray line) direction

就亚谐共振分岔特性而言，系统在y方向1/2阶亚谐共振区间依然表现出交叉共振滞后特性，如图3所示。由Floquet稳定性分析可知：稳定的VC周期1解分枝的主Floquet乘子在点A1，如表2所示，点A2通过-1轴离开单位圆，由超临界倍周期分岔失稳激起VC周期2解分枝，进而触发y方向1/2阶亚谐共振；稳定的VC周期2解分枝的主Floquet乘子在点A3，如表3所示，点A4穿过+1轴离开单位圆，导致系统由折叠分岔失稳发生滞后跳跃行为。例如，随着控制参数Ω的增加，稳定的周期2解分枝在折叠分岔点A4突跳至稳定的周期1解分枝点A5的位置。随着转速Ω的增大，如图4和图5所示，系统VC周期1解分枝分别在点B1和点B2由亚临界和超临界倍周期分岔触发周期2解分枝，进而激起x方向上的1/2阶亚谐共振响应，此时的VC周期2运动幅频响应曲线向左偏，表现出软的滞后共振特性，这与x方向主共振区间的滞后特性是一致的。另外，在x方向上1/2阶亚谐共振区间，稳定的周期2解分枝在点B3由超临界周期倍化失稳产生周期4解分枝，之后周期4解分枝同样由超临界周期倍化在点B4触发周期8解分枝，而周期8解分枝随着Ω的减小在点B5由折叠分岔发生了滞后跳跃行为。总之，1/2阶亚谐共振响应是由倍周期分岔失稳激起的，且与不同自由度方向上的主共振响应的滞后特性相同。上述结果与采用极值法[43]绘制的数值分岔图是吻合的，如图6所示。

图3 y方向1/2阶亚谐共振区间y(τ)的频响曲线Fig.3 Frequency-response curves of y(τ) in y direction 1/2 order subharmonic resonance

表2 周期1运动分支在点A1附近的 Floquet 乘子λmTab.2 Period-1 motion Floquet multipliers λm around A1

表3 周期2运动分支在点A3附近的 Floquet 乘子λmTab.3 Period-2 motion Floquet multipliers λm around A3

图4 x方向1/2阶亚谐共振区间x(τ)的频响曲线Fig.4 Frequency-response curves of x(τ) in x direction 1/2 order subharmonic resonance

图5 x方向1/2阶亚谐共振区间y(τ)的频响曲线Fig.5 Frequency-response curves of y(τ) in x direction 1/2 order subharmonic resonance

图6 当δ0= 1.2 μm时，响应的数值分岔图，其中黑点、灰点分别为Ω向上、向下扫频的数值积分结果Fig.6 For δ0 =1.2 μm, numerical bifurcation diagrams, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)

就响应特性而言，在y方向1/2阶亚谐共振区间，如图7所示，当Ω=340 rad/s时，系统时间历程具有显著的VC周期2运动特性，y(τ)相对于x(τ)表现出更大的1/2亚谐成分，此时两自由度方向并未发生强烈的耦合振动(见图2d-d区间)。在x方向1/2阶亚谐共振区间，稳定的B1-B3周期2解分枝在两自由度方向未发生强烈的耦合振动，故只有x(τ)表现出显著的VC周期2运动特性(见图4和图5)。显著不同的是：系统两自由度方向在B3-B4周期4和B4-B5周期8解分枝上发生了强烈的耦合共振，此时y方向振动幅度显著增加。对于B3-B4分枝，如图8所示，当Ω=440 rad/s时，系统VC响应在x方向依然表现出周期2运动行为，此时却在y方向激起强烈的VC周期4运动特性，展现出如Zhang等研究所示的1∶2耦合VC参激内共振响应特征。另外，对于稳定的VC周期8运动B4-B5分枝而言，如图9所示，当Ω=410 rad/s时，系统VC运动在x方向依然表现出周期2响应行为，但在y方向表现出了显著的VC周期8运动特性，此时系统发生了较为强烈的1∶4耦合参激内共振行为。

图7 当Ω=340 rad/s时，x(τ)和y(τ)的时间历程和频谱图Fig.7 For Ω=340 rad/s, time series and frequency spectrum of x(τ) and y(τ), respectively

图8 当B3-B4解分枝Ω=440 rad/s时，响应的时间历程和频谱图Fig.8 For Ω=440 rad/s, time series and frequency spectra on B3-B4 solution branch

图9 当B4-B5解分枝Ω=410 rad/s时，响应的时间历程和频谱图Fig.9 For Ω=410 rad/s, time series and frequency spectra on B4-B5 solution branch

就共振类型而言，除了上述1/2阶VC参激亚谐共振响应，系统在两自由度方向上发生耦合，还触发了显著的VC参激组合共振行为。稳定的VC周期1解分枝(系统出现共轭Floquet乘子穿出了单位圆情形，如表4所示)在点B6和点B7由亚临界和超临界二次Hopf分岔失稳，因此在点B7激起稳定的VC准周期运动分枝(见图5和图6)。例如，在失稳的B6-B7周期1解分枝Ω=410 rad/s位置上，如图10所示，因对应的VC准周期运动包含不可约频率成分，响应轨迹的Poincare映射为封闭点集。此时，无量纲频率成分p≈0.586，q≈0.414，因无量纲VC激励周期为2π(见2.1节)，显然p+q=1为系统的VC激励频率。而在原时间尺度下p，q对应的频率值分别为Nb·Ω·p≈1 922.08 rad/s，Nb·Ω·q≈1 357.92 rad/s，接近前文所述系统两自由度方向等效主共振频率ωx0=1 910.1 rad/s，ωy0=1 331.4 rad/s。因此，可以推断wx+ωy=ΩVC型组合共振是系统发生VC准周期运动分枝的内在机理，这属于参激组合共振的一类基本特征[44-45]。

表4 周期1运动分支在点B7附近的Floquet乘子λmTab.4 Period-1 motion Floquet multipliers λm around B7

图10 当B6-B7解分枝Ω=410 rad/s时，响应的频谱和轨迹图Fig.10 For Ω=410 rad/s, frequency spectra and orbit on B6-B7 solution branch

3.2 径向游隙对VC参激1/2阶亚谐共振的影响

游隙作为轴承的基本参数，对于滚动轴承的寿命、安装和热胀容量等具有重要的影响。由于其对轴承刚度能够产生调节作用，下面将探讨轴承径向游隙δ0对系统亚谐共振行为的影响。当δ0=10 μm时，如图11和图12所示，由于系统y方向主共振位置e-e与x方向两倍超谐共振位置f-f接近，因此，可能激起的y方向1/2阶亚谐共振的频率区间会与x方向主共振位置叠加，这导致x方向主共振位置稳定的周期1解在点C1和点C2由亚临界倍周期分岔衍生出大范围的周期2解分枝；另一方面，系统在x方向主共振区间附近还激起了两个VC周期2封闭解分枝，其在y方向的振动峰值大于x方向的振动峰，即展现出y方向1/2阶亚谐共振的响应特性。此时，系统x方向在点C3和点C4由倍周期分岔激起的具有软滞后特性的1/2阶亚谐共振区间变大，随着控制参数Ω的减小，稳的1/2亚谐共振响应在点C5由亚临界倍周期分岔失稳跳跃至封闭的VC周期4共振分枝C8-C9。周期4共振分枝C8-C9在y方向的共振峰幅度显著，再根据其触发位置可以认为是y方向1/4阶亚谐共振响应的体现，上述分析结果与数值分岔图13吻合。

图11 当δ0=10 μm，c=200 N·s/m时，x(τ)频响曲线Fig.11 For δ0=10 μm and c=200 N·s/m, frequency-response curves of x(τ)

图12 当δ0=10 μm，c=200 N·s/m时，y(τ)频响曲线Fig.12 For δ0=10 μm and c=200 N·s/m, frequency-response curves of y(τ)

图13 当δ0=10 μm，c=200 N·s/m时，x的数值分岔图，其中黑点、灰点分别为Ω向上、向下扫频的数值积分结果Fig.13 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, numerical bifurcation diagramsof x, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)

图14 当δ0=10 μm，c=200 N·s/m，Ω=390 rad/s时，周期1、周期2和周期4多解共存响应特性Fig.14 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, Ω=390 rad/s, coexistence of period-1 motion, period-2 motion and period-4 motion

图15 当δ0=10 μm，c=200 N·s/m，Ω=326 rad/s时，响应的频谱和轨迹Poincare映射图Fig.15 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, Ω=326 rad/s, frequency spectra and Poincare mapping of orbit of response

就参数影响规律而言，如图16所示，对于x方向VC参激1/2阶亚谐共振，随着阻尼的增大亚谐共振失稳区间有减小的趋势。相比而言，轴承径向游隙对此类型亚谐共振触发位置具有显著的调控作用，如图17所示，随着轴承间隙逐渐减小(δ0取20.0 μm，10.0 μm和1.2 μm)，系统x方向1/2阶亚谐共振失稳区间向高频移动，且VC周期1运动上触发亚谐共振的亚临界和超临界倍周期分岔点之间逐渐靠近。因此，可推测当轴承径向游隙δ0减小到一定阈值时，x方向1/2阶亚谐共振可得到抑制。当δ0=1.0 μm时，x方向1/2阶亚谐共振并未触发，如图18所示，这与数值分岔图19的结果吻合。此时，系统在分岔点D3和D4之间由亚临界和超临界二次Hopf分岔失稳同样激起了ωx+ωy=ΩVC型组合共振响应。整体而言，对比图2、图11和图18可以发现，随着轴承间隙的变小，系统的复杂共振响应行为能够得到很好的抑制。

图16 当δ0=10 μm时，阻尼c对1/2阶亚谐共振x(τ)频响的影响Fig.16 For δ0=10 μm, influence of damping c on x(τ) frequency-response curves of 1/2 order subharmonic resonance

图17 当c=200 N·s/m时，径向游隙δ0对1/2阶亚谐共振x(τ)频响的影响Fig.17 For c=200 N·s/m, influence of radial clearance δ0 on x(τ) frequency-response curves of 1/2 order subharmonic resonance

图18 当δ0=1.0 μm，c=200 N·s/m时，x(黑线)、y(灰线)方向VC周期解频响值曲线Fig.18 For δ0=1.0 μm, c=200 N·s/m, VC periodic frequency-response curves in x (black line) and y (gray line) direction

图19 当δ0=1.0 μm，c=200 N·s/m时，响应的数值分岔图，其中黑点、灰点分别为Ω向上、向下扫频的数值积分结果Fig.19 For δ0=1.0 μm, c=200 N·s/m, numerical bifurcation diagrams, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)

4 结 论

本文针对包括Hertzian接触、轴承径向游隙和VC参激非线性的球轴承模型，采用HB-AFT方法结合Floquet稳定性理论，研究了球轴承VC参激1/2阶亚谐共振的触发机制及其滞后响应特性。发现在VC参数激励下，系统可在两自由度方向上由亚临界、超临界倍周期分岔失稳激起1/2阶亚谐共振行为。指出不同自由度方向上触发的1/2阶亚谐共振响应的软、硬滞后类型与其对应的主共振滞后类型一致。研究表明，由于共振响应的滞后性，系统可能存在不同共振类型共存的响应区间，使系统VC振动可能具有丰富的滞后突跳、多解共存乃至耦合内共振行为，这会对轴承的寿命乃至其支承转子系统运行的稳定性和安全性带来潜在的影响。分析指出随着轴承径向游隙的减小，系统1/2阶亚谐共振失稳区间向高频移动且逐渐变小。因此，合理地选取轴承游隙能够有效地调节亚谐共振的触发位置和共振幅度。整体而言，随着径向游隙的变小，系统的复杂共振响应行为能够得到很好的抑制。此外，研究发现VC参激还可由二次Hopf分岔失稳触发系统的组合共振行为，由于不同自由度方向上的耦合作用，系统的组合共振响应具有显著的准周期乃至混沌振动现象。

总之，对于滚动轴承这类型时变刚度参激系统，在其动力学设计过程中应充分考虑系统可能触发的超谐、亚谐、内共振以及组合共振行为。本文对于滚动轴承复杂非线性振动响应行为的演化机制研究具有一定的参考意义。