一道数学例题的改编及学习启示

顾以浩

数学作为一门重要的基础学科存在于我们的学习与生活中，而例题作为数学学习必不可少的重要环节，能有效地促进思维的发展与解题能力的提升。下面老师以教材里的一道例题为源头进行再造，希望对同学们的学习有所启示。

【教材原題】（苏科版数学教材九年级下册第117页习题3）如图1，护林员在离树20m的A处观测树顶的仰角为35°，已知护林员的眼睛离地面1.6m。求树的高度（精确到0.1m）。

【教材再造】测量是人们日常生活和生产中一种常见的活动，也是人的一种技能，能充分展现数学价值所在，也容易让人获得成功的情感体验。在研究完这个问题后，我们不妨思考，当我们手边的测量工具有测角仪和卷尺，如何设计方案测量旗杆的高度呢？下面展示4种方案供大家参考。

方案1 如图2，在C处用测角仪测得旗杆顶A的仰角∠ADE为α，并测得BC的长为bm，已知测角仪高CD为am，则旗杆AB高度为（btanα+a）m。

【方案解析】因为在Rt△ADE中，AE=btanα，在矩形DEBC中，BE=CD，

所以AB=AE+EB=AE+CD=btanα+a。

方案2 如图3，在C处用测角仪测得旗杆顶A的仰角∠ADE为α，在F处测得旗杆顶A的仰角∠AGE为β，且点B、C、F在同一直线上，并测得CF的长为bm。利用方程的思想，设AE长为xm，利用等量关系GE-DE=b来列出方程[xtanβ][-xtanα]=b，进而求得x=[btanαtanβtanα-tanβ]。已知测角仪高CD为am，则旗杆AB高度为（[btanαtanβtanα-tanβ]+a）m。

【方案解析】因为在Rt△ADE中，DE=[AEtanα]，在Rt△AGE中，GE=[AEtanβ]，

又GE-DE=b，即[AEtanα][-AEtanβ]=b，

从而解得AE=[btanαtanβtanα-tanβ]。

再由矩形性质得到GF=BE，所以AB=AE+BE=AE+GF=（[btanαtanβtanα-tanβ]+a）m。

方案3 如图4，在C处用测角仪测得旗杆顶A的仰角∠ADE为α，测得旗杆底B的俯角∠EDB为β，已知测角仪高CD为am，则旗杆AB高度为a（[tanαtanβ]+1）m。

【方案解析】因为在矩形DEBC中，BE=CD，

在Rt△BDE中，DE=[BEtanβ]=[atanβ]，

在Rt△ADE中，AE=DEtanα=[atanαtanβ]，

所以AB=AE+BE

=[atanαtanβ]+a=a（[tanαtanβ]+1）m。

方案4 如图5，在D处用测角仪测得旗杆顶A的仰角∠ADE为α，测得旗杆底B的俯角∠EDB为β，已知测角仪与旗杆的距离DE为am，则旗杆AB高度为a（tanα+tanβ）m。

【方案解析】在Rt△BDE中，

BE=DE·tanβ=atanβ，

在Rt△ADE中，AE=DEtanα=atanα，

所以AB=AE+BE=atanβ+atanα

=a（tanα+tanβ）m。

【方法总结】“解直角三角形”是三角函数应用类问题的基本模型，“解直角三角形”又是三角函数概念与方程思想的综合应用。我们应利用分类讨论思想，抽象出解直角三角形的两个基本图形，如图6。我们通过大量的实践可以发现，测量类以及航海类问题都可以通过添加辅助线合理构造一至两个直角三角形，利用这两个基本图形加以解决。

（作者单位：江苏省南京市竹山中学）