一个圆锥曲线性质的探究

广东省佛山市实验中学 (528061) 谢伟帆 林壁创

笔者在研究2021年北京燕博园考试的解析几何题时，发现蕴藏其中的角平分线的若干性质，通过与八省市适应性考试解析几何题的对比，发现二者同源，下面给读者展示完整的探究过程.

1 试题呈现

(2)如图1，经过分析知直线FE平分∠MFB.

图1

法一：(设线)设直线AM:y=k(x+2)，则N(2,4k)，E(2,t)，M(xM,yM).联立

法一是命题者提供的答案，笔者认为可以进行优化，从而得法二.

解析几何除了设线外还可以设点，由此可得法三、法四.

反思：在法二中，kEF=2k=2kAM，这个结论恒成立吗？为此，下面将椭圆一般化来研究.

2 探本溯源

2.1 推广到一般椭圆

图2

2.2 推广到双曲线

图3

图4

2.3 推广到抛物线

图5

3 结论应用

(1)求C的离心率(e=2)；

(2)若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF.

图6

4 归纳总结

通过研究推广，得到了圆锥曲线中角平分线的若干性质，经过深挖几何特征，我们惊喜地发现燕博园与八省市适应性考试的圆锥曲线的命题背景都是角平分线的性质.