直观想象在破解函数零点问题中的应用

山东省青岛市即墨区第二中学 (266200) 史 鑫

函数零点问题是沟通函数、方程、图象等知识的重要桥梁，它充分体现了函数与方程的密切关系，展现了数与形的完美结合，因而也是高考考查的重点，且常处于压轴题的位置.直观想象作为六大核心素养之一，是一种围绕几何思维解决问题的能力素养，其具体体现是“数缺形时少直观”，在求解函数零点的综合问题有着得天独厚的优势.本文以近期各地模拟题为例，来说明直观想象在求解函数零点几类问题中的运用.

一、判断零点的个数

A.7 B.8 C.9 D.10

图1

点评：本题先将函数零点转化为方程，再将函数零点的个数转化为两个函数交点个数问题，进而通过函数的图象变换作出图象判断零点个数的，充分体现了数学抽象及直观想象等数学素养的运用.借助函数图象直观地求解函数零点问题是重要的解题手段和方法.

A.若g(x)恰有两个零点，则m<0

C.若g(x)恰有三个零点，则0

D.b

解析：由f(x)=f(2-x)知，函数f(x)的图象关于x=1对称，如图2. 令g(x)=0，即m|x|-2=f(x). 设h(x)=m|x|-2，当x>0时，h(x)=mx-2.

图2

点评：本题首先由函数的抽象性质得到函数图象的对称性，然后将函数零点问题转化为方程后再构造函数，利用导数的几何意义得出临界值，进而分析推理作出判断的.

二、根据零点个数求函数式的值

A.a-1 B.1-aC.-1 D.1

图3

点评：本题首先将函数的零点转化为方程的根，并依据目标式的结构特征，换元转化为新元的方程后，结合导函数与原函数的单调性的关系，作出图象整体求解的.

三、根据零点情况求参数的取值范围

例4(2020届驻马店市一模理16) 已知函数f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2(e为自然对数的底数，a∈R，a为常数)有三个不同的零点，则实数a的取值范围为.

图4

点评：在研究函数零点问题时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，这样就可利用导数研究新函数的单调性或极值，从而得出函数的变化趋势，进而作出函数图象直观地得到结论.

例5 (2020.4华大新高考联盟高三教学质量测评16)用符号[x]是不超过x的最大整数，例如，[0.6]=0；[2.3]=2；[5]=5.设函数f(x)=ax2-2ln2(2x)+(x-ax2)ln(2x)有三个零点x1，x2，x3(x1

解析：由f(x)=ax2ln(2x)+2ln(2x)-2ln2(2x)=ax2(1-ln(2x))+2ln(2x)(1-ln(2x))=(1-ln(2x))(ax2+2ln(2x))=0，x>0，则1-ln(2x)=0①,或ax2+2ln(2x)=0②.

图5

点评：本题以高斯函数为背景，考查了函数零点、利用导数分析函数的图象及性质.

四、研究函数的性质，进而讨论零点的个数

图6

∴g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减.∵g(0)=0，∴g(x0)>0.又∵g(π)=-aπ<0，∴由零点存在性定理可得，此时g(x)在(0，π)上仅有一个零点.

图7

综上所述，当0

点评：本题(2)通过构造函数求导，在分类讨论的基础上，作出函数图象，通过观察分析图象，利用零点存在定理确定出函数零点个数.