高考试题中运算求解关键能力的考查分析——以2019-2021年高考全国卷中解析几何试题为例

●原坤，吴智敏，谢发超，周先华

一、问题提出

2020年1月，教育部考试中心发布的以“一核四层四翼”为基本内涵的《中国高考评价体系》，成为核心素养价值导向下高考命题改革的根本遵循。根据高考评价体系对关键能力的创新认识， 数学学科的关键能力可以分解为知识获取能力群、实践操作能力群和思维认知能力群三个层次[1]。值得注意的是，《普通高中数学课程标准 （2017年版）》（以下简称《数学课程标准》）提出的能力要求也较为明显地体现了这种能力群的学科化要求。根据高考评价体系的整体框架，结合《数学课程标准》提出的学科核心素养，高考数学学科提出5 项关键能力：逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力[2]。其中运算求解能力是五大关键能力之一，它几乎贯串于其他四大关键能力之中，是高考中考查比例最大的一种关键能力。章士藻教授认为：“作为数学能力之一的运算求解能力对培养其他的数学能力起到了基础作用，如果不以运算能力为基础培养学生的数学能力，那将不利于高中学生的数学学习。”[3]本文选择2019—2021年高考全国卷中的解析几何试题为对象，分析运算求解能力的考查特征，提出运算求解能力提升的些许建议，供广大数学教育工作者参考。

二、分析框架的取向

（一）运算求解能力的内涵

《数学课程标准》指出：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求解运算结果等。数学运算是解决数学问题的基本手段；是演绎推理；是计算机解决问题的基础。”[4]《高考评价体系解读》指出：“运算求解能力就是会根据概念、法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；根据要求对数据进行估计和近似计算。”运算求解能力是数学运算素养的外显，便于设置试题考查，而数学运算素养是运算求解能力的内隐，不便于设置试题考查[5]。

（二）运算求解能力的水平划分

《数学课程标准》中要求的数学学业质量水平其实指的是六个数学核心素养的综合表现，每一个数学核心素养被划分为三个水平，而每一个水平都是通过情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思这四个维度进行表述的（如表1）。

表1 数学课程标准中运算素养表现的水平划分表

情境与问题这一维度中的情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，问题指在具体的情境中提出的具体的数学问题； 知识和技能这一维度主要指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能； 思维与表达这一维度主要是指在数学活动过程中所反映出来的学生的思维品质、表述的严谨性和准确性； 交流与反思这一维度主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展。

（三）分析对象的选择

将2019—2021年教育部考试中心命制的16 套数学试卷，包括文理科全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，及全国甲卷、乙卷纳入分析对象。统计过程中，以题号为单位，若一道试题包含若干小题，按问题数计数。

三、运算求解能力的考查特征

（一）考查内容的题号分布及特点

对2019-2021年高考全国I、II、III 卷文、理科数学试卷中的解析几何试题进行整理、分类和分析，整理结果如表2、表3、表4 所示。

表2 2019年解析几何试题的题号分布情况表

表3 2020年解析几何试题的题号分布情况表

表4 2021年解析几何试题的题号分布情况表

从表2 至表4 可以看出，解析几何的知识内容基本上是以两道客观题（10 分）加上一道解答题（12分）的固定模式进行考查，只有2020年全国I 理科和全国III 文科在客观题上有所增加。客观题题目所处的位置变动幅度比较大，不稳定，考查基础性的试题有15 道，占比42．86%，考查综合性的试题有20道，占比57．14%。客观题不仅考查解析几何在简单情境下的基本知识和基本技能， 而且要考查关联和综合情境问题下学生对同一层面的知识、能力、素养的横向融会贯通。但解答题题目所在的位置基本上变化不大，都处在20 和21 压轴试题的位置，只有3套试题是放在19 题的位置，考查基础性的试题只有3 道，占比18．75%，考查综合性的试题有13 道，占比81．25%。所以解答题主要是考查综合情境下学生对不同层面的知识、能力、素养纵向融会贯通的情况。

（二）考查内容的水平划分

根据表1 中对运算能力的表现水平划分以及各个水平的质量描述，对客观题和解答题整体考查情况进行量化分析，其中对每道试题进行水平划分的时候，都是严格遵守四个维度下各水平的要求。量化后的详细数据利用Excel 办公软件做成柱形图（如图1 至图4 所示）。

由以上数据分析得出以下结论：

1．情境与问题的特征包括直接性关联（水平一）、一般化关联（水平二）和综合性关联（水平三）。从图1 中可以看出客观题在水平一和水平二的试题数基本相同，而解答题在水平二的问题数远超水平一。所以从情境与问题维度来看，高考中解析几何解答题更难以从情境中抽象出数学对象，学生必须具备探索与创新精神才可以识别问题。

图1 解析几何试题在情境与问题维度下不同能力水平统计

2．知识与技能的特征包括基础性理解（水平一）、关联性理解（水平二）、综合性理解（水平三）。从图2 中看出客观题与解答题在水平一和水平二的试题数和问题数基本相同，只是水平二比水平一稍微多一些。所以从知识与技能维度来看，解析几何试题的运算求解能力不仅要利用概念、公式和运算法则进行正确的表示、计算和简单的应用，而且要能够从不同视角理解和解释数学对象，建立不同知识之间的联系，正确运用相关数学知识，选择恰当的数学方法探索、分析和解决问题。知识上主要考查直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程与它们的简单几何性质，还综合考查向量、函数和不等式等知识在解析几何中的应用， 技能上主要是从几何问题代数化和代数问题几何化的角度出发，将复杂的几何问题用代数的思想处理，复杂的代数问题用几何思想处理。

图2 解析几何试题在知识与技能维度下不同能力水平统计

3．思维与表达的特征包括基础性运用（水平一）、关联性运用（水平二）、本质性应用（水平三）。从图3 中看出客观题与解答题在水平一和水平二的试题数和问题数基本相同， 只是客观题水平一多于水平二，而解答题水平二多于水平一。所以从思维与表达维度来看，解析几何试题的运算求解能力不仅要能够运用基本的数学思想方法构建简单的数学模型和解决简单的问题，而且要能够从不同视角运用不同的思想方法推理和论证多种关联的数学关系，构建复杂的数学模型和解决较为复杂的问题。思维主要涉及数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论思想、整体代换思想、转化与化归思想；表达上主要进行问题的转化， 将较为复杂抽象的数学问题转化为直观容易理解的数学问题。

图3 解析几何试题在思维与表达维度下不同能力水平统计

4．交流与反思的特征包括基本性解释（水平一）、一般化解释（水平二）、综合性解释（水平三）。从图4中看出客观题侧重考查水平一， 而解答题在水平一和水平二的问题数基本相同。所以从交流与反思来看，客观题的运算求解能力主要是解释基本的数学对象及其数学关系， 并能对其中的数学方法进行基本评价和总结， 而解答题的运算求解能力还需要探讨不同数学问题之间的一般化关系， 并能够对其中一般化的数学方法进行评价和总结。在交流上可通过试题的探究来达成师生、生生对知识、方法和思想的交流；反思上可通过试题的归类与总结，形成结构化的知识和方法体系。

图4 解析几何试题在交流与反思维度下不同能力水平统计