高考数学试题情境分析与教学建议——以2020年高考数学全国卷II理科为例

●刘子丽，谢发超

素养的形成和情境有密不可分的联系。数学学科核心素养是在复杂的、综合化的情境中，通过个体与情境的有效互动而生成的[1]。高考评价体系也指出，要通过课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境三类数学试题情境和情境活动来实现考查内容和考查要求。因此，无论是数学学科教学，还是数学命题，情境都是至关重要的载体。以下拟对2020年高考数学全国卷Ⅱ理科试题从情境视角进行分析，并提出教学实践建议。

一、试题情境的命制关注了数学文化育人的价值

2020年高考数学全国卷Ⅱ理科在保持数学课程学习情境试题占一定比例的前提下，增加了探索创新情境与生活实践情境的试题比例，更加关注试题情境的育人价值。具体体现在以下几个方面。

（一）发挥数学文化试题情境的育人功能，渗透德育

2020年高考数学全国卷Ⅱ，以落实立德树人为根本任务，在培育学生数学学科核心素养的视域下，充分发挥数学文化试题情境的育人功能，渗透德育。

例1（第3题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

评注：本题属于生活实践情境，以新冠肺炎期间志愿者参加超市配货为背景， 从基础性和应用性的层次上考查概率问题必备知识，以及运算求解能力、逻辑思维能力等关键能力和数学文化、数学应用等学科素养。试题设置的配货情境，从数学角度对现实生活的问题进行再现，反映我国全民团结一致、众志成城，抗“疫”防控的决心，增强学生社会责任感和爱国主义情怀，体现了对德育的渗透和引导。

（二）发挥数学文化试题情境的美育功能，渗透美育

我国教育的目的是培养德、智、体、美、劳全面发展的社会主义接班人，美育能够让学生去发现美、感受美、鉴赏美和创造美。

例2（第4题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）。

A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块

评注：本题属于生活实践情境，以计算北京天坛圜丘坛铺设的石板数量为背景，从基础性和应用性的层次上考查等差数列的通项与求和公式必备知识，以及运算求解能力、逻辑思维能力等关键能力和数学文化、数学应用等学科素养。试题设置的北京圜丘坛的情境贴近生活，反映了我国古代的文明成就，有利于激发学生对中华传统建筑的热爱，增强民族自豪感，同时感受数学的对称美、和谐美。

二、试题情境的命制突出了理性思维，考查关键能力

从试题中可看到，无论是课程学习情境试题还是探索创新情境和生活实践情境试题，都突出了对学生理性思维和关键能力的考查。通过让学生在具体的情境中对已有知识与方法的回忆、再现、关联、应用，感悟数学的本质，体会数学的基本思想与方法，积累数学基本活动经验。

例3（第12题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0-1 序列a1a2…an…，C(k)=是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是（ ）。

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

评注：本题属于数学探索创新情境，以通信技术、周期序列为背景，从综合性和应用性的层次上要求判断试题给出的4个周期序列是否满足题设条件；从创新性的层次上考查学生对新概念的理解、试验探究能力， 创新能力和逻辑思维能力等关键能力，以及数学探究、理性思维等学科素养。

三、试题情境的命制注重了数学探索和数学应用

在2020年高考数学全国卷Ⅱ理科试题情境中，探索创新情境和生活实践情境试题共计约有26%的题目重点考查了数学探索和数学应用学科素养。主要在综合性、应用性和创新性的层次上考查已有知识与方法的迁移和拓展； 让学生在数学探索创新情境中，利用已有的数学知识和经验，主动探索、发现素材中隐含的知识与方法的关联， 通过对材料的分析， 对相关方法创造性的迁移和运用， 提高实践能力，提升创新意识。

例4（第14题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种。

评注：本题属于生活实践情境，以垃圾分类宣传活动为背景，设计了计数问题的情境，从综合性和应用性的层次上考查学生对排列组合计数原理、分组分配必备知识，以及逻辑思维能力和运算求解能力等关键能力，数学应用、数学探索等学科素养。试题设置的分配情境，要求学生能利用数学知识解决生活中的实际问题，感受数学的应用价值，同时向学生渗透关注环境保护、爱护大自然的意识。

例5（第18题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块， 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得=9000，=800。

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计， 请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

附：相关系数

评注：本题属于数学探索创新情境，以沙漠治理和动物保护为背景， 从应用性和创新性的层次上考查统计中平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取必备知识， 考查学生分析和解决问题的能力、数据处理的能力，以及运算求解、逻辑思维和创新关键能力，数学应用、数学探索等学科素养。试题设置的植物覆盖面积与野生动物数量关系的情境， 可让学生在用统计知识解决实际问题的过程中体会用样本估计总体的统计思想， 体会数学知识在实际科研问题中的应用， 同时引导学生保护生态环境，体现了“立德树人”的教育理念。

四、教学建议

2020年高考数学全国卷Ⅱ理科试题情境，以落实立德树人为根本任务，紧密联系社会实际，通过设置真实的问题情境，关注数学文化育人的价值；突出理性思维，考查关键能力；注重数学探索和数学应用，着重考查了高考数学的必备知识、关键能力和学科素养，充分发挥数学学科在深化中学课程改革中的引导作用。在实际教学中，我们应重点关注以下几点：

（一）注重“情境教学”的理论学习与教学实践

情境试题和情境教学的功能一致，都能让学生在利用数学解决实际问题的过程中，认识数学的本质，促进学生学科核心素养的形成和发展。数学学科核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的。在实际教学中，我们应当注重情境教学的理论学习并结合教学的任务， 思考相应素养在情境教学中的孕育点、生长点，设计贴近时代、贴近社会、贴近生活，切合学生实际的情境和问题，引导学生用数学的眼光去观察现象、发现问题，并用数学的思想和方法解决问题。

（二）注重“情境试题”的命制与练习

在命题中，选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体，情境试题对测试学生核心价值、学科素养、关键能力、必备知识具有重要价值。

在实际教学中，应注重“情境试题”的命制与练习。

情境试题的命制应从数学本质出发，突出理性思维、数学探索、数学应用、数学文化的引领作用，设计自然、合理，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识；情境试题的练习，应从学生的认知特点出发，教会学生数学式阅读，能从不同背景中提取有效的数学信息，建立数学模型，积累解决实际情境问题的经验。

（三）关注数学文化在“情境教学”“情境试题”中的育人价值

数学是人类文明的重要组成部分，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在“情境教学”和“情境试题”中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术发展中的作用，感悟数学的应用价值；了解中国古代数学成就，增强学生的民族自豪感；了解数学图形的对称美、符号的简单美、逻辑的和谐美、思维的奇异美，激发学生的数学学习兴趣，提升学生的科学精神和人文素养，充分发挥数学文化在数学教学中的育人价值，真正做到素养立意，育人为本。