寻试题本质 探解题教学——一次说题比赛的感悟

浙江工业大学附属德清高级中学 (313200) 施利强

说题比赛过程一般包括说背景、说解法、说引申、说反思、说教法等五个环节.在有限的时间内对一道试题进行多方位的解读和挖掘确实很考验参赛者的解题能力和专业素养.本文结合笔者现场说题实际，探索试题的本质，反思并加以探索解题教学.比赛时笔者抽到了的试题如下.

图1

1、试题解法

图2

此时目标式中有参数t和y1，为了得到定值，有以下的三种处理办法.

图3

评注：说解法的过程应当多角度分析试题，由于时间限制，可以讲出关键步骤，突出亮点解法.笔者现场给出了以上三种代数解法，解法1和解法2设点设线的方法是解决圆锥曲线问题较为常见也是极为重要的处理手段，解法3利用了题目曲线类型的性质，借助于向量投影工具表示线段长度.在我们平时的解题教学过程中，一题多解的教学过程中更应该注重让学生学会用通性通法分析问题、解决问题，并归类总结每种方法的适用范围和优缺点，从而学会解题方法的抉择.

图4

评注：解析4结合抛物线的定义、光学性质以及极坐标方程，给出了一种几何解释.该方法挖掘了焦点弦和切点弦的夹角与焦点弦倾斜角的关系，并进一步利用角度关系表示各个线段长度，从而得到定值.

2、试题本质

解析5：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=ty+1，由

图5

分析于此，笔者也完成了说题过程.由于现场时间有限，比赛结束后笔者意犹未尽，并进一步思考.实际上，一定背景下命制的试题作为考题在一定程度上有失公平，在高考试题中也尽量会回避该类试题.但从本次说题的试题来看，笔者认为如果在一定背景下命制的试题如果能从通性通法角度解决，或者能多角度得考察学生的分析能力，那也会较好得达到试题考察的目的.另一方面，如果也有学生能更进一步挖掘试题的本质，也能充分展现学生的综合能力.

3、变式拓展

变式1 如图6，过点C作直线平行于x轴交抛物线于点N，其他条件不变.证明：直线MN平行于直线AB且与抛物线相切.

图6

评注：变式1的命制背景如图7，过抛物线焦点的阿基米德三角形QAB底边AB上中线QC的中点N在抛物线上，且过点N的切线平行于底边AB.变式1仍旧以圆为依托给出垂直以及中点的条件，该背景命制的试题为非对称代数问题，能较好地考察学生代数运算能力.

图7

变式2 如图8，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过定点P(2,2)作直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限内)，线段AB的中点为C.过点C作x轴的平行线交过A且与抛物线相切的直线于点Q.求线段PQ长度的最小值.

图8

图9

图10

4、教学感悟

学习数学，关键之一是学会解题，解题教学也是数学教学的一个重要部分.说题比赛活动是提高我们教师专业素养的有效方式，通过解题、说题，反思解题教学，从而提高课堂效率.通过本次说题比赛，笔者对解题教学有如下的感悟.

(1)解法生成得自然一些

我们平时教学过程中一味地追求一题多解和巧妙解法，但学生并不一定能较好得掌握和运用.所以，我们解题教学时更应该注重每种解法的生成过程，让学生掌握通性通法解题的同时也要给每种解法寻求一个合情合理的解释，让解法生成得自然一些.只有这样，才能让学生教好地融入到解题的思维过程中，让他们深刻得体会到每种解法的生成也都是自然的，并能在相似题型中灵活运用各种解法.例如2018年和2021年浙江省解析几何试题重在考察设点设线方法的选取，考察的就是学生对通性通法的掌握程度与灵活运用的能力.

(2)拓展延伸得广阔一些

数学试题犹如宝藏，有无穷无尽的财富等待我们去挖掘.另外，一个问题运用优秀解法解决之后必定会引发新的思考.因此，拓展延伸是解题教学受到较好成效较为重要的一个环节.但是，教师对于拓展延伸并不是直接给予的，而是适当引导.教师可以给学生一个拓展探索方向，可以是知识点方面或者是数学思想方法上的延伸.例如，2017年的解析几何试题可以用向量法解决；2020年的解析几何试题还可以借助于判别式法、基本不等式、伸缩变换等手段求解.让学生体会到问题研究的相关性，从而获得一般的研究方法.

(3)本质挖掘得深刻一些

挖掘试题的本质是解题教学的升华阶段，每一个数学问题的背后都有数学本质.解题教学不能只停留在解决试题本身，只看到问题的表面.我们应该带学生深入揭示试题的本质，从而看透问题.例如，2019年的解析几何试题最值的取得与抛物线并无关系；2021年的八省联考试题的母题来源于课本.挖掘过程可以在课堂中完成，也可以在课后让学生自行完成，从而使问题的解决变得更加自然，也进一步让学生的思维能力得到提高.