相似三角形在函数问题中的应用

姜艳

在2021年各地的中考数学试题中，相似三角形在函数中的应用是中考的热点。解决这类问题需要弄清相似三角形的判定与性质，函数表达式的求法、图像和性质。下面分析几道中考题，相信聪明的你一定会受到启发。

一、反比例函数中的相似三角形

例1 （2021·江苏宿迁）如图1，点P是函数y=[k1x]（k1>0，x>0）的图像上的一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=[k2x]（k2>0，x>0）的图像于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1>k2，CD∥AB吗？为什么？

【分析】设P（a，[k1a]），分别求出A、B、C、D的坐标，得到PD、PB、PC、PA的长，判断[PDPB]和[PCPA]的关系即可。

解：CD∥AB。

由PA⊥x轴，PB⊥y轴，点P在y=[k1x]上，点C、D在y=[k2x]上，可设P（a，[k1a]），则C（a，[k2a]），

A（a，0），B（0，[k1a]），令[k1a]=[k2x]，则x=[k2ak1]，即

D（[k2ak1]，[k1a]），PC=[k1a][-k2a]，PD=a[-k2ak1]=[a（k1-k2）k1]，∴[PDPB]=[k1-k2k1]，[PCPA]=[k1-k2k1]，∴[PDPB]=[PCPA]，又∠DPC=∠BPA，∴△DPC∽△BPA，∴∠PDC=∠PBA，∴CD∥AB。

【感悟】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是设特殊点的坐标，得其他点的坐标，从而求线段长，再利用两边对应成比例且夹角对应相等，判定两个三角形相似。

二、二次函数中的相似三角形

例2 （2021·江苏无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=ax2+2x+c的图像过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴，交BC于点F，交二次函数y=ax2+2x+c的图像于点E。

（1）求二次函数的表达式;

（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度。

【分析】（1）如图2，由y=-x+3得B（3，0），C（0，3），代入y=ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y=-x2+2x+3;

（2）由y=-x2+2x+3得A（-1，0），OB=OC，AB=4，BC=[32]，故∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，-m2+2m+3），则F（m，-m+3），EF=-m2+3m，CF=[2]m，然后分△ABC∽△CFE和△ABC∽△EFC两种情况讨论。

解：（1）在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），

C（0，3）代入y=ax2+2x+c，得[0=9a+6+c，3=c，]解得[a=-1，c=3，]∴二次函數的表达式为y=-x2+2x+3。

（2）如图3，在y=-x2+2x+3中，令y=0，得x=3或x=-1，∴A（-1，0）。∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，AB=4，BC=[32]，∴∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°。∵C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，∴B和F为对应点，设E（m，-m2+2m+3），则F（m，-m+3），∴EF=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m。过点F作FN⊥CO于点N，则在Rt△CNF中，FN=m，CN=OC-ON=3-（-m+3）=m，∴CF=[m2+m2]=[2]m。

①当△ABC∽△CFE时，[ABCF]=[BCEF]，

∴[42m]=[32-m2+3m]，

解得m=[32]或m=0（舍去），

∴EF=[94]。

②当△ABC∽△EFC时，[ABEF]=[BCCF]，

∴[4-m2+3m]=[322m]，

解得m=0（舍去）或m=[53]。

∴EF=[209]。

综上所述，EF的长度为[94]或[209]。

【感悟】分类讨论是重要的数学思想，它在相似三角形中也有广泛的应用。在解决相似三角形问题时，两个三角形相似，如果用“∽”符号表示，两个三角形的三个顶点对应关系唯一且确定;如果用汉字“相似”表示，往往需要根据题意先确定两个三角形的一对顶点对应，再分类讨论。

（作者单位：江苏省苏州市吴中区石湖中学）