利用同构法巧解指对共存函数问题

南京师范大学附属扬子中学 (210048) 程 伟

在解决等式或者不等式恒成立、能成立问题时，如果能把等式或者不等式等价变形使其两侧结构一致，并能够找到一个函数模型，使两边对应同一个函数，再利用函数的单调性来处理问题.此方法叫做同构法.在遇见指数函数与对数函数共存的等式或者不等式时，如求方程解或者恒成立问题求参数范围以及证明不等式成立时，若采用隐零点代换、参变分离或者直接求导，由于本身结构特征，求导时可能需要多次求导，对学生能力要求很高且难以避免繁琐计算，有时甚至很难进行下去，若考虑采用同构法进行转化，则能化繁为简，加快解题速度.同构法无疑就是解决指对函数共存问题的利器.

1、同构法在指对共存函数中应用

应用一：同构法在恒成立或能成立问题中应用

总结：对于aea≥blnb型指对共存，同构方式有三种：

(1)同左：aea≥blnb⟺aea≥lnbelnb，构造函数f(x)=xex；

(2)同右：aea≥blnb⟺ealnea≥blnb，构造函数f(x)=xlnx；

(3)取以e为底对数：aea≥blnb⟺lna+a≥ln(lnb)+lnb，构造函数f(x)=x+lnx.

综合比较三种同构方式，取以e为底对数法构造的函数，单调性判断最简单.但解法二、解法三需要注意定义域.

应用二：同构法在证明不等式中的应用

应用三：同构法在隐零点中的应用

总结：在隐零点问题中，由于方程不可解，可以考虑等价化成aea=blnb型指对共存，采用同左同构方式：aea=blnb⟺aea=lnbelnb，构造函数f(x)=xex，从而得出a=lnb，便于代入最终式处理.

应用四：同构法与切线不等式结合在求最值中的应用

A．a=bB．a

C．a>bD．a，b的大小关系不确定

总结：例3、例4给出了对比解法，同构和切线不等式放缩结合具有很强的威力，明显提升了解题速度.解决此类问题首先运用两个恒等式：a=elna和a=lnea进行局部同构变形，然后利用两个常见的切线放缩不等式ex≥x+1和lnx≤x-1.常见模型有：

(1)xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1；

(2)x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1.

2、同构法在高考中应用

例5 (2020年新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

(2)f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等价于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(x)=ex+x,上述不等式等价于g(lna+x-1)≥g(lnx),显然g(x)为单调增函数，∴又等价于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

总结：对于ea±a≥b±lnb型指对共存，同构方式有两种：

(1)同左：ea±a≥b±lnb⟺ea±a≥elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；

(2)同右：ea±a≥b±lnb⟺ea±lnea≥b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.