一道高三质检题的拓展与思考

福建省福清港头中学 (350317) 黄 印

福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

解题训练是提升数学思维能力的有效途径，但对于如何解题、解题之后又该如何反思一直是广大师生关注的话题.面对多如繁星的高考模拟试题，我们该如何应对？又该如何使学生达到做一题会一类的效果？本文结合一道2021年福州5月高三质检题，谈谈如何将特殊问题推广到一般性问题，探究一类问题的普遍联系，揭示试题的形成过程，以帮助学生理解问题本质，提升问题求解能力.

(ⅰ)求C的离心率；

圆锥曲线中定值与定点问题的难点在于解题之前不知道定值与定点的结果，因而对解题增添了一定的难度.解决这类问题时，需站在思想的高度，利用特殊与一般思想在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性.故此题可先通过斜率不存在来确定定值， 再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法.

(2)当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-1).

当然，若焦点在y轴上的椭圆和双曲线满足上述条件，则相应的结论也成立.值得注意的是：当m=n>0时，该圆锥曲线为圆心在原点的圆，此时结论仍然成立.

探究感悟：在高三复习的过程中，会遇到各种各样的圆锥曲线问题.从一种曲线的特殊问题切入，通过特殊与一般思想作为思考的指引，将特殊问题一般化并类比到其它圆锥曲线上，是学习研究圆锥曲线的有效方式之一.若能反思问题本质，利用类比思想进行联想归类，总结提炼通性通法，不仅能进一步提高学生的思维层次，更能取得举一反三、融会贯通的功效，还能破解命题者改编试题的“套路”.

试题再探如果A、B是椭圆短轴的两端点，类似结论是否仍成立？笔者通过推导以及借助GeoGebra软件的辅助，发现结论仍成立.并进一步观察发现：A、B本质上就是圆锥曲线与x轴(或y轴)的两交点.于是就有以下一般性的结论：

以上结论不难证明，限于篇幅，此处略去.

值得一提的是，当直线l经过圆锥曲线的焦点时，交点G的轨迹恰为圆锥曲线的准线.

解题大师波利亚指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”[1]因此，在数学解题的研究中，我们要善于在问题的周围寻找，探寻同类题，探究问题的根源，使得解题走向深入.教师应有意识地培养学生的问题探究意识，挖掘问题中蕴含的方方面面，将问题进行拓展延伸、迁移类比、变式升华，以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，进而培养和提升学生的数学核心素养[2].