2021年高考概率与统计试题评析

●程雪莲，赵思林

根据《中国高考数学评价报告》可以知道，2021年高考数学全国卷命题落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向。概率与统计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，也是高中数学课程内容的重要部分。概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析。概率与统计不仅是高中必修的内容， 也是大学学习概率与统计的基础。在高考中， 概率与统计占有不可或缺的地位。本文对2021年全国高考数学试卷中的概率与统计试题进行评析。

一、高考试卷考查“概率与统计”试题统计

2021年全国高考卷包括全国甲卷（原有的全国III卷）文理科各一套、全国乙卷（原有的全国I、II卷合并）文理科各一套、新高考I卷（新课标I卷）、新高考II卷（新课标II卷），其中全国甲、乙卷共计23题，必做22题；新高考I、II卷不分文理科，共计22题。每套试卷都对概率与统计的知识进行了考查，现将6套试卷中考查概率、统计知识的试题按照题型、分值、考查内容、交汇章节及难度进行统计，结果如表1所示。

表1 2021年全国高考数学各套试卷考查概率、统计知识的试题统计

由表1可知，全国甲卷和乙卷文、理科对概率、统计的考查题型有选择题和解答题两种，其分值分别为10分、12分，总分值为22分，占试卷总分的14.6%；乙卷文、理科对概率、统计的考查题型有选择题和解答题两种，其分值分别为5分、12分，总分值为17分，占试卷总分的11.3%；新高考I、II卷对概率、统计的考查题型有单选题、多选题和解答题三种，其分值分别为5分、5分、12分，总分值为22分，占试卷总分的14.6%。

通过对试卷考查内容进行分析，可以发现6套试卷考查的概率与统计的知识涉及几何概型、古典概型、频率分布直方图、样本估计总体、数据的数字特征(平均数、中位数、标准差、极差)、2×2列联表、分层抽样、计数原理、组合、独立事件概率乘法公式、独立性检验、离散型随机变量的分布列，内容多，覆盖面广。2021年的高考数学试题结构稳中出新，大题布局动态调整。在概率与统计方面的考查体现为概率、统计题目位置提前至17题，考查数据分析及应用，难度较往年有所降低，重在考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力[1]。

二、2021年高考考查概率与统计的试题与评析

（一）随机事件的独立性

随机事件的独立性需要在有限样本空间中实现，是指对两个随机事件之间如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响的关系的描述。

以新高考卷I第8题为例，该题以有放回的随机取球事例为背景，考查独立事件的定义。题目中对事件甲、乙、丙、丁的描述中，只有事件甲和事件丙互不影响其发生的可能性，且满足P（甲丙）=P（甲）P（丙）的关系，故选A。

（二）几何概型

几何概型是几何中长度、面积或体积与概率形成的概率模型，即是指每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。几何概型具有无限性和等可能性的特征。2021年高考数学对几何概型与随机事件的独立性的考查，体现了数学的严谨性、简洁性、概括性的特点。

例1（全国乙卷理科第8题）在区间(0，1)与(1，2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为（ ）。

评析：以全国乙卷理科第8题和全国乙卷文科第7题（略）为例，这两道题直接考查几何概型，注重考查学生的数据分析和数学运算素养。其中全国乙卷理科第8题难度较大，此题可理解为求x+y>的概率，通过画图，利用线性规划的知识求得两数之和大于的概率为，故选B。全国乙卷文科第7题的解答关键在于明确事件A“取到数小于”对应范围，再利用几何概型公式求得P（A）=，故选B。

（三）频率分布直方图

频率分布直方图是以图表展示统计信息的一种统计方式，能够直观地表示出大量的数据信息，是一种常用、有效的统计模式。

以全国甲卷文、理科第2题为例，该题以我国脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景， 通过图表给出了某地农户家庭收入情况的抽样调查结果， 考查频率分布直方图的基础知识和考生分析问题和数据处理的能力， 体现了高考对社会与经济发展的关注。解答该题需利用频率分布直方图中频率的求解方法判断出A、B、D选项是正确的， 运用平均数的算法得到平均值为7.68万元，超过了6.5万元，所以选项C错误，故答案选C。

（四）数据的数字特征(平均数、中位数、标准差、极差)

数据的数字特征是统计的重要内容，2021年高考注重对数据的数字特征的考查。

例2（新高考卷I第9题多选题）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组样本数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1,2,…,n），c为非零常数，则（ ）。

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

评析：本题是一道考查数据的数字特征的典型题，改变相对固化的试题形式以多选题的形式呈现，注重考查和发展学生的开放性思维，减少死记硬背和“机械刷题”现象。解答该题需要正确运用4个数字特征(平均数、中位数、标准差、极差)的基本概念和统计意义。利用yi与xi存在的关系yi=xi+c（i=1,2,…,n）可以知道两组样本数据的样本平均数和中位数都不相同，故选项A、B 错误；再利用标准差和极差的计算公式可以求得两组样本数据的样本标准差和极差相同，故选项C、D 正确。

此外，全国乙卷文理科第17 题以芯片生产中的刻蚀速率为原型，考查平均数和方差在现实生产生活中的运用，同时考查考生理论联系实际的能力。解答（1）问关键是能够运用平均数和方差的计算公式进行计算， 分别求得0.4；解答第（2）问可以利用来判断设备生成产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高。

（五）2×2列联表、频率、独立性检验

2×2列联表、频率和独立性检验是概率与统计的重要内容，将三者综合考查体现了对学生基础知识的要求，也体现了对学生建立数学模型、分析与处理数据、数学运算等关键能力的考查，倡导学生理论联系实际，学以致用。

例3（全国甲卷文、理科第17题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量， 分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表2所示。

表2

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：K2=

表3

评析：本题以社会生产中的机床生产为背景设计问题，综合考查2×2 列联表、频率、独立性检验的概率统计知识，解答第（1）小问需运用频率的计算公式求得甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是；解答第（2）小问需要利用K2的计算公式求得K2≈10.265， 并与表格中的相应数据作比较，得K2>k=6.635，从而得到结论：有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

（六）离散型随机变量及其分布列、相互独立事件概率乘法公式、期望

离散型随机变量及其分布列可以一一列举出随机变量及其发生的概率，进而得到概率分布列，有利于分析数据； 相互独立事件概率乘法公式可以反映独立事件发生的概率； 期望综合了随机变量的取值和取值范围的概率，反映随机变量的平均水平。

例4（新高考卷I第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答， 无论回答正确与否，该同学比赛结束，A类问题中的每个问题回答正确得20分， 否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？ 并说明理由。

评析：本题以“一带一路”知识竞赛为背景，是一道具有阅读理解型问题特征的题目，综合考查考生对概率统计基本知识的理解与应用、学生对信息的梳理能力、对数据的处理能力。利用离散型随机变量及其分布列的定义和计算方法可以得知X可取0、20、100，求得，P（X=100）=，再填入分布列表格即可求得第（1）小问；要解答第（2）小问，需要利用期望的计算公式，分别求得回答A类问题的期望和回答B类问题的期望，进行比较后得到E（X）

例5（新高考II卷第21题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来， 设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=i）=pi（i=0,1,2,3）。

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1 时，p=1，当E（X）>1时，p<1；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义。

评析：本题以生物学科中微生物群体的繁殖存活率为背景考查概率知识的应用以及对数据结论实际意义的理解，还考查了一元三次方程，体现了学科与学科之间的交叉性，旨在培养和形成学生尊重事实的科学态度和质疑求真的科学精神。解答第（1）小问只需将数据代入期望的计算公式即可求得E（X）=1；解答第（2）小问需将方程的求解转化为求解函数f（x）=p0+（p1－1）x+p2x2+p3x3的相关问题，运用求导和函数的单调性证明E(X)与p的关系。即当x∈（0,1）时，f′（x）<0，则f（x）单调递减，又因为f（1）=0，所以当x∈（0,1）时，f（x）>0，即当E（X）≤1 时，X≤3，p=1；当E（X）>1 时，X>3，p<1，得证。第（3）小问的解答需要根据第（2）问的信息，当E（X）≤1 时，X≤3，p=1；当E（X）>1 时，X>3，p<1， 从而得到该种微生物繁殖三代以上后开始临近灭绝。

（七）排列组合、古典概型

例6（全国甲卷理科第10题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）。

评析：本题是考查排列组合，问题描述简洁统一，具有高度的严谨性，重在考查学生的数据分析能力和运算能力，要求学生把握数学语言，理解数学。解答时需先把位置依次标号为1-6，先计算总共的排法，有15种，再计算符合条件的排法有10种，故算得2个0不相邻的概率为，故选C。全国甲卷文科第10题与此题是同一类型，其解答思路与此题一致，可算得共有10种排法，符合题意的有6种，所以所求概率为0.6，故选C。

例7（全国乙卷理科第6题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）。

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

评析：本题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，弘扬体育精神，关注志愿者劳动。本题主要考查排列组合、学生的逻辑推理能力和运算求解能力，强化学生的理性思维。解答该题时可“先选再排”，共有=240种，故选C。

2021年高考试题注重考查概率与统计的基础知识，试题的情境真实、设问灵活、难度适中，注重考查随机思想和统计方法等数据分析和处理素养。

概率与统计是实施情境教学的好素材。概率、统计教学极易设置“学科数学育人”的好情境。“学科数学育人”情境的设置容易渗透中华优秀传统文化、“五育”并举教育目标、新时代的中国精神，以帮助学生形成正确的“三观”。